Discussion sur la portée

La rotation propre de la balle possède une influence notable sur sa portée. Il est inté- ressant de savoir dans quelle limite la rotation peut modifier x0 et comment les joueurs

usent de ce phénomène afin de produire l’effet souhaité.

Dans le cas d’un dégagement, le gardien cherche à placer la balle le plus loin possible de ses cages et à proximité de celles de l’adversaire. Il repousse ainsi le danger et distribue la balle à ses attaquants. Ceci est cohérent avec l’observation faite sur le terrain que les gardiens dégagent systématiquement le ballon en lui donnant une rotation arrière. Le sens de cette rotation produit une force latérale orientée principalement vers le haut (FL· ey > 0)

et prolonge la trajectoire du ballon contre la gravité qui tend à le faire retomber. Si les gardiens donnaient une rotation vers l’avant à la balle, la force produite par l’effet Robins- Magnus serait orientée vers le bas (FL· ey < 0) et réduirait la portée du ballon.

L’intégration numérique des équations (3.4) et (3.5) permet de quantifier l’effet de la rotation d’une balle sur sa portée. La figure 3.6 reporte deux exemples de trajectoires obtenues à l’aide de l’outil numérique. Chaque graphique compare les trajectoires d’un projectile lancé sans rotation, avec une rotation arrière et une rotation avant.

(a) 0 0.5 1 1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L y/L Sp0=-0.1 Sp0=0 Sp0=0.1 (b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x/L y/L Sp0=-0.1 Sp0=0 Sp0=0.1

Figure 3.6 – Exemple de trajectoires numériques d’une balle lancée sans rotation (ligne continue noire), avec une rotation arrière (ligne double pointillée violette) et une rotation avant (ligne pointillée bleue) selon des vitesses et des angles identiques. Les conditions de tir sont : (a) θ0 = 30◦ et U0/U∞ = 2, (b) θ0 = 60◦ et U0/U∞ = 2. Le rapport L/LR est

maintenu constant et égal à 2,3.

On observe que l’effet de variation de la portée dépend du sens de rotation. La figure 3.6-(a) montre que la portée de la balle est prolongée par une rotation arrière et raccourcie par une rotation avant par rapport au cas sans rotation. Cette conclusion est inversée dans le cas d’un angle de tir plus important comme c’est le cas de la figure 3.6-(b) où θ0 = 60◦.

L’intégration numérique précédente permet d’accéder à la différence de portée, ∆x0,

introduite par l’effet de la rotation de la balle. Cette grandeur est reportée sur la figure 3.7 en fonction du nombre de spin Sp0, de la vitesse initiale adimensionnée U0/U∞ et de

l’angle de tir θ0. (a) −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Sp0 ∆x0/L U0/U∞=0.5 U0/U∞=1 U0/U∞=1.5 (b) 0 20 40 60 80 −0.05 0 0.05 0.1 θ₀₍◦₎ ∆x0/L Sp0=-0.12 Sp0=-0.06 Sp0=0 Sp0=0.06 Sp0=0.12

Figure 3.7 – Différence de portée adimensionnée induite par la rotation en fonction des paramètres de tir. (a) Dépendance de ∆x0 avec le nombre de spin pour différentes vitesses

initiales et θ0 = 30◦. (b) Évolution de ∆x0 avec θ0 pour une vitesse initiale U0/U∞= 1. Le

Ces graphiques mettent en évidence l’influence de la rotation sur la portée de la balle. On retrouve que pour une rotation arrière (ω0 > 0 ⇒ Sp > 0), la portée est augmentée

(∆x0 > 0) par rapport à la trajectoire de la même balle subissant uniquement son poids et

sa traînée. À l’inverse la portée de la balle est diminuée (∆x0 < 0) dans le cas d’une rotation

avant (ω0 < 0 ⇒ Sp < 0). On constate également que ces phénomènes sont amplifiés avec

l’augmentation du nombre de spin et de la vitesse initiale de la balle U0. ∆x0 montre une

forte dépendance avec l’angle de tir θ0. La différence de portée introduite par la rotation

passe par un maxima (aux alentours de θ0 ≈ 20 − 15◦ sur la figure 3.7-(b)). Aux grands

angles de tir (θ0 & 57◦ sur la figure 3.7-(b)) le signe de la différence de portée ∆x0 s’inverse

par rapport aux cas des petits angles conformément à l’observation des trajectoires de la figure 3.6.

En pratique au football la rotation de la balle ω0 est comprise entre 0 et 15 tours/s

[39]. Dans le cas où U0 = Umax = 51 m/s, la rotation maximale d’un ballon de football

correspond à un nombre de spin Sp0 ≈ 0,2. Compte tenu de l’étude précédente, la modifi-

cation maximale de la portée du ballon due à la rotation ∆x0 est de l’ordre de 25 % de sa

longueur aérodynamique dans ce cas.

La figure 3.7-(b) révèle que ∆x0 passe par une valeur maximale pour un angle de tir

θ0 inférieur à 45◦. Cette constatation mène à la question de savoir comment la rotation de

la balle modifie l’angle de tir optimal θ?_{. La résolution numérique des équations (3.4) et}

(3.5) pour différentes conditions initiales donne accès à l’angle qui maximise la portée du projectile. Les données issues de cette étude numérique sont reportées sur la figure 3.8.

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 20 30 40 50

Sp

θ

₍

₎

Figure 3.8 – Angle de tir θ? permettant de maximiser la portée du projectile en fonction du nombre de spin Sp0 = Rω0/U0. Ces données sont obtenues pour différentes valeurs du

rapport U0/U∞ et pour L/LR= 2,3.

Ce graphique montre l’évolution de l’angle de tir optimal en fonction du paramètre de spin. Conformément aux résultats du chapitre 2, l’angle optimal de tir sans rotation (correspondant à Sp0 = 0) décroît avec le rapport U0/U∞. On y observe la décroissance

de l’angle θ? _{lors de l’augmentation de Sp}

0. Cette diminution s’amplifie avec la valeur

du rapport U0/U∞. Ce résultat n’explique cependant pas la valeur anormalement basse

de l’angle de tir généralement observée lors des dégagements. Au cours des essais décrits précédemment, l’angle initial de tir des dégagements a toujours été inférieur à 30◦ quand bien même U0/U∞ ≈ 1 et Sp0 ≈ 0,1. La faible valeur de l’angle initial des frappes dégagées

d’un angle de tir inférieur à celui optimal provient d’une contrainte physiologique ou d’une contrainte temporelle quant au replacement des adversaires sur le terrain.