A titre de provocation, on pourrait dire que l’objet de ce` cours est de faire aussi peu d’informatique que possible. Il s’agit plutˆot d’utiliser les ressources fournies par les ordi-nateurs pour tenter de traiter des probl`emes de physique aussi vari´es que possible, afin, soit de se simplifier la vie et gagner du temps en faisant faire par un ordinateur des calculs fastidieux que l’on pourrait sans doute faire soi-mˆeme, soit au contraire de s’attaquer `a des questions que l’on ne pourrait en aucun cas traiter avec une feuille de papier et un crayon. . . Nous chercherons ainsi dans divers domaines de la physique des probl`emes, de pr´ef´erence peu susceptibles d’une solution analytique, afin de les traiter num´eriquement `a l’aide d’un calcul sur ordinateur, l’ob-jectif ´etant d’apprendre comment aborder une question de fa¸con qu’un calcul permette d’y r´epondre de mani`ere sat-isfaisante, quitte `a la reformuler au passage pour la faire entrer dans un cadre propice `a ce genre de traitement.
1.1.1 Quelques jalons. . .
Il ne faut cependant pas croire que les calculs num´e-riques aient attendu l’invention de l’ordinateur pour voir le jour. Au XVIIe si`ecle d´ej`a, l’invention des logarithmes par John Napier (1550-1616) fut une r´evolution (Miri-fici logarithmorum canoni descriptio, Edimbourg (1614)) : une multiplication se transformait en addition -beaucoup plus ais´ee-, une extraction de racine carr´ee en division par deux ! L’astronome Johannes Kepler (1571-1630) qui d´ecouvrit l’ellipticit´e des orbes plan´etaires, se livra `a des calculs num´eriques vertigineux dans, par exemple, son œu-vre principale, l’Astronomie Nouvelle (Astronomia Nova, (1609) ). Ainsi, par exemple, pour ´evaluer les positions au cours du temps d’une plan`ete alors qu’elle parcourt ce qui n’est encore qu’un≪ovo¨ıde ≫avec une vitesse variable5, il divise la trajectoire en 360 petits segments et additionne les r´esultats obtenus pour chaque segment : c’est ce que l’on appelle maintenant unediscr´etisation. Kepler, lui, ap-pelait cela un ≪ morcellement num´erique ≫ et se plaig-nait de ce que ce calcul fˆut ≪m´ecanique et ennuyeux ≫ : comme son employeur, l’empereur Rudolf II., ne payait son salaire qu’occasionnellement, il n’avait pas les moyens d’employer lui-mˆeme un assistant pour l’aider. . . Il con-naissait d’ailleurs les tables de logarithmes de Napier et en ´etablit lui-mˆeme dans ses Tables Rodolphines (Tabulæ Rudolphinæ, (1627) ).
4. Le chapitre 5, en particulier doit ˆetre consid´er´e comme la suite logique du cours, mais n’en fait `a proprement parler partie.
5. Jusqu’alors, on croyait, Copernic, Tycho Brahe et Galil´ee y compris, que les mouvements plan´etaires ´etaient des mouvements circulaires uniformes, ou des combinaisons de mouvements circulaires uniformes, ce qui permettait un calcul facile des positions plan´etaires futures. Kepler, comme on le sait, introduisit, `a cause d’un d´esaccord de 8 minutes d’angle dans la position de Mars, les orbes, d’abord ovo¨ıdes puis elliptiques, parcourues `a vitesse variable ; les pr´edictions en devenaient beaucoup plus difficiles : il fallut attendre Newton pour voir la r´esolution de ce probl`eme.
Un autre exemple, moins c´el`ebre sans doute, est l’ensem-ble des op´erations qui, pendant la R´evolution Fran¸caise, ont abouti `a la d´efinition du m`etre, en remplacement du maquis d’unit´es de l’Ancien R´egime, par un syst`eme uniforme et rationnel. On voulait que le m`etre fˆut uni-versel (on aurait certes put choisir comme r´ef´erence les unit´es en vigueur `a Paris, mais l’id´eal universaliste des r´evolutionnaires l’interdisait) et l’on choisit ainsi une r´ef´erence qui pˆut ˆetre commune `a toute l’humanit´e : la dix-millioni`eme partie du quart du m´eridien terrestre. Encore fallait-il en mesurer la longueur. . . On envoya donc deux math´ematiciens-astronomes r´eput´es pour leur pr´ecision et le soin avec lequel ils menaient leurs observations (Jean-Baptiste-Joseph Delambre (1749-1822) et Pierre-Fran¸cois-Andr´e M´echain (1744-1804)) ´equip´es des instru-ments de vis´ee les plus ´elabor´es, mesurer entre Dunkerque et Barcelone la longueur de l’arc de m´eridien de Paris : en d´eterminant tr`es pr´ecis´ement la latitude des deux villes (`a partir de la hauteur de l’´Etoile Polaire et de quelques autres) on en d´eduirait ais´ement la longueur du m´eridien complet.
