Expression de Arain et Awa en fonction de l’intensité pluvieuse
Une fois la baseline définie, si on néglige les perturbations diverses (Anoise), l’atténuation restante est alors entièrement liée à la pluie, soit intrinsèquement (Arain), soit par le dépôt d’un film d’eau sur l’antenne ou antenne mouillée (Awa). En reprenant l’Eq.II.1., on a alors :
𝐴𝑟𝑎𝑤− 𝐵 = 𝐴𝑟𝑎𝑖𝑛+ 𝐴𝑤𝑎 (Eq.II.2)
Pour l’atténuation liée à l’antenne mouillée, le constat est que cette atténuation croit rapidement lors d’un événement pluvieux, puis plafonne à une valeur donnée d’atténuation (Schleiss et al. 2013). A partir de cela, le choix d’un modèle exponentiel dépendant de l’intensité pluvieuse est majoritairement utilisé dans la littérature (Graf et al. 2019; Leijnse et al. 2007b, 2008b,a; Schleiss et al. 2013), qui s’inspire du modèle exponentiel dépendant de
Figure II.4: Graphique représentant le signal reçu (en rouge) et la baseline définie par le mode (en noir), pour le lien 36, lors de l'événement du 19/06/2017 à Niamey
l’atténuation présenté par Kharadly et Ross (2001). On a alors l’atténuation liée à l’antenne mouillée (Awa) qui dépend de l’intensité pluvieuse (R), et de deux paramètres A0 et R0, correspondant respectivement à l’atténuation maximale engendrée par l’antenne mouillée à une antenne (dB), et l’intensité pluvieuse (mm/h) au-dessus de laquelle l’atténuation liée à l’antenne mouillée n’évolue plus. Lorsque l’on considère les antennes émettrice et réceptrice, l’expression est :
𝐴𝑤𝑎 = 2𝐴0(1 − 𝑒𝑥𝑝 (−𝑅 𝑅⁄ )) 0 (Eq.II.3)
Pour ce qui est de l’atténuation liée intrinsèquement à la pluie entre les antennes, l’atténuation spécifique k (en dB/km) est reliée à l’intensité pluvieuse par une loi de puissance de deux paramètres a et b (Atlas and Ulbrich 1977; Olsen et al. 1978) :
𝑘 = 𝑎𝑅𝑏 (Eq.II.4)
On peut alors faire l’hypothèse en considérant que la pluie est homogène le long du lien que : 𝐴𝑟𝑎𝑖𝑛 = 𝑃𝐼𝐴 = ∫ 𝑘(𝑟)𝑑𝑟0𝐿 ≈ 𝑎𝑅𝑏𝐿 (Eq.II.5)
où L est la longueur du lien (km) et PIA (Path Integrated Attenuation) l’atténuation intégrée le long du lien.
Awa et Arain dépendent donc de l’intensité pluvieuse, et les paramètres A0, R0, a et b peuvent être déterminés de deux façons :
- soit par calibration à partir d’une autre mesure de référence de la pluie (pluviographe près du lien…)
- soit à partir de valeurs théoriques.
Dans cette étude a été fait le choix de déterminer les paramètres A0 et R0 a priori à respectivement 1 dB et 10 mm/h, par empirisme et au vu des valeurs reportées dans la littérature, avant de les évaluer et éventuellement recalibrer (chapitre VI.). Pour les paramètres a et b, ils ont été déterminés par leurs valeurs théoriques. En effet, k et R peuvent être définis en fonction de la disdrométrie N(D)(en m-3.mm-1) qui est la distribution fréquentielle des diamètres (D) des gouttes de pluie :
𝑘 = 10−2
ln(10)∫ 𝑄0∞ 𝑒𝑥𝑡 (𝐷, 𝜆) 𝑁(𝐷) 𝑑𝐷 (Eq.II.6) 𝑅 = 6𝜋 × 10−4∫ 𝐷0∞ 3𝑣(𝐷)𝑁(𝐷)𝑑𝐷 (Eq.II.7)
Où Qext est la section efficace d’extinction (en mm²) et v(D) la vitesse de chute de la goutte (en m.s-1), qui est d’après Atlas and Ulbrich (1977) de :
𝑣(𝐷) = 3,78𝐷0,63 (Eq.II.8)
Les sous-sections suivantes montrent comment sont définis la section efficace d’extinction à partir de la théorie de Mie (section 1.b.ii.), puis le modèle utilisé dans cette étude pour déterminer la disdrométrie en fonction d’une intensité pluvieuse donnée (section 1.b.iii.). Une fois la section efficace d’extinction et la disdrométrie définis, il est alors possible de relier k et R, ce qui permet donc de déterminer les paramètres a et b (section 1.b.iv.).
