modèle PTE suivant l’approche TLS
V. Chapitre V : Application du module eXlibris TLS viscoélastique à la simulation d’essais de fissuration
V.3 Essai de flexion 3 points sur poutre rectangulaire
V.3.2 Comportement réversible à vitesse de déplacement constante et calage des paramètres du modèle viscoélastique
Rappelons l’expression de la fonction de relaxation pour le modèle de PT : 𝑅(𝑡) = 𝐸0
𝐸0+ 𝐸1(𝐸1+ 𝐸0𝑒
−𝑡(𝐸0𝐸+𝐸1
1𝜏 )) (V-1)
Considérons un essai de flexion trois points sous vitesse de déplacement imposée. La force sous le point de chargement peut être calculée par :
𝐹(𝑡) = 𝑔 𝑅 ⊗ 𝑢̇ (V-2)
où 𝑔 est le coefficient de forme, égal à la force qui résulterait de la poutre élastique de module d’Young unitaire soumise à un déplacement unitaire. 𝑔 a la dimension d’une longueur ; son expression est donnée par :
𝑔 =4𝑏ℎ 3
𝐿3 (V-3)
L’opérateur ⊗ représente le produit de convolution entre la fonction de relaxation 𝑅(𝑡) et la vitesse de déplacement 𝑢̇ , soit :
𝑅 ⊗ 𝑢̇ = ∫ 𝑅(𝑡 − 𝑣)𝑢̇(𝑣)𝑑𝑣 𝑡
0
146 Dans le cas d’un chargement à vitesse de déplacement constante 𝑢̇ = 𝑎 = 𝑐𝑡𝑒, ce produit de convolution se simplifie au calcul intégral suivant :
𝑅 ⊗ 𝑢̇ = 𝑎 ∫ 𝑅(𝑣)𝑑𝑣 𝑡
0
(V-5) Pour le modèle rhéologique de PT, on obtient :
𝐹(𝑡) = 𝑔𝑎 𝐸0𝐸1 𝐸0+ 𝐸1(𝑡 + 𝐸0𝜏 𝐸0+ 𝐸1(1 − 𝑒 −𝑡(𝐸0𝐸+𝐸1 1𝜏 ))) (V-6)
Notons que la déflection 𝑑 sous le point d’application du chargement est égale à 𝑎𝑡. Ainsi, on peut exprimer la force 𝐹 en fonction de la déflection telle que :
𝐹(𝑑) = 𝑔 𝐸0𝐸1 𝐸0+ 𝐸1(𝑑 + 𝐸0𝜏𝑎 𝐸0+ 𝐸1(1 − 𝑒 −𝑑 𝑎𝜏( 𝐸0+𝐸1 𝐸1 ))) (V-7)
Cette équation permet de calculer analytiquement la force en fonction de la déflection pendant la phase réversible sous vitesse de déplacement constante. On s’appuie sur cette équation afin de caler les paramètres du modèle viscoélastique de PT (c.-à-d. 𝐸0, 𝐸1 𝑒𝑡 𝜏) en se basant sur les résultats d’essais de laboratoire de Tabaković et al. (2010) (Figure V-8).
A cette fin, on utilise les valeurs expérimentales de force obtenues pour la déflection égale à 1mm supposée être en phase réversible et pour les trois vitesses de chargement du Tableau V-2.
Vitesse de déplacement imposée
𝑎 (mm/s) 0.01 0.1 1
𝐹(𝑑𝑟𝑒𝑓 = 1𝑚𝑚) Expérimentale 1.95 6.54 32
Tableau V-2 Valeurs la force F en fonction de la vitesse de déplacement imposée obtenues pour la déflection de « référence » égale à 1mm (Tabaković et al. 2010).
En résolvant le système de trois équations à trois inconnues issu de ces données, on obtient les trois valeurs suivantes des paramètres du modèle PT :
𝐸0 (𝑀𝑝𝑎) 2674 𝐸1 (𝑀𝑝𝑎) 97
𝜏 (𝑠) 29
Tableau V-3: Paramètres du modèle de PT obtenus après calage.
On montre sur la Figure V-8 une comparaison entre les courbes analytiques (V-7) obtenues pour les paramètres calés et les résultats d’essais de flexions 3 points pour les trois vitesses de chargements. On vérifie la coïncidence des points analytiques et expérimentaux pour 𝑑𝑟𝑒𝑓 = 1𝑚𝑚 et plus généralement un assez bon accord entre les débuts des courbes analytiques et expérimentales.
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Figure V-8: Comparaison entre la réponse expérimentale et analytique de l’essai de flexion 3 points pour trois vitesses de déplacement imposées.