Il fallait donc ´etablir un r´eseau de triangles qui recou-vre compl´etement l’arc de m´eridien compris entre les deux villes, mesurer avec une pr´ecision m´eticuleuse les angles aux sommets de tous ces triangles afin d’en calculer la longueur des cˆot´es, puis par trigonom´etrie, la longueur de l’arc. Cette ´epop´ee (racont´ee par Ken Alder dansThe measure of all things, Free Press (2002)) dura sept ans (1792-1799) dans une France en proie `a toutes sortes de violences (les invasions, les guerres r´evolutionnaires, la Terreur, Thermidor. . .) : dans les jours qui suivirent la fuite de Louis XVI `a Varennes, Delambre avec son at-tirail de longue-vues et d’instruments, et, pire encore, son ordre de mission sign´e par le roi fugitif, fut arrˆet´e
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a plusieurs reprises comme ≪ espion ≫; un peu plus tard, M´echain resta bloqu´e en Catalogne quand l’Espagne bourbonnienne et la France r´epublicaine se trouv`erent en guerre ; M´echain dut aussi lutter en permanence contre un ´etat psychologique d´epressif li´e `a son inqui´etude quant
`
a la qualit´e de ses mesures. Les deux hommes revinrent enfin `a Paris en 1799 pour pr´esenter leurs r´esultats : une conf´erence internationale de math´ematiciens devait : 1ov´erifier et valider la coh´erence de leurs observations, et 2oen d´eduire la longueur du m`etre.
Il fallait donc, pour la deuxi`eme partie de ce tra-vail, faire des calculs de trigonom´etrie sur une surface sph´erique. On savait cependant qu’outre les montagnes dont il fallait bien sˆur tenir compte, la Terre n’´etait pas une sph`ere parfaite mais plutˆot un ellipso¨ıde de r´evolution l´eg`erement applati aux pˆoles : toutefois, le choix d’un arc de m´eridien situ´e `a des latitudes interm´ediaires (le 45˚par-all`ele passe `a Bordeaux et donc coupe l’arc Dunkerque-Barcelone non loin de son milieu) permettait d’esp´erer obtenir une valeur moyenne qui pˆut servir de r´ef´erence.
On fit alors une d´ecouverte compl´etement inattendue : le g´eo¨ıde n’´etait pas r´egulier mais recouvert de bosses et de creux. La valeur du rayon de courbure de la sur-face terrestre d´ependait de l’endroit o`u il ´etait mesur´e, or la pr´ecision magnifique des observations de Delambre et M´echain, le soin m´eticuleux -voire obsessionnel dans le cas de M´echain- avec lequel elles avaient ´et´e r´ealis´ees ne permettaient pas de mettre ce r´esultat sur le compte d’erreurs ou d’impr´ecisions de mesure. Apr`es de longues
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Graduations logarithmiques
a b
a.b
Figure 1.1 – La r`egle `a calcul, h´eriti`ere des tables de logarithmes de John Napier, en usage jusqu’`a la fin des ann´ees 1970. La r´eglette pouvait coulisser dans une gorge am´enag´ee dans la r`egle et le curseur pouvait glisser sur l’ensemble.
Pour faire le produit de deux nombresaetb(par exemple pour convertir des calories en joules), on d´epla¸cait la r´eglette de telle fa¸con que son origine se trouve en face de la graduation ade la r`egle, puis on d´epla¸cait le curseur jusqu’`a la graduationb de la r´eglette pour lire le r´esultat : comme les graduations ´etaient logarithmiques, on additionnait ainsi deux logarithmes pour obtenir le produit de leurs arguments.
tergiversations, on finit n´eanmoins par fixer la valeur du m`etre `a 443,296lignes(une unit´e en vigueur `a Paris alors) et l’on fondit le fameux m`etre-´etalon en platine irridi´e du pavillon de Breteuil.
