Afin de passer d’un modèle à spectre continu à un modèle à spectre discret, on a étudié la décomposition spectrale du modèle de Huet. Cette décomposition pourra s’avérer utile dans le cadre d’une implémentation future dans un code aux éléments finis car elle permet de s’affranchir du calcul, à chaque pas de temps, des intégrales de convolution sur l’histoire du chargement.
Il existe deux approches pour faire la décomposition spectrale, soit en modèle de Maxwell généralisé (également appelé série de Prony), soit en modèle de Kelvin-Voigt généralisé.
I.4.3.1 Décomposition en série de Prony – calcul des paramètres du modèle de Maxwell généralisé
La série de Prony (modèle de Maxwell généralisé) est définie mathématiquement dans le domaine fréquentiel par les équations (I-46) et (I-47). Dans ces expressions les modules de stockage
33 𝐸′ et de dissipation 𝐸′′ sont calculés en connaissant les paramètres 𝐸𝑖 et 𝜏𝑖 du modèle de Maxwell généralisé (Figure I-17) et la pulsation 𝜔.
𝐸′ 𝑃𝑟𝑜𝑛𝑦= 𝐸0+ ∑ 𝐸𝑖 𝑛 𝑖=1 (𝜔𝜏𝑖)2 1 + (𝜔𝜏𝑖)2 (I-46) 𝐸′′ 𝑃𝑟𝑜𝑛𝑦= ∑ 𝐸𝑖 𝑛 𝑖=1 (𝜔𝜏𝑖) 1 + (𝜔𝜏𝑖)2 (I-47)
L’identification des paramètres 𝐸𝑖 et 𝜏𝑖 de ce modèle est basée sur le calage des réponses expérimentales et numériques sur les courbes maîtresses du module de stockage et de dissipation. La procédure de calage est expliquée dans l’article (Chailleux et al. 2011) et (Hammoum et al. 2009). Le problème à résoudre est :
min 𝐸𝑖,𝜏𝑖|𝐸∗
𝑃𝑟𝑜𝑛𝑦− 𝐸∗
𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒| (I-48)
Sous forme matricielle, cette équation s’écrit : [𝐵]2𝑚,𝑛+1∗ [𝐸]𝑛+1𝑃𝑟𝑜𝑛𝑦= [[𝐼]𝑚 [𝐵]′ 𝑚,𝑛 [𝐼]𝑚 [𝐵]′′ 𝑚,𝑛 ] ∗ [𝐸]𝑛+1 𝑃𝑟𝑜𝑛𝑦 = [[𝐸′(𝜔)]𝑚 [𝐸′′(𝜔)]𝑚]𝑒𝑥𝑝 (I-49) où [𝐼]𝑚 = {1,1, … ,1}𝑡, [𝐵]′𝑚,𝑛 et [𝐵]′′𝑚,𝑛 ayant comme composant (𝜔𝜏𝑖)2
1+(𝜔𝜏𝑖)2 et (𝜔𝜏𝑖) 1+(𝜔𝜏𝑖)2 respectivement.
Notons que 𝑚 est le nombre des fréquences choisies de la courbe maîtresse pour le calage expérimental-numérique sur les deux courbes maîtresse de 𝐸′ et 𝐸′′, et 𝑛 représente le nombre des branches de Maxwell dans le modèle de Maxwell généralisé. Le vecteur [𝑰]𝒎 est ajouté pour prendre en compte la rigidité 𝐸0 du ressort monté en parallèle avec les branches de Maxwell.
La résolution du système algébrique (I-49) est possible suivant deux approches, une approche linéaire et une autre non linéaire. Dans la première approche, les temps caractéristiques 𝜏𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) du modèle de Maxwell généralisé sont obtenus à partir de l’ensemble des pulsations 𝜔𝑖 (Hammoum et al. 2009) :
𝜏𝑖 = [ log ( 1
𝜔𝑚𝑎𝑥) , … … . , log ( 1
𝜔𝑚𝑖𝑛)] (I-50)
Le problème à résoudre devient un problème linéaire de la forme 𝐴. 𝑥 = 𝑏 où les composants du vecteur 𝑥 sont les modules 𝐸𝑖, les seuls inconnus du problème.
En revanche, dans la deuxième approche (non linéaire), le module 𝐸𝑖 de chaque branche de Maxwell et le temps de relaxation 𝜏𝑖 associé sont pris comme des inconnus. Ainsi le système des équations à résoudre (I-49) devient non linéaire. La méthode de calage des paramètres de la série de Prony et la procédure d’identification des paramètres du modèle de Huet sont implémentées dans le logiciel Viscoanalyse développé à l’IFSTTAR (Chailleux 2005).
I.4.3.2 Décomposition spectrale du modèle de Huet en série de Kelvin-Voigt Généralisé
La décomposition spectrale du modèle de Huet en série de Kelvin-Voigt généralisé est basée sur la définition d’un spectre continu et sur le remplacement des amortisseurs paraboliques présents dans le modèle de Huet par une série infinie de Kelvin-Voigt généralisé. Ainsi la fonction de fluage
34 du modèle de Kelvin-Voigt généralisé étendue à un nombre infini de branches (𝑁 = ∞) permet d’écrire : 𝐹(𝑡) = ∫ 1 𝐸(𝜏)(1 − 𝑒 −𝜏𝑡)𝑑𝜏 +∞ 0 (I-51) où 𝐹(𝑡) est la fonction de fluage du modèle à décomposer, 𝐸(𝜏) et les 𝜏 sont les paramètres du spectre continu. Le but est donc de trouver une expression pour le module 𝐸(𝜏) qui vérifie cette équation.