Un calage légèrement meilleur est obtenu pour le calcul EF avec le jeu de paramètres suivants qui est retenu par la suite. La réponse expérimentale et celle obtenue par le calcul EF sont présentées sur la Figure V-9.
𝐸0 (𝑀𝑝𝑎) 2300 𝐸1 (𝑀𝑝𝑎) 100
𝜏 (𝑠) 26
Tableau V-4: Paramètres du modèle PT retenus pour la suite.
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V.3.3 Étude du comportement fissuré à vitesse de déplacement imposée
On poursuit ici la comparaison entre résultats expérimentaux et résultats des simulations EF obtenus au-delà du domaine réversible. La comparaison est effectuée pour la vitesse de déplacement imposée de 1mm/s.
Pour étudier la réponse de la poutre pendant la phase d’endommagement, on a supposé que l’endommagement s’initie à partir d’un niveau de déflection égal à 2 𝑚𝑚 (pour la vitesse de chargement la plus élevée 1 mm/s). Cette hypothèse conduit à un taux de restitution d’énergie critique 𝑌𝑐 de 0.014 𝑀𝑃𝑎.
Concernant les paramètres du modèle TLS, on a choisi le profil d’endommagement de type quadratique et la fonction d’adoucissement 𝐻(𝐷) = (1 − 𝛽𝐷)−𝛼 avec les paramètres présentés dans le Tableau V-5. 𝐷(𝜑) 2 𝜑 𝑙𝑐− ( 𝜑 𝑙𝑐) 2 𝐻(𝐷) (1 − 𝛽𝐷)−𝛼 𝛼 1.5 𝛽 1 𝑙𝑐 (𝑚𝑚) 4 𝑌𝑐(𝑀𝑃𝑎) 0.014 ∆𝜑𝑚𝑎𝑥 0.9𝑙𝑚
Tableau V-5: Paramètres du modèle TLS utilisés dans la simulation de l’essai de flexion 3 points.
Les coefficients 𝛼 et 𝛽 de la fonction d’adoucissement 𝐻(𝐷) ont été choisis en se basant sur l’étude du barreau en traction (V.2).
L’avancée maximale du front d’endommagement ∆𝜑𝑚𝑎𝑥 est choisie de manière à rester inférieure à la taille moyenne 𝑙𝑚 des éléments du maillage dans la zone d’endommagement et de fissuration. Sur le chemin de la fissure, la taille des éléments est choisie inférieure à 𝑙𝑐/8. Ce choix vise à améliorer le calcul des champs non locaux dans la zone d’endommagement (voir IV.8.1).
Figure V-10: Maillage 1 - éléments triangulaires non structurés.
La Figure V-11 montre la comparaison entre les réponses expérimentale et numérique qui sont stables toutes les deux à vitesse de déplacement imposée. Le triangle noir figurant sur cette courbe indique le moment d’initiation de l’endommagement (𝑌 = 𝑌𝑐).
Le triangle rouge de la Figure V-11 indique le moment de « création » d’une fissure dans la simulation de l’essai. A ce moment, une bande d’endommagement de largeur égale à 2𝑙𝑐 s’est développée et une fissure est introduite après une étape d’enrichissement cinématique – au milieu
149 de cette bande – par la méthode XFEM. Les chutes de force « en cascade » au-delà du triangle rouge sont liées à la propagation de la fissure.
Les cercles rouges (numérotés de 1 à 4) sont liés aux cartes d’endommagement qui se trouvent à droite de la Figure V-11. On voit sur ces cartes le développement de la hauteur de la bande d’endommagement par rapport à la hauteur ℎ de la poutre pour les instants 1,2,3 et 4.
Figure V-11: Comparaison entre la réponse expérimental et EF(2D) pour une vitesse de déplacement de 1 mm/s.
On a tracé sur la Figure V-12 la carte d’endommagement sur la poutre déformée à la fin de la simulation. La couleur bleue correspond à la zone saine où l’endommagement est nul. La zone de couleur rouge foncé indique une valeur d’endommagement qui vaut 1. Au milieu de cette zone, on remarque la propagation d’une fissure. On voit également la propagation du front d’endommagement (level set Γ0) sur la carte en gris et noir. On observe que celle-ci s’opère sans élargissement.
150 Pour cette simulation un seul cœur du processeur de calcul (single core CPU) a été utilisé. La durée de la simulation est de 16 minutes (Tableau V-6).
Nb éléments de maillage
Nb pas de temps Nb CORES Mémoire (GB) Temps CPU (s)
21650 100 1 2 928
Tableau V-6: Détails liés à la simulation numérique et le temps de calcul nécessaire.
Le temps CPU figurant dans le Tableau V-6 représente le temps nécessaire pour faire le calcul EF exclu de tout post-traitement.