Au-del`a de l’histoire plus ou moins anecdotique, on devine en arri`ere-plan les prodigieux calculs num´eriques que les math´ematiciens de la conf´erence ont dˆu faire (outre les travaux de d´egrossissage r´ealis´es par Delambre et M´echain : corrections pour l’altitude, la r´efraction atmo-sph`erique, la temp´erature, etc.) arm´es d’une plume pour
´ecrire et d’une table de logarithmes. Il ne se r´epartirent mˆeme pas la tˆache, car pour plus de sˆuret´e, chaque par-ticipant devait faire ind´ependamment l’int´egralit´e des cal-culs en utilisant ses propres m´ethodes ! On reste pantois devant la dext´erit´e et l’acharnement calculatoires que cela repr´esente. . .
Un peu plus tard, au XIXe si`ecle, Urbain Le Verrier
´etudia les perturbations observ´ees dans l’orbite d’Uranus et postula l’existence d’une autre plan`ete jusqu’alors in-connue. Il calcula la position de cette plan`ete et le di-recteur de l’observatoire de Berlin, Johann Galle, vit
`a l’endroit indiqu´e, le 23 septembre 1846, la nouvelle plan`ete, Neptune : un triomphe pour le valeureux cal-culateur ! On imagine sans peine cependant l’´enorme labeur que repr´esent`erent, pour Le Verrier, ces calculs, enti`erement faits `a la main. . .
Cependant, l’id´ee d’automatiser des calculs ennuyeux est ancienne. Le baron Gaspard de Prony ´etait charg´e pendant le Premier Empire d’´etablir des tables pour le calcul de l’impˆot foncier : pour cela, il divisa le tra-vail en trois grands blocs. La premi`ere partie, la plus noble, ´etait confi´ee `a des math´ematiciens : il s’agis-sait de d´ecomposer tous les calculs n´ecessaires en s´eries d’op´erations ´el´ementaires. La deuxi`eme tˆache consistait `a organiser le travail et `a compiler les r´esultats. La troisi`eme, faire les calculs r´eduits `a des op´erations tr`es simples, fut confi´ee `a une arm´ee de calculateurs humains dont la seule qualification ´etait d’ˆetre capable de faire des additions.
L’´etape suivante fut franchie par Charles Babbage, un gentleman philosopher britannique du d´ebut du XIXe si`ecle qui eut l’id´ee d’associer cette d´ecomposition des
cal-culs en tˆaches ´el´ementaires avec une calculatrice du type de celle de Pascal et un syst`eme de cartes perfor´ees issu des m´etiers `a tisser Jacquard. Malheureusement, malgr´e un financement public cons´equent, et une≪ communica-tion ≫ - comme on dirait maintenant - efficace assur´ee par Ada Byron6, les r´ealisations pratiques ne donn`erent jamais satisfaction, `a cause semble-t-il des frottements ex-cessifs des m´ecanismes.
La premi`ere r´ealisation pratique de calculs massifs au-tomatis´es est due `a Herman Hollerith qui inventa une ma-chine pour traiter les donn´ees du recensement am´ericain de 1890 `a l’aide de cartes perfor´ees. Le r´esultat (62 622 250 habitants) fut obtenu en six semaines au lieu de sept ans pour le recensement pr´ec´edent. Fort de ce succ`es, Hol-lerith fonda en 1896 laTabulating Machine Company qui changea de nom en 1924 pour devenirInternational Busi-ness Machines :ibm. . . sp´ecialis´ee dans la fabrication de calculatrices m´ecaniques de bureau, parfois mˆues par des moteurs ´electriques, ou utilisant des cartes perfor´ees.
Un effort de recherche important sur le calcul automa-tique fut men´e aux ´Etats-Unis pendant la deuxi`eme guerre mondiale pouss´e en grande partie par leBallistic Research Laboratory. Il fallait calculer les trajectoires des projectiles tir´es par divers armements afin de fournir des tables de pointage aux artilleurs. Pour chaque nouvelle munition, il fallait produire une nouvelle table. Une arm´ee d’employ´es, dot´es de calculatrices m´ecaniques de bureau, faisait ces calculs, mais `a la fin de la guerre, ´etait litt´eralement sub-merg´ee par l’afflux de munitions de tous types et de tous calibres produits par une industrie de guerre en plein ef-fort. . . La premi`ere calculatrice ´electronique, l’ENIAC en 1945, ´etait un monstre de 30 tonnes comportant 17 468 tubes `a vide7et consommant 150 kW. La panne d’un seul tube arrˆetait la machine qui occupait un bˆatiment `a elle toute seule et n´ecessitait un syst`eme de refroidissement puissant pour ´evacuer la chaleur produite ! Les premiers ordinateurs virent le jour `a la fin des ann´ees 1940, trop tard pour participer `a l’effort de guerre.
6. la fille du po`ete.
7. il n’y avait pas encore de transistors et encore moins de circuits int´egr´es.
