Courbes

Vari´et´es affines

SoientKun corps alg´ebriquement clos etIun id´eal deK[X

1

, . . . , X

n

]. On rappelle que lavari´et´e

affineassoci´ee `aI est l’ensemble

V(I) ={(x

₁

, . . . , x

_n

)∈_K

ⁿ

:f(x

₁

, . . . , x

_n

) = 0, ∀f ∈I}.

R´eciproquement, un sous-ensemble de_K

ⁿ

est une vari´et´e s’il peut s’´ecrire sous la forme_V(I) pour un

certain id´ealI ⊂_K[X

₁

, . . . , X

_n

]. La topologie de Zariski de_K

ⁿ

est celle pour laquelle ces ensembles

sont exactement les ferm´es. Il est possible que deux id´eaux diff´erents engendrent la mˆeme vari´et´e ;

cependant si l’on se restreint aux id´eaux radicaux(i.e. tels que f

ⁿ

∈I ⇒f ∈I), le Nullstellensatz

de Hilbert montre que la correspondance entre l’ensemble des vari´et´es affines de _K

ⁿ

et l’ensemble

des id´eaux radicaux de_K[X

₁

, . . . , X

_n

] est une bijection. On noteI(V) l’id´eal radical correspondant

`

a une vari´et´e V.

Un espace topologiqueEest ditirr´eductiblesi pour tous ferm´esF

₁

, F

₂

deEtels queE=F

₁

∪F

₂

,

on a E =F

₁

ou E = F

₂

(i.e. E n’est pas la r´eunion de deux sous-ensembles ferm´es stricts). Une

vari´et´e affine est alors irr´eductible pour la topologie de Zariski si et seulement si elle est de la forme

V(I) o`u I est un id´eal premier. En pratique, toute vari´et´e alg´ebrique admet une d´ecomposition

finie en composantes irr´eductibles V = ∪

_i

V

_i

(unique `a permutation des facteurs pr`es) telle que

V

i

*V

j

pour tout i6=j. On d´efinit alors la dimensionde V comme le maximum des entiersdtels

qu’il existe une suite Z

0

⊂Z

1

⊂ · · · ⊂Z

_d

de ferm´es distincts irr´eductibles de V ; en particulier, la

dimension de V est ´egale au maximum des dimensions de ses composantes irr´eductibles. On peut

montrer que cette notion co¨ıncide avec la dimension de l’id´ealI telle que d´efinie au chapitre 1.

Soit k un corps dont la clˆoture alg´ebrique est _K. Un id´eal I de _K[X

1

, . . . , X

n

] est dit d´efini

sur k s’il admet un syst`eme de g´en´erateurs dans k[X

₁

, . . . , X

_n

]. Similairement, une vari´et´e V est

d´efinie sur k, et on note V

|k

, si I(V) est d´efini sur k. L’ensemble V(k) des points k-rationnels

de V est alors par d´efinition l’intersection V ∩k

ⁿ

. Si f

1

, . . . , f

m

∈ k[X

1

, . . . , X

n

] est un syst`eme

de g´en´erateurs de I d´efinis sur k, une autre caract´erisation de l’ensemble des points k-rationnels

de V = V(I) est V(k) = {(x

1

, . . . , x

n

) ∈ k

ⁿ

: f

1

(x

1

, . . . , x

n

) = · · · = f

m

(x

1

, . . . , x

n

) = 0}. Soit

Gal(_K/k) le groupe de Galois absolu dek; il agit naturellement sur_K[X

1

, . . . , X

n

] via l’action sur

les coefficients des polynˆomes, ainsi que sur l’espace affine_K

ⁿ

coordonn´ees par coordonn´ees, et on a

σ(f(P)) =f

σ

(σ(P)) pour toutf ∈_K[X

₁

, . . . , X

_n

] et toutP ∈_K

n

. SiV est d´efinie surk, alorsI(V)

et V sont laiss´es globalement invariants par ces actions et on a V(k) = {P ∈V :σ(P) =P,∀σ ∈

Gal(_K/k)}. On remarque finalement qu’une vari´et´e V d´efinie surk est en particulier d´efinie surL

pour tout corpsk⊂L⊂_K, ce qui permet de consid´erer l’ensembleV(L) de ses pointsL-rationnels

pour toute extension alg´ebriqueL de k.