Après une série de transformations de Laplace, 𝐸(𝜏) s’écrit :
𝐸(𝜏) = 𝜏
𝑇𝐿−1{𝐹̇(𝑡)} (I-52)
Prenons par exemple une fonction de fluage à spectre continu de la forme (𝑡) = 𝑡𝛼 , dans ce cas 𝐸(𝜏) s’écrit :
𝐸(𝜏) = 𝜏
𝑇𝐿−1{𝐹̇(𝑡)} =
Г(1 − 𝛼)
𝛼𝜏𝛼−1 (I-53)
En appliquant cette décomposition spectrale sur l’amortisseur parabolique du modèle de Huet de coefficient ℎ, on obtient : 𝐹(𝑡) = 𝑡 ℎ 𝐸∞ 𝜏𝐻𝑢𝑒𝑡ℎ Г(ℎ + 1) = ∫ ℎ 𝐸∞ 𝜏𝐻𝑢𝑒𝑡ℎ Г(ℎ + 1)Г(1 − ℎ) 𝜏𝑖 ℎ−1(1 − 𝑒− 𝑡 𝜏𝑖) 𝑑𝜏𝑖 +∞ 0 (I-54) Le problème à résoudre possède la forme suivante :
Г(1 − ℎ) ℎ 𝑡 ℎ= 𝐶ℎ𝑡ℎ= ∫ 𝜏𝑖ℎ−1 (1 − 𝑒− 𝑡 𝜏𝑖 )𝑑𝜏𝑖 +∞ 0 (I-55) où les inconnues de cette équation sont les temps caractéristiques 𝜏𝑖. Ainsi il faut une infinité des 𝜏𝑖 afin de vérifier cette équation.
Passage à un spectre discontinu
La décomposition du modèle de Huet en modèle de Kelvin-Voigt généralisé à nombre fini des branches est basée sur (1) le passage à un spectre discret et (2) la minimisation de la différence entre les fonctions de fluage de l’amortisseur parabolique et de la série finie de Kelvin-Voigt généralisé sur un intervalle de temps donné :
𝐹(𝑡) = 𝑡ℎ = 1 𝐶ℎ∫ 𝜏 ℎ−1(1 − 𝑒−𝑡𝜏 )𝑑𝜏 +∞ 0 ≈ 1 𝐶ℎ∑ ∫ 𝑥 ℎ−1(1 − 𝑒−𝑥𝑡 ) 𝑑𝑥 𝑥𝑖+1 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=0 (I-56) Une fois les temps caractéristiques 𝜏𝑖 sont calculés (par la méthode des moindres carrés par exemple), les modules 𝐸𝑖(𝜏𝑖) du spectre discrétisé associé à l’amortisseur parabolique de coefficient ℎ s’écrivent :
𝐸𝑖(𝜏𝑖) = ℎ
𝐸∞ 𝜏𝐻𝑢𝑒𝑡ℎ Г(ℎ + 1)Г(1 − ℎ) 𝜏𝑖 ℎ−1
(I-57) Dans le cadre de cette thèse, on a développé une procédure d’identification des paramètres de la série de Kelvin-Voigt généralisé (Annexe A), cette procédure est implémentée dans un script écrit en C++.
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Application numérique
Afin de vérifier la procédure de décomposition spectrale du modèle de Huet développée (en modèle de Kelvin-Voigt généralisé), on a comparé la réponse des modèles rhéologiques à différents types de chargement. On a également calculé la réponse du modèle KGV à partir de deux approches incrémentales :
Approche incrémentale basée sur le produit de convolution (Annexe B) (Ghazlan, Caperaa, and Petit 1995)(Chazal and Mouto Pitti 2010; Chazal and Moutu Pitti 2009) Approche incrémentale basée sur les variables internes
Le modèle de Huet utilisé pendant cette étude possède les paramètres listés dans le Tableau I-6 :
𝐸∞(𝑀𝑝𝑎) 𝑘 ℎ 𝛿 𝜏 ( 𝑇𝑟𝑒𝑓 = 0°𝐶)
30871.8 0.18643 0.58519 1.48724 2.39142
Tableau I-6: Paramètres du modèle de Huet.
Suite à la décomposition spectrale du modèle de Huet en série de Kelvin-Voigt généralisé (𝑁 = 14), les paramètres du modèle de Kelvin-Voigt généralisé sont présentés dans le tableau suivant :
Amortisseur parabolique de coefficient h Amortisseur parabolique de coefficient k 𝜏𝑖 𝐸𝑖 𝜏𝑖 𝐸𝑖 0.00017424 0.0001507 0.00905003 0.00010954 0.0480445 1.4647𝐸 − 05 0.0531921 2.5929𝐸 − 05 0.441124 5.8389𝐸 − 06 0.165723 1.0286𝐸 − 05 4.45509 2.2374𝐸 − 06 4.02024 7.6838𝐸 − 07 37.909 9.2047𝐸 − 07 34.0304 1.3518𝐸 − 07 359.951 3.6185𝐸 − 07 330.007 2.129𝐸 − 08 3599.98 1.3922𝐸 − 07 3300 3.2706𝐸 − 09
Tableau I-7: Paramètres du modèle de Kelvin-Voigt généralisé obtenus par décomposition spectrale.
On montre sur la Figure I-31 la réponse du modèle de Huet et de Kelvin-Voigt généralisé au chargement donné sur la Figure I-31-a.
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Figure I-31: Réponse du modèle de Huet et de Kelvin-Voigt généralisé obtenu par décomposition spectrale.
Le bon accord entre les quatre réponses de la Figure I-31 montre que la décomposition spectrale permet de remplacer le modèle rhéologique à spectre continu par un modèle à spectre discret. On a vérifié également la pertinence des approches incrémentales dans le calcul de la réponse des matériaux viscoélastiques, une étape importante qui permet de remplacer le produit de convolution très couteux en terme de temps de calcul.