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par approche Thick Level Set pour application au cas
des enrobés bitumineux
Benjamin Shiferaw
To cite this version:
Benjamin Shiferaw. Modélisation de la fissuration en milieu viscoélastique par approche Thick Level Set pour application au cas des enrobés bitumineux. Génie civil. École centrale de Nantes, 2019. Français. �NNT : 2019ECDN0049�. �tel-03027068�
T
HESE DE DOCTORAT DE
L'ÉCOLE CENTRALE DE NANTES
COMUE UNIVERSITE BRETAGNE LOIRE
ECOLE DOCTORALE N°602
Sciences pour l'Ingénieur
Spécialité : « Génie Civil »
L'ÉCOLE CENTRALE DE NANTES
COMUE UNIVERSITE BRETAGNE LOIRE
ECOLE DOCTORALE N°602
Sciences pour l'Ingénieur
Spécialité : « Génie Civil »
TORAT DE
L'ÉCOLE CENTRALE DE NANTES
COMUE UNIVERSITE BRETAGNE LOIRE
ECOLE DOCTORALE N°602
Sciences pour l'Ingénieur
Spécialité : « Génie Civil »
Par
« Benjamin SHIFERAW »
Par
« Benjamin SHIFERAW »
« Modélisation de la fissuration en milieu viscoélastique par approche
Thick Level Set pour application au cas des enrobés bitumineux »
Thèse présentée et soutenue à « IFSTTAR Nantes », le « 25 Novembre 2019 »
Unité de recherche : Département des matériaux et des structures, Institut français des sciences et technologies des transports, de l'aménagement et des réseaux (IFSTTAR - MAST)
« Modélisation de la fissuration en milieu viscoélastique par approche
Thick Level Set pour application au cas des enrobés bitumineux »
Thèse présentée et soutenue à « IFSTTAR Nantes », le « 25 Novembre 2019 »
Unité de recherche : Département des matériaux et des structures, Institut français des sciences et technologies des transports, de l'aménagement et des réseaux (IFSTTAR - MAST)
« Modélisation de la fissuration en milieu viscoélastique par approche
Thick Level Set pour application au cas des enrobés bitumineux »
Thèse présentée et soutenue à « IFSTTAR Nantes », le « 25 Novembre 2019 » Rapporteurs avant soutenance :
Cyrille Chazallon Professeur, INSA Strasbourg Véronique Lazarus Professeur, ENSTA Paris
Composition du Jury :
Présidente : Frédéric Ragueneau Professeur, ENS Paris-Saclay Rapporteurs : Cyrille Chazallon Professeur, INSA Strasbourg Véronique Lazarus Professeur, ENSTA Paris
Directeur de thèse : Nicolas Moës Professeur, École Centrale de NANTES Co-encadrants de thèse : Olivier Chupin Chargé de recherché, IFSTTAR
Jean-Michel Piau IGPEF, IFSTTAR
Invité
Benoît Lé Docteur Ingénieur, École Centrale de NANTES
ii
Résumé
La fissuration des couches d’enrobé bitumineux (EB) est un mode de dégradation majeur des chaussées, dont la compréhension des divers mécanismes et facteurs responsables nécessite entre autres le développement de modélisations théoriques et d’outils numériques. Dans ce cadre cette thèse s’intéresse à la fissuration des matériaux à rhéologie thermo-viscoélastique. Un modèle d’endommagement local est ainsi développé en se basant sur le principe de contraintes effectives et la loi rhéologique de Poynting-Thomson. Le critère d’endommagement adopté repose sur le taux de restitution d’énergie élastique. Ce modèle est ensuite régularisé par l’approche Thick Level Set (TLS). L’étude semi-analytique d’une barre 1D en traction monotone directe permet d’investiguer l’aptitude de ce modèle à reproduire les principales observations expérimentales faites sur EB. Un algorithme de calcul par méthode aux éléments finis permettant alors d’étendre la résolution au cas de problèmes 2D est proposé et implémenté dans le code de calcul eXlibris de l’ECN. Nous montrons la capacité de cet outil à simuler l’initiation et la propagation de fissure avec endommagement d’une poutre viscoélastique chargée en flexion trois points. Les simulations rendent compte du caractère plus ou moins fragile/ductile des résultats d’essais observés sur EB en fonction de la température du matériau et de la vitesse de chargement. Ces travaux offrent ainsi une base théorique et numérique pour de futures applications en Mécanique des Chaussées.