Si V est une vari´et´e affine d´efinie surk, sonanneau de coordonn´ees affinesest le quotient

k[V] =k[X

₁

, . . . , X

_n

]/(I(V)∩k[X

₁

, . . . , X

_n

]).

Quand V est irr´eductible, cet anneau est int`egre et son corps de fraction, not´e k(V), est appel´e

corps de fonctionsde V; son degr´e de transcendance sur kest ´egal `a la dimension deV. Ici encore,

Gal(_K/k) agit naturellement sur_K[V], resp._K(V), et l’ensemble des ´el´ements laiss´es fixes estk[V],

resp.k(V). `A tout ´el´ement dek[V] correspond une application deV(k)→kdonn´ee par l’´evaluation

en un point de V(k). Il n’y a pas d’´equivalent pour k(V) : tout ´el´ement f ∈ k(V) correspond `a

une fonction `a valeurs danskd´efinie seulement sur un ouvert dense de Zariski deV(k), en g´en´eral

diff´erent deV(k) lui-mˆeme. Les points en dehors du domaine de d´efinition correspondent soit `a des

pˆoles de f, soit `a des points d’ind´etermination (de la forme 0/0).

SoitP un point deV. On note M

_P

={f ∈_K[V] :f(P) = 0}, c’est un id´eal maximal de_K[V].

L’anneau localK[V]

P

de V en P est le localis´e deK[V] en M

p

; siV est irr´eductible, il s’identifie `a

un sous-anneau du corps de fonctions, i.e.

K[V]

_P

={f ∈_K(V) :∃g, h∈_K[V], f =g/heth(P)6= 0}.

Une fonctionf estr´eguli`ere en P si elle appartient `a l’anneau local enP et dans ce cas l’´evaluation

def enP a un sens. On d´efinitl’espace cotangent`aV enP comme le_K-espace vectorielM

_P

/M

2

P

; si

V est irr´eductible, une d´efinition ´equivalente de l’espace cotangent est comme le quotientm

P

/m

²_P

,

o`u m

_P

est l’id´eal maximal de_K[V]

_P

. On dit queV estlisseau pointP si la dimension de l’espace

cotangent enP est ´egale `a la dimension de V, et queV est lisse si elle l’est en chacun de ses points.

Vari´et´es projectives

SoitI un id´eal homog`ene de _K[X

₀

, . . . , X

_n

]. La vari´et´e projectiveassoci´ee `aI est l’ensemble

V(I) ={[x

₀

:. . .:x

_n

]∈_P

n

(_K) :f(x

₀

, . . . , x

_n

) = 0, ∀f ∈I, f homog`ene}.

Comme dans le cas affine, l’ensemble des vari´et´es projectives forme les ferm´es de la topologie de

Zariski de P

ⁿ

, et on a une correspondance bijective entre les id´eaux homog`enes radicaux et les

vari´et´es projectives de_P

ⁿ

. On dit aussi qu’un id´eal homog`ene est d´efini sur ks’il est engendr´e par

des polynˆomes homog`enes dek[X

₀

, . . . , X

_n

], et qu’une vari´et´e projective est d´efinie surk si l’id´eal

associ´e est d´efini sur k; l’ensemble de ses pointsk-rationnels est encore

V(k) =V ∩_P

ⁿ

(k) ={P ∈V :∀σ∈Gal(K/k), σ(P) =P}.

L’irr´educibilit´e et la dimension se d´efinissent similairement au cas affine.