10 Licence de physique L3 : PHYTEM, Universit´e Pierre et Marie Curie Paris-6 & ENS-Cachan
Rapidement, les banques, les compagnies d’assurance8 et toutes les entreprises astreintes `a une comptabilit´e lourde comprirent l’usage qu’elles pouvaient faire de ces nouvelles machines et constitu`erent un march´e important pour les constructeurs. Cependant, la demande de calculs toujours plus importants venant des scientifiques, physi-ciens et astronomes en tˆete, n’a jamais cess´e d’ˆetre pres-sante, toujours de quelques ordres de grandeur au-del`a de ce que pouvaient fournir les ordinateurs les plus puis-sants du moment : cette histoire se poursuit actuellement, certains calculs quantiques, par exemple, se chargeant, par leurs exigences en termes de puissance de calcul, de ramener `a une saine modestie les fabriquants des pro-cesseurs les plus ´eblouissants !
Figure 1.2 – Page de garde de la table de logarithmes Bouvart et Ratinet (´edition 1957) en usage dans les classes scientifiques des lyc´ees jusque dans les ann´ees 1970.
A titre de t´emoignage de la rapidit´e avec laquelle la vie` des scientifiques a chang´e, rappelons qu’encore au d´ebut des ann´ees soixante-dix, les ´el`eves des classes pr´eparatoires passaient plusieurs heures par semaine `a remplir des colonnes de chiffres, stylo d’une main, table de logarithmes (figures 1.2 et 1.3) de l’autre, un entraˆınement jug´e
in-8. Du point de vue des constructeurs d’ordinateurs, ce genre de clients avait l’avantage d’ˆetre largement solvable, un encouragement fort `a faire les investissements n´ecessaires `a la production de calcu-latrices rapides et fiables !
dispensable `a leur dext´erit´e calculatoire. . . les calculettes
´electroniques n’ayant d´etrˆon´e l’invention de Napier qu’`a la fin de la d´ecennie. Un livre de ≪math´ematiques com-putationelles9 ≫ r´eguli`erement r´e´edit´e jusqu’`a la fin des ann´ees 80 explique, dans un chapitre d’introduction inti-tul´e ≪ General rules of computation work ≫, que si l’on veut construire une table des valeurs de la fonction :
y= ex+ cosx 1 +x2 +p
1 + sin2x
il faut faire sur une feuille de papier un tableau `a 12 colonnes donnant, pour la premi`ere la liste des valeurs de x, la deuxi`eme celles de x2, la troisi`eme ex, etc., la douzi`eme donnant enfin la liste des valeurs de y (voir la table 1.1) : il n’est pas inutile de r´ealiser quetous les cal-culs scientifiques ´etaient r´ealis´es de la sorte jusqu’`a un pass´e somme toute r´ecent `a l’´echelle d’une vie humaine10. Sur l’histoire de l’informatique, on se reportera avec profit aux ouvrages suivants :
Ph. Breton Histoire de l’informatique, La D´ecouverte (1987)
M. Campbell-Kelly & Computer. A history of the W. Aspray information machine, Basic Books
(1996)
Ph. Breton Le premier ordinateur copiait le cerveau humain,La Recherche 290 (1996) p. 80
1.1.2 . . . et quelques exemples.
Au d´ebut du XXe si`ecle, le math´ematicien Henri Poincar´e, ´etudiant le probl`eme dit ≪ `a N corps ≫ par exempleN−1 plan`etes et leur soleil, d´ecouvrit la≪ sen-siblit´e aux conditions initiales ≫ qui interdit de trou-ver des solutions g´en´erales aux syst`emes d’´equations diff´erentielles produites par ces probl`emes : une infime diff´erence dans les conditions initiales suffit `a induire un comportement radicalement diff´erent du syst`eme. Au-tant dire que, malgr´e le d´eterminisme intrins`eque de la m´ecanique newtonienne, un tel syst`eme devient rapide-ment impr´evisible11. Toutefois, malgr´e cette d´ecouverte fondamentale, Poincar´e ne put gu`ere aller plus loin et l’on en resta l`a jusque vers les ann´ees 1960. C’est alors que le math´ematicien-m´et´eorologue am´ericain Ed-ward Lorenz12 se mit `a r´esoudre sur ordinateur des
´equations diff´erentielles qui visaient `a simuler le com-portement de l’atmosph`ere terrestre : il red´ecouvrit alors des syst`emes au comportement irr´egulier similaire `a ce qu’avait pr´edit Poincar´e. Le triangle simulation-sur-ordinateur/th´eorie/exp´erience donna naissance `a un do-maine de recherches nouveau et toujours actif de nos jours : le chaos, la turbulence, les fractals. . ., tout ce qui a trait `a la dynamique des syst`emes non-lin´eaires. Il fallait
´evidemment pour cela que l’on pˆut faire des simulations
9. Voir la r´ef´erence [2] dans la bibliographie. Il s’agit certes d’un livre sovi´etique et l’informatique est sans doute l’un des domaines dans lequel le retard de l’Union sovi´etique ´etait sensible.