Mots clés : Thermo-viscoélasticité, Endommagement, Fissuration, Thick Level Set, Méthode des
iii
Abstract
Fracture of asphalt concrete (AC) layers is a major mode of deterioration in pavements, whose understanding of the various mechanisms requires the development of theoretical models and numerical tools. In this context, the research focuses on damage and fracture in thermo-viscoelastic materials. Hence, a local damage model is developed based on the principle of effective stresses and the Poynting-Thomson rheological law. The damage criterion considered relies on the elastic energy release rate. This model is then regularized according to the Thick Level Set (TLS) approach. The semi-analytical study of the 1D rod subjected to monotonous direct tension is performed to investigate the ability of the model to mimic the main experimental observations made for AC materials. An algorithm dedicated to the finite element solution of 2D problems is proposed and implemented subsequently in the eXlibris numerical code developed at ECN. The potential of this model to simulate damage and crack growth from initiation to collapse is demonstrated through the example of a viscoelastic beam under three-point bending test loading conditions. The simulations reflect the more or less brittle/ductile nature of the test results observed on AC materials depending on temperature and the loading rate. This work offers a theoretical and numerical basis for future applications in pavement mechanics.
Keywords : Thermo-viscoelasticity, Damage, fracture, Thick Level Set (TLS), Finite elements
iv
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier Frédéric Ragueneau d’avoir présidé le jury de soutenance de thèse, Cyrille Chazallon et Véronique Lazarus pour tout l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail en acceptant de rapporter mon mémoire, ainsi que Benoît Lé pour avoir accepté de faire partie du jury.
Je souhaite aussi remercier mon directeur Nicolas MOES et mes encadrants Olivier CHUPIN et Jean-Michel PIAU qui ont suivi mon travail au cours de ces trois ans. Je les remercie de me conseiller, et de m’avoir fait confiance.
Mes remerciements vont à la région Pays de la Loire pour le co-financement de la thèse.
Je tiens à remercier chaleureusement Benoit Lé pour m’accueillir dans son bureau pendant la troisième année de la thèse, pour m’aider à comprendre le code de calcul eXlibris de l’Ecole Centrale de Nantes, et pour m’aider pendant la phase de programmation.
Je tiens à remercier également le laboratoire MS (Modélisation et Simulation) de l’école centrale de Nantes pour m’accueillir pendant la troisième année de la thèse.
Je tiens à remercier aussi :
- Tous les chercheurs de l’équipe LAMES et MIT pour la bonne ambiance.
- L’équipe des doctorants du MIT et LAMES, Son, Vinciane, Maïssa, Hanane, Marion, Octavio, Justine, Ramah, Domenico, Ibishola, Ilef, Marie Antoinette, Joanna, Rodrigo et Khoder.
- Tous les doctorants de l’association ADIN de l’IFSTTAR Nantes pour les rencontres tous les mercredis et les sorties qu’on a faites.
- Mes amis libanais de l’IFSTTAR Ismat, Antoinne, Mariane et Pierre.
- Mes collègues de bureau, Diana et Natasha pour la magnifique ambiance durant ces trois années de thèse et pour les beaux moments qu’on a partagés ensemble.
vi
Table des matières
Résumé ... ii
Abstract ... iii
Table des matières ... vi
Nomenclature ... viii
Introduction générale ... 1
Chapitre I : Synthèse bibliographique ... 5
I.1 Contenu et démarche ... 6
I.2 Généralités sur les chaussées et les matériaux bitumineux ... 7
I.3 Comportement viscoélastique linéaire des enrobés bitumineux ... 11
I.4 Modèles Rhéologiques ... 21
I.5 Essais de caractérisation du comportement à la fissuration des Matériaux Bitumineux 36 I.6 Mécanique de l’endommagement et de la rupture ... 45
I.7 Bilan ... 62
Chapitre II : Développement d’un modèle d’endommagement local 1D basé sur le modèle de Poynting-Thomson ... 63
II.1 Contenu et démarche ... 64
II.2 Viscoélasticité, endommagement, et principes de la thermodynamique ... 65
II.3 Modèle de Poynting-Thomson endommageable et inégalité de Clausius Duhem ... 68