Soit H un hyperplan de _P

ⁿ

. Son compl´ementaireU

_H

a une structure naturelle d’espace affine

A

ⁿ

' _K

n

, pour lequel H joue le rˆole d’hyperplan `a l’infini. On peut alors faire le lien entre les

notions de vari´et´e affine et projective : en particulier, si V est une vari´et´e projective alors V ∩U

H

est une vari´et´e affine, et r´eciproquement siV

⁰

est une vari´et´e affine de U

_H

alors son adh´erence V

0

dans_P

n

est une vari´et´e projective telle queV

0

∩U

_H

=V

⁰

. SiHest donn´e par une ´equationX

_i

= 0,

on note alorsU

i

lacarte affinecorrespondante, et pour toute vari´et´e projectiveV, l’id´ealI(V ∩U

i

)

s’obtient `a partir de l’id´eal homog`eneI(V) en d´eshomog´en´eisant par rapport `a X

_i

:

I(V ∩U

_i

) ={f(X

₀

, . . . , X

_i−1

,1, X

_i+1

, . . . , X

_n

)∈_K[X

₀

, . . . , X

_i−1

, X

_i+1

, . . . , X

_n

] :f ∈I(V)}.

R´eciproquement, si V

⁰

est une vari´et´e affine deU

_i

, alorsI(V

0

) est obtenu en homog´en´eisant I(V

⁰

)

(cf section 1.1.4). Par ailleurs, si V (resp. V

⁰

) est d´efinie sur k alors V ∩U

i

(resp. V

⁰

) est d´efinie

sur k.

Soit V une vari´et´e projective, on dit que V est lisse au point P s’il existe une carte affine U

_H

contenant le point P telle que V ∩U

H

est lisse au point P. Si V est irr´eductible (i.e. si I(V) est

premier), alors pour toute carte affine U

H

, la vari´et´e affine V ∩U

H

est irr´eductible et on a soit

V ∩U

_H

=∅, soit V ∩U

_H

= V. On d´efinit alors le corps de fonctions k(V) de V comme ´etant le

corps de fonctions de V ∩U

i

pour tout choix de U

i

tel queV ∩U

i

6=∅. Une autre caract´erisation

de k(V) est donn´ee par

k(V) ={f /g∈k(X

0

, . . . , X

n

) :g /∈I(V), f etg homog`enes de mˆeme degr´e}/∼,

o`u f /g ∼ f

⁰

/g

⁰

si f g

⁰

−f

⁰

g ∈ I(V). Similairement, l’anneau local de V en P est d´efini comme

l’anneau local en P de V ∩U

_i

pour toute carte U

_i

contenant P.

Morphismes

Soient V

1

⊂_P

m

etV

2

⊂_P

n

deux vari´et´es projectives irr´eductibles. Une application rationnelle

de V

₁

dansV

₂

est une fonctionφd’un ouvert dense U ⊂V

₁

dansV

₂

qui est localement donn´ee par

des fractions rationnelles : pour tout point P

₀

∈ U, il existe un ouvert U

⁰

⊂ U contenant P

₀

et

des fonctions f

0

, . . . , f

n

∈_K(V

1

) r´eguli`eres sur U

⁰

tels queφ(P) = [f

0

(P) : . . .: f

n

(P)] pour tout

P ∈ U

⁰

. On demande de plus que le domaine de d´efinition U soit maximal pour cette propri´et´e.

Une application rationnelle estr´eguli`ereen un pointP siP appartient `a son domaine de d´efinition,

et est appel´eemorphismesi elle est r´eguli`ere en tout point deV

1

. SiV

1

etV

2

sont d´efinies surk, le

groupe de Galois Gal(_K/k) agit sur les applications rationnelles de V

1

dansV

2

de fa¸con naturelle

parφ

^σ

(P) = [f

₀^σ

(P) :. . .:f

_n^σ

(P)]. Une application rationnelle ou un morphismeφest d´efinie sur k

siφ

^σ

=φpour toutσ∈Gal(K/k) (ou de fa¸con ´equivalente, si l’on peut choisirf

0

, . . . , f

n

∈k(V

1

)).

Si φ : V

1

→ V

2

et φ

⁰

: V

2

→ V

3

sont deux applications rationnelles, il n’est pas forc´ement

possible de les composer car l’image de φ peut ne pas rencontrer le domaine de d´efinition de φ

⁰

.

