1.2 Propriétés optiques
1.2.4 Description des fonctions optiques des matériaux : les relations de dispersion
Nous avons vu précédemment que la variation des constantes optiques avec la fréquence (i.e. les va-riations de la fonction diélectrique dans le domaine des fréquences optiques) est liée à l’interaction entre la composante électrique de l’onde électromagnétique incidente et les électrons du matériau. Dans les di-électriques, les électrons sont considérés comme étant fortement liés aux atomes constituant mais capables d’être déplacés sous l’action d’un champ électrique, alors que pour les métaux l’effet majeur est produit par la réaction de l’onde avec les électrons libres.
La relation analytique décrivant le comportement spectral des constantes optiques est appeléerelation de dispersion. Physiquement, ce phénomène de dispersion correspond aux résonances du système suivant
le type de polarisabilité envisagé (§ 1.2.1.3).
1.2.4.1 Modèle de Lorentz
Le modèle d’oscillateur harmonique de Lorentz permet d’exprimer la fonction diélectrique complexe ε(ω)sous la forme suivante en considérant un matériau constitué deN électrons par unité de volume :
ε = ε0 1 − ω ∗2 p (ω2− ω2 0+ iγω) ! (1.13) avec ω∗
plafréquence plasma (dite non écrantée) : ω∗
p = epN/ε0m[61], m la masse, ω0la pulsation propre et γ la force de frottement.
La formule est théoriquement limitée aux gaz d’électrons [49]. Néanmoins cette relation de dispersion est souvent appliquée pour décrire l’absorption due aux vibrations moléculaires et de réseau des maté-riaux denses [60] en modifiant la pulsation propre pour tenir compte de l’effet des atomes voisins
(renor-malisation). Dans le domaine de l’infrarouge par exemple, il peut exister de nombreuses absorptions du matériau et la fonction diélectrique est alors modélisée par une série des oscillateurs de Lorentz :
ε = ε∞−X s ω∗2 ps (ω2− ω2 0s+ iγsω) (1.14) . avec ω∗
pslesfréquences plasma dites écrantées en considérant une contribution ∆εsde chaque oscillateur
s à la constante diélectrique basse fréquence εrel(BF ) : ω∗ ps = ω∗
p/√
∆εs où la somme est effectuée sur l’ensemble des forces de frottement γset des fréquences propres ω0s pour less oscillations. La formule
présentée prend en compte les contributions des fréquences plus élevéesnon mesurées dans une constante
ε∞[50].
A noter que le comportement fonctionnel de ces vibrations est alors identique au cas de la formule de Lorentz bien que cette dernière n’est pas strictement applicable.
1.2.4.2 Formules de Sellmeier et de Cauchy
Pour les matériaux diélectriques, la force de frottement peut souvent être négligée et la formule de Lorentz (1.13) se réduit à : εr= 1 + ω ∗2 p (ω2 0− ω2) , εi= 0 ω∗2 p /γω0 pour ω 6= ω0 pour ω = ω0 (1.15) Cette formule est appeléeformule de Sellmeier. Usuellement, cette formule est exprimée dans le domaine
du visible en terme d’indice de réfraction réel et de longueur d’onde λ pour une série dei transitions
électroniques : n2= 1 +X i aiλ2 λ2− λ2 0i (1.16) avec aides constantes et λ0iles longueurs d’onde d’absorption. La formule pour une absorption a été par exemple appliquée pour la caractérisation d’oxydes comme CuO [62].
Une modification fréquemment utilisée revient à annuler la première longueur d’onde d’absorption, le premier terme de la somme étant alors une constante. Cette formule peut être approximée loin de l’absorption (λ λ0) par :
n = A + B λ2 + C
λ4 + ... , k = 0 (1.17)
1.2. PROPRIÉTÉS OPTIQUES 19 Cette relation est utilisée très fréquemment pour la description des matériaux diélectriques dans la région transparente comme par exemple pour le verre [63].
Par analogie, des formules semblables ont été utilisées pour décrire l’indice de réfraction de matériaux autres que les diélectriques et pour des domaines spectraux autres que le visible. Par extension, il a aussi été proposé une formule empirique pour l’indice de réfraction complexe N = n + jk : [64]
n2= 1 + A 1 + B λ2 , k = C nD.λ +E. λ + 1 λ3 (1.18) où A, ...F sont des paramètres empiriques. Cette formulation peut se trouver sous la dénomination de
formule de Sellmeier-Absorbant même si elle n’a plus aucun lien physique avec la formule de Sellmeier. 1.2.4.3 Modèle de Drude
En 1900, Paul Drude publie deux articles sur la théorie électronique des métaux avec une approxi-mation d’un modèle d’électrons libres [65]. La relation de Drude va ainsi servir de base pour expliquer le comportement métallique des matériaux c’est-à-dire le mouvement des électrons libres. La formule de Lorentz (1.13) se réduit alors à larelation de dispersion de Drude si les électrons sont autorisés à se mouvoir
librement en fixant la pulsation propre à zéro :
ε = ε0 1 − N e 2 ε0mω(ω + iγ) (1.19) Cette relation de dispersion a été largement utilisée pour décrire le comportement optique des métaux comme par exemple Mg [66]. Le modèle classique de Drude a aussi été appliqué à la description des porteurs de charge libres des semi-conducteurs dans le domaine IR [67, 68]. Dans un semi-conducteur, les porteurs de charge libres forment en effet des modes d’excitation collectifs nommés modes plasma (plasmons). Ainsi une expression possible de la formule de Drude pour k espèces de porteurs de charge
est : [61] ε = − k X s=1 (ω∗ ps)2 ω(ω + iγps) (1.20)
avec des notations semblables à celles employées pour la formule à plusieurs oscillateurs dans le mo-dèle de Lorentz (1.14) ; l’indices faisant cette fois référence aux espèces de porteurs de charge libre
carac-térisés par leurs concentrations Nset leur masses effectives ms: (s = 1...k) : ω∗
ps= epNs/ε0ms.
Différentes expressions équivalentes de la formule de Drude existent. Tout d’abord, les γpssont reliés à l’inverse des temps de relaxation moyens indépendants en énergie (τs). Ces derniers peuvent ensuite être substitués par les mobilités optiques des porteurs de charge libre µs:
γs≡ 1 τs
= e
msµs (1.21)
Dans le cas d’une seule espèce, en particulier celui des électrons, il existe une relation entre la concen-tration N, le temps de relaxation moyen τ et la résistivité électronique ρ :
ρ = ms
N e2τ (1.22)
Ainsi la formule de Drude peut s’exprimer invariablement en fonction de différents couples de para-mètres (ωp, γp), (N, µ) ou (ρ, τ). Une autre variante est d’utiliser εravec la conductivité σ (formules de Drude-Zener [69]).
Pour terminer, il faut noter qu’en plus d’un siècle, la théorie électronique de Drude a certes été déve-loppée, est devenue quantique ou a été encore complétée par les concepts de nombreuses quasiparticules [70]. Cependant sa formulation classique sert encore actuellement pour expliquer de nouveaux résultats [70, 71].