La théorie de Mie
Comme l’Eq.II.6. le montre, il est nécessaire de déterminer la section efficace d’extinction pour résoudre théoriquement la relation k-R. Pour cela dans cette étude est utilisé la théorie de Mie (1908), qui est une résolution spécifique des équations de Maxwell, décrivant l’interaction entre une onde électromagnétique et une particule sphérique. On fait donc ici l’hypothèse que les gouttes de pluies sont sphériques, ce qui n’est en réalité pas le cas pour les grosses gouttes (Pruppacher and Klett 1997), qui sont plus nombreuses en Afrique de l’Ouest (par rapport à la disdrométrie d’une zone tempérée).
Le calcul de la section efficace d’extinction se base dans cette étude sur la méthode de Bohren et Huffman (2004). La section efficace d’extinction dépend de la longueur d’onde, du diamètre des gouttes, de l’indice de réfraction et de la température, et exprime la capacité d’un objet sphérique à diffuser une onde.
Définition de la disdrométrie à l’aide de la loi gamma paramétrisée par
Moumouni
Une fois la section efficace d’extinction calculée, il est nécessaire de déterminer la distribution fréquentielle du diamètre des gouttes en fonction de l’intensité pluvieuse. Un modèle souvent utilisé en météorologie est le modèle exponentiel paramétrisé par Marshall et Palmer (1948), qui se base sur des données de disdrométrie de pays tempérés (Canada), et qui est bien adapté pour ces pays. Mais en contexte Ouest africain avec de fortes pluies convectives (chapitre I.), ce modèle surestime les petite gouttes de pluie (figure II.5.), et Moumouni (2009) confirme dans sa thèse, à partir de disdromètres au Bénin dans le cadre du programme AMMA (Analyse Multi-Disciplinaire de la Mousson Africaine), qu’une loi gamma telle que présentée par Ulbrich (1983, 1985) est plus adaptée pour reproduire la disdrométrie. Cette loi gamma exprime la disdrométrie telle que :
𝑁(𝐷) = 𝑁0𝐷𝜇exp(−𝛬𝐷) (Eq.II.9)
Où Λ est la pente de la distribution dans un repère semi-log et μ un paramètre qui détermine la forme de la distribution dans un repère semi-log comme convexe lorsqu’il est supérieur à 0, définissant un déficit de petites gouttes, et concave lorsqu’il est inférieur à 0, définissant un nombre de petites gouttes plus important (Moumouni 2009). N0 est l’ordonnée à l’origine lorsque μ est égal à 0, et que l’on retrouve une loi exponentielle.
Moumouni (2009) propose dans sa thèse une solution analytique telle que : 𝑁(𝐷) = 381𝑁0(𝐷 𝐷⁄ 𝑚)𝜇𝑒𝑥𝑝 (−9,5 𝐷 𝐷⁄ 𝑚) (Eq.II.10)
Avec N0, Dm (le diamètre volumique médian) et μ paramétré à partir d’événements convectifs mesurés avec des disdromètres au Bénin comme ceci en fonction de l’intensité pluvieuse R :
𝑁0 = 775𝑅0,42 (Eq.II.11)
𝜇 = 5.27 (Eq.II.13)
La relation k-R théorique
Une fois la section efficace d’extinction et la disdrométrie définie, il est possible de mettre en relation l’atténuation spécifique et l’intensité pluvieuse à partir des Eq.II.6. et Eq.II.7., à partir de la théorie de Mie et du modèle gamma avec la paramétrisation de Moumouni. En déterminant les paramètres a et b de la relation k-R (tableau II.1.), il est possible de tracer la loi de puissance qui relie l’atténuation spécifique à l’intensité pluvieuse (figure II.6.). La figure II.6. montre que l’atténuation augmente logiquement lorsque l’intensité pluvieuse augmente. De plus, on voit que pour une même pluie, l’atténuation est plus importante pour une fréquence plus élevée. Enfin cette figure et le tableau II.1. nous montre que pour des fréquences entre 21 et 35 GHz, la relation k-R est quasi-linéaire (b~1).
Figure II.5 : Disdrométrie (m-3.mm-1) en fonction du diamètre des gouttes (mm) selon l'intensité pluvieuse (1, 10, 50, 90 mm/h) et le modèle de disdrométrie utilisé (exponentiel de Marshall-Palmer ou gamma de Moumouni)
L’Eq.II.5. sous-entend l’hypothèse que pour une pluie homogène le long du lien, a et b de la relation k-R sont les mêmes que pour la définition du PIA, ce qui est une hypothèse valable pour une relation linéaire et/ou pour des liens courts, comme ceux étudiés dans cette thèse, mais moins lorsque les liens sont longs et/ou que la relation est non linéaire (Doumounia et al. 2014). On a donc une fois a et b définis, la possibilité de retrouver une intensité pluvieuse pour une atténuation donnée. Awa et Arain étant dépendant de l’intensité pluvieuse, et les autres paramètres étant connus et définis, il est possible de déterminer l’intensité pluvieuse qui résout l’Eq.II.2 à chaque pas de temps. Mais la pluie n’est pas uniquement ponctuelle, ou continue le long d’un lien microonde, elle est variable dans l’espace, et il est nécessaire de bien reproduire cette variabilité spatiale à l’échelle du réseau de liens, pour des applications en hydrologie.