Pour garantir l’existence de la composition, on demande que φ(V

1

) soit dense dans V

2

: une telle

application rationnelle est appel´ee dominante. Si φ d´efinie sur k est dominante et f ∈ k(V

2

), le

tir´e en arri`ere φ

^∗

(f) =f ◦φ est dans k(V

₁

). L’applicationφ

^∗

induit alors une extension de corps

k(V

2

)→k(V

1

) fixantk; le degr´e de cette extension [k(V

1

) :φ

^∗

(k(V

2

))] est appel´edegr´e de φ.

Enfin, une application rationnelle dominante φ : V

1

→ V

2

est birationnelle si elle admet un

inverse, i.e. une application rationnelle ψ:V

₂

→V

₁

telle queφ◦ψetψ◦φsoient l’identit´e sur des

ouverts denses. On dit alors que V

₁

et V

₂

sont birationnellement ´equivalentes; en particulier leurs

corps de fonctions sont isomorphes (cette condition est en fait suffisante, voir ci-dessous pour le cas

des courbes).

Courbes

Une courbe est une vari´et´e (affine ou projective) irr´eductible de dimension 1. La propri´et´e

principale d’une courbe C est que pour tout pointP lisse deC, l’anneau local enP est unanneau

de valuation discr`ete. Si f ∈<sub>K</sub>(C) est r´eguli`ere en P, on d´efinit son ordre d’annulation (ou juste

ordre) enP comme ´etant le plus grand entierv= ord

_P

(f) tel quef ∈m

^v_P

. Sinon 1/f est r´eguli`ere

en P et on pose ord

P

(f) =−ord

P

(1/f) ; on dit alors quef a un pˆole d’ordre ord

P

(1/f) en P. On

appelle uniformisante en P toute fonctiont∈_K(C) telle que ord

_P

(t) = 1. Une autre cons´equence

est qu’une application rationnelle φ:C →V o`u V est une vari´et´e projective, est r´eguli`ere en tout

point lisse de C; en particulier, si C est lisse, alors toute application rationnelle de C dans une

vari´et´e projectiveV est en fait un morphisme.

Soient C

₁

et C

₂

deux courbes projectives d´efinies sur k, et φ : C

₁

→ C

₂

d´efinie sur k; on

peut montrer queφest soit constante soit surjective. Dans le second cas, on a vu queφinduit une

extension de corpsk(C

₁

)/φ

^∗

(k(C

₂

)) fixantk: cette extension est n´ecessairement alg´ebrique (puisque

le degr´e de transcendance des deux corps est 1) de degr´e fini. R´eciproquement, si l’on se donne une

injection ı :k(C

₂

)→ k(C

₁

) fixant k, il existe une unique application rationnelle φd´efinie sur k de

C

₁

vers C

₂

telle que φ

^∗

=ı.

On a ainsi une correspondance ´etroite entre les courbes et leurs corps de fonctions, que l’on va

pr´eciser. Un corpsF est appel´e corps de fonctionssurk, et on noteF/k, siF est une extension de

degr´e de transcendance 1 dek. Le corps des constantes deF est ´egal `aF ∩<sub>K</sub> (o`u _Kest la clˆoture

alg´ebrique de k). En particulier, le corps de fonctions k(C) d’une courbe C d´efinie sur k est bien

un corps de fonctions au sens pr´ec´edent, de corps de constantesk; on peut montrer que tout corps

de fonctions F/k de corps de constantes k s’obtient ainsi pour une courbe unique `a application

birationnelle pr`es. Comme par ailleurs toute courbe est birationnellement ´equivalente `a une courbe

lisse, on obtient une ´equivalence (contravariante) de cat´egories :







Courbes lisses d´efinies sur k

Morphismes non constants

d´efinis surk







−→







Corps de fonctions F/k

de corps de constantesk

Extensions de corps fixant k







Dans le document Attaques algébriques du problème du logarithme discret sur courbes elliptiques (Page 101-104)