Degr´ e de r´ egularit´ e d’un id´ eal

t

s−i

(1.2)

o`u sest le degr´e de HP

_I

. On peut d´eduire de ce polynˆome num´erique des informations sur l’id´eal,

telles que sa dimension ou son degr´e de r´egularit´e.

D´efinition 1.3.3.

(i) La dimension de l’id´eal I est d´efinie comme ´etant le degr´e sdu polynˆome de HilbertHP

_I

.

(ii) On appelle degr´e de r´egularit´e de l’id´eal I, le plus petit entier d

reg

(I) pour lequel

HF

I

(t) = HP

I

(t) pour tout t≥d

reg

(I).

Avec cette d´efinition, on obtient qu’un id´eal est de dimension 0 lorsque le nombre de monˆomes

sous l’escalier de l’id´eal est fini, ce qui co¨ıncide avec la d´efinition 1.1.23. En particulier, avec les

notations pr´ec´edentes, lorsqueI est de dimension 0,a

₀

correspond audegr´ede l’id´ealI. D’un point

de vue g´eom´etrique, le degr´e du polynˆome HP

I

correspond `a la dimension de la vari´et´eV(I) d´efinie

comme le lieu d’annulation des polynˆomes de l’id´eal I.

1.3.2 Degr´e de r´egularit´e d’un id´eal

On montre dans cette section le lien qui existe entre le degr´e de r´egularit´e d’un id´eal et une

base de Gr¨obner de cet id´eal pour un ordre gradu´e par le degr´e.

´

Etant donn´ee une base de Gr¨obner d’un id´eal pour un ordre gradu´e, il est facile de trouver une

borne sup´erieure sur le degr´e de r´egularit´e de cet id´eal. Comme la fonction de Hilbert diff`ere du

polynˆome de Hilbert en petit degr´e `a cause des irr´egularit´es de l’escalier, une fois pass´ee le dernier

“creux” (par exemple le point (3,2) sur la figure 1.3), elle devient ´egale au polynˆome.

(2,3)

(4,1)

(5,0)

(1,4)

Proposition 1.3.4. Soient I un id´eal homog`ene de K[X

0

, . . . , X

n

], resp. id´eal affine de

K[X

1

, . . . , X

n

], et G une base de Gr¨obner minimale de I pour un ordre gradu´e. Si d est le degr´e

maximal des ´el´ements deG, alors d

_reg

(I)≤(n+ 1)(d−1) + 1, resp. d

_reg

(I)≤n(d−1).

Cette borne sup´erieure est en fait optimale comme le montre l’exemple de l’id´eal monomial

I =hX

₁^d

, . . . , X

_n^d

i ⊂_K[X

1

, . . . , X

n

].

Il est par contre en g´en´eral faux de dire que le degr´e de r´egularit´e d’un id´eal est une borne sur

le degr´e maximal des g´en´erateurs d’une base de Gr¨obner pour un ordre gradu´e donn´e.

Exemple 1.3.5. Soit I =hX

₁³

, X

₀²

X

1

−X

₂³

i un id´eal de K[X

0

, X

1

, X

2

]. La base de Gr¨obner pour

l’ordre grevlex

X0X1X2

de cet id´eal est G = {X

₁³

, X

₀²

X

1

−X

₂³

, X

₁²

X

₂³

, X

1

X

₂⁶

, X

₂⁹

} de degr´e

maximal 9. Pourtant, le degr´e de r´egularit´e de l’id´eal homog`ene est seulement d

_reg

= 4 comme on

peut le voir avec la base de Gr¨obner G

2

={X

₂³

−X

1

X

₀²

, X

₁³

} pour l’ordre grevlex

X0≺X1≺X2

.

Il existe pourtant des bornes valables pour tous les id´eaux avec un ordre gradu´e mais ces bornes

sont assez mauvaises, car en g´en´eral exponentielles en le degr´e de r´egularit´e. Par exemple, `a partir

de la repr´esentation de Hartshorne du polynˆome de Hilbert

HP

_I

(t) =

s

X

i=0

t+i

i+ 1

−

t+i−m

_i

i+ 1

qui est ´equivalente `a celle donn´ee en ´equation 1.2, on montre que max(d

reg

(I), m

0

) est une borne

sup´erieure pr´ecise du degr´e maximal des ´el´ements d’une base de Gr¨obner minimale d’un id´eal

homog`eneI. Mais, mˆeme avec cette borne, on peut trouver des exemples d’id´eaux pour lesquels le

degr´e maximum obtenu est exponentiel en le nombre de variables n et doublement exponentiel en

la dimension de l’id´eal s(voir [MM84]). Cependant, ces exemples restent des cas tr`es particuliers ;

on verra que dans les situations qui nous int´eressent le degr´e de r´egularit´e est une borne souvent

convenable pour le degr´e des ´el´ements d’une base de Gr¨obner minimale pour un ordre gradu´e.