10. Pour fixer les id´ees, pr´ecisons que l’esp`eceTyranosaurus Rex
´etait d´ej`a ´eteinte depuis quelques ann´ees. . .
11. Voir par exemple : David Ruelle,Hasard et chaos, Odile Jacob (1991).
12. `A ne pas confondre avec l’´ethologiste autrichien Konrad Lorentz et ses oies.
Figure1.3 – Une page de la table de logarithmesBouvart et Ratinet. Admettons que l’on cherche le produit 0,1263× 18,17 ; une calculette donne 2,2949. Avec la table, il faut d’abord chercher 1263, soit 120 puis la sixi`eme ligne pour 126 et enfin la colonne 3 : on y trouve 10140. La mˆeme op´eration pour 1817 donne 25935. La somme de ces deux nombres est 36075. En cherchant dans la table, on trouve que 39078 correspond `a 2295, reste `a d´ecaler la virgule convenablement pour obtenir le r´esultat. Si l’on veut avoir 5 chiffres significatifs, il faut utiliser les tables de multiplication fournies dans la marge pour faire des interpolations lin´eaires. Avec un peu d’habitude, ¸ca va assez vite, plus vite en tous cas que la multiplication `a la main !
sur ordinateur, car le calcul analytique est insuffisant : d’ailleurs maintenant, la m´et´eorologie nationale est un des plus gros consomateurs civils de calcul sur les ordinateurs les plus puissants.
Dans un autre domaine, les exp´eriences faites par ex-emple `a l’aide du rayonnement synchrotron produit dans des laboratoires tels que SOLEIL `a Orsay et l’ESRF
`
a Grenoble, produisent une grande quantit´e de donn´ees num´eriques qui ne se traduisent pas imm´ediatement par des informations de type physique : par exemple, les po-sitions des atomes d’une prot´eine, qui en comporte des
centaines voire des milliers, destin´ee `a soigner telle ou telle maladie. Survient alors une tˆache assez difficile, la≪ mod´e-lisation de donn´ees d’exp´erience≫ qui consiste `a ajuster un mod`ele th´eorique aux donn´ees exp´erimentales con-nues, en tenant compte des barres d’erreur exp´erimentales.
Il s’agit en g´en´eral de minimiser autant que possible l’´ecart entre les donn´ees empiriques et les pr´edictions du mod`ele th´eorique : cette minimisation, une optimisation du mod`ele si l’on pr´ef`ere, est ´etablie en ajustant un nom-bre souvent ´elev´e de param`etres (les positions atomiques, la caract´erisation de l’agitation thermique) et ne peut
pra-12 Licence de physique L3 : PHYTEM, Universit´e Pierre et Marie Curie Paris-6 & ENS-Cachan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x x2 ex sinx cosx ex+ cosx 1 +x2 ex1+x+cos2x sin2x 1 + sin2x p
1 + sin2x y
(1)2 (3) + (5) 1 + (2) (6)/(7) (4)2 1 + (9) p
(10) (8) + (11) 0
0.1 0.2 0.3 0.4 . . .
Table 1.1 – Feuille de calcul pour la fonctiony = ex+ cosx 1 +x2 +p
1 + sin2x, `a remplir, colonne par colonne, `a l’aide d’une machine `a calculer m´ecanique ou ´electro-m´ecanique. . .
Table1.2 – Un article du journalLe Monde en 1957, les derniers progr`es de la pr´evision m´et´eorologique, il y a un demi-si`ecle :
Une machine `a pr´edire le temps
Quel temps fera-t-il demain ? Vieille question `a laquelle les of-fices m´et´eorologiques s’efforcent de r´epondre. Mais voici que la machine ´electronique vient `a leur secours. On connaˆıt les ap-titudes extraordinaires de ces ordinateurs, v´eritables cerveaux
Quel temps fera-t-il demain ? Vieille question `a laquelle les of-fices m´et´eorologiques s’efforcent de r´epondre. Mais voici que la machine ´electronique vient `a leur secours. On connaˆıt les ap-titudes extraordinaires de ces ordinateurs, v´eritables cerveaux