Algorithmes classiques de calcul de

bases de Gr¨obner

Les bases de Gr¨obner sont introduites pour la premi`ere fois en 1965 par Buchberger dans sa

th`ese [Buc65], il y pr´esente notamment un crit`ere permettant de dire si un ensemble de polynˆomes

donn´es forme une base de Gr¨obner. De ce crit`ere d´ecoule directement un algorithme permettant

de calculer, pour un id´eal de polynˆomes muni d’un ordre admissible, la base de Gr¨obner associ´ee.

Par la suite, vont se distinguer essentiellement deux familles d’algorithmes de calcul de bases de

Gr¨obner : la premi`ere se d´eveloppe autour de l’algorithme original de Buchberger [Buc85, GM88,

Fau99, Fau02], alors que la deuxi`eme fait r´ef´erence `a la th´eorie de l’´elimination et des r´esultants

et s’appuie sur la r´eduction de matrices de Macaulay par ´elimination gaussienne [Mac02, Laz83,

CKPS00, MMDB08].

Dans la premi`ere section de ce chapitre, on commence par rappeler les r´esultats fondamentaux

donn´es dans la th`ese de Buchberger pour le calcul des bases de Gr¨obner, en mettant en ´evidence

le probl`eme des r´eductions `a z´ero. On pr´esente alors l’algorithme de Buchberger ainsi que les

deux crit`eres propos´es pour pallier partiellement ce probl`eme. La deuxi`eme section est d´edi´ee aux

r´esultats de Lazard [Laz83] portant sur la th´eorie de l’´elimination gaussienne des matrices de

Macaulay. On montrera notamment comment d´eduire de cette approche et de la notion de degr´e

de r´egularit´e, une borne sup´erieure sur la complexit´e du calcul de bases de Gr¨obner. On pr´esente

ensuite l’algorithme F4 introduit en 1999 par Faug`ere [Fau99] qui pour la premi`ere fois combine les

id´ees des deux familles d’algorithmes. F4 est la premi`ere version r´eellement efficace de l’algorithme

de Buchberger et son implantation en Magma [BCP97] constitue aujourd’hui encore une r´ef´erence

majeure pour les calculs de bases de Gr¨obner. Le code de cette derni`ere implantation n’´etant

cependant pas publique, on d´etaille dans la suite les choix faits pour notre propre implantation en

langage C de l’algorithme. On donnera en chapitre 3 les r´esultats obtenus en temps et m´emoire avec

notre implantation sur diff´erents benchmarks, montrant des performances comparables `a celles de

Magma. Bien que tr`es efficace, cet algorithme F4 ne r´esout cependant pas le probl`eme des r´eductions

`

a z´ero d´ej`a soulev´e par Buchberger en 1979 [Buc79]. On s’int´eressera donc ´egalement au crit`ere F5

propos´e par Faug`ere en 2002 [Fau02], permettant d’´eliminer a priori bien plus de r´eductions `a z´ero

que ceux de Buchberger. On pr´esente ce crit`ere en section 2.4 en mettant en ´evidence les difficult´es

li´ees `a l’implantation de l’algorithme incr´emental F5 ; on y rappelle ´egalement les r´esultats connus

sur la complexit´e de cet algorithme. La derni`ere section est d´edi´ee aux algorithmes de changement

d’ordre : apr`es avoir d´etaill´e l’int´erˆet de cette approche, on pr´esente le cas particulier du changement

d’ordre en dimension 0 avec l’algorithme FGLM [FGLM93] dont on fait l’analyse de la complexit´e.

2.1 Buchberger

On introduit ici la notion de S-polynˆome, d´esignant litt´eralement un “polynˆome de syzygie”,

qui permet de donner la principale caract´erisation des bases de Gr¨obner. De cette caract´erisation,

on d´eduit imm´ediatement un algorithme simple qui permet le calcul des bases de Gr¨obner mais

qui g´en`ere beaucoup de calculs inutiles. On raffine par la suite cet algorithme en donnant les deux

crit`eres de Buchberger permettant d’´eviter certaines r´eductions `a z´ero.

Dans la suite, on supposera donn´e un ordre admissible ≺.

Dans le document Attaques algébriques du problème du logarithme discret sur courbes elliptiques (Page 33-37)