II.4 Etude de deux critères d’endommagement ... 71
II.5 Loi d’évolution d’endommagement associée au critère 𝑌 − 𝑌𝑐 ≤ 0... 75
II.6 Loi d’évolution d’endommagement avec adoucissement 𝑌 − 𝐻(𝐷)𝑌𝑐 ≤ 0 ... 79
II.7 Autres formes possibles de la surface seuil d’endommagement ... 84
II.8 Bilan ... 85
Chapitre III : Étude structurelle 1D de la réponse d’une barre à comportement viscoélastique chargée en traction dans le cadre de l’approche TLS ... 87
III.1 Contenu et démarche ... 88
III.2 Formulation 1D non locale du critère d’endommagement du modèle PTE suivant l’approche TLS ... 89
III.3 Problème de barre à comportement PTE en traction ... 91
III.4 Extension du comportement matériel de la barre à un modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt généralisé endommageable ... 102
III.5 Application numérique : Modélisation de l’essai de traction directe ... 104
III.6 Bilan ... 112
Chapitre IV : Généralisation 3D du modèle PTE+TLS et implémentation dans le code de calcul eXlibris ... 113
vii
IV.1 Contenu et démarche ... 114
IV.2 Généralisation de la loi de comportement endommageable PTE en 3D ... 115
IV.3 Équation d’équilibre d’un solide PTE en régime quasi-statique ... 117
IV.4 Équation d’évolution non locale de l’endommagement ... 119
IV.5 Équation d’évolution de la variable interne 𝜺(𝑣𝑒) ... 120
IV.6 Discrétisation spatiale ... 120
IV.7 Discrétisation temporelle ... 123
IV.8 Algorithmes de résolution du problème discrétisé ... 126
IV.9 Validation numérique des algorithmes proposés à partir de l’essai de traction directe 1D 130 IV.10 Bilan ... 137
Chapitre V : Application du module eXlibris TLS viscoélastique à la simulation d’essais de fissuration monotone sur matériaux bitumineux ... 139
V.1 Contenu et démarche ... 140
V.2 Essai de traction directe ... 141
V.3 Essai de flexion 3 points sur poutre rectangulaire ... 144
V.4 Bilan ... 158
Conclusion générale et perspectives ... 159
Annexe A : Décomposition spectrale et calcul des paramètres du modèle de Kelvin-Voigt généralisé 163 Annexe B : Approche incrémentale pour calcul viscoélastique ... 165
Annexe C : Loi de comportement du modèle de Poynting-Thomson endommageable en 1D .... 168
Annexe D : Algorithme de calcul implicite en temps (1D) ... 170
Annexe E : Stratégie de stockage des variables internes ... 172
viii
Nomenclature
EB Enrobé bitumineux
MB Matériaux bitumineux
PETT Principe d’Equivalence Temps-Température
LC Loi Constitutive
⊗ Convolution du temps 𝑡
𝐸∗, 𝑅𝑒(𝐸∗), 𝐼𝑚(𝐸∗) Module complexe et les parties réelle et imaginaire 𝐸∞, 𝑣, 𝑘, 𝛿, ℎ, 𝑖, 𝜔 Coefficients du modèle Huet
𝑡 Temps physique (s)
𝜃(𝑇) Température au temps t (°C)
𝑅(𝑡), 𝐹(𝑡) Fonction de relaxation et de fluage d’un modèle viscoélastique
PTE Modèle de Poynting-Thomson endommageable
PT Modèle rhéologique de Poynting-Thomson
𝐸0, 𝐸1, 𝜂, 𝜏 Coefficients du modèle de Poynting-Thomson 𝜀0, 𝜀1 La déformation dans le ressort isolé et la branche
de Kelvin-Voigt respectivement
𝐷 Variable d’endommagement scalaire
𝐻(𝐷) Fonction d’adoucissement
𝑌𝑐 Taux critique de restitution d’énergie critique
𝑓 surface de chargement
𝐿𝐶(𝑴, 𝒒) Problème de complémentarité linéaire en M et q
SCB Poutre entaillée en forme semi-circulaire
SENB Poutre rectangulaire entaillée
𝑎, 𝒂(𝑎), 𝑨 (𝐴), 𝔸(𝐴) Scalaire, vecteur (tenseur d’ordre 1 ), Matrice (tenseur d’ordre 2), et tenseur d’ordre 4 respectivement
EF Méthode des Eléments Finis
𝑢, 𝑢* Champ de déplacement et celui virtuel
𝜎,𝝈 Contrainte et tenseur de contrainte (𝑀𝑝𝑎)
𝜀,𝜺 Déformation et tenseur de déformation d’ordre 2
1
Introduction générale
Le réseau routier français compte plus d’un million de kilomètres gérés par l’Etat, les communes, les départements et les concessionnaires routiers. Il est l’un des plus denses d'Europe. Ce réseau estimé à 2000 milliards d’euros, représente le premier patrimoine de l’Etat.
Les chaussées dégradées nécessitent des travaux de rénovation et d’entretien afin de prolonger leur durée de vie et garantir la sécurité des usagers. Le rapport présenté en 2018 à la Direction des infrastructures de transport montre qu’environ 7 % du réseau national nécessite des travaux de rénovation et 17 % des routes présentent un état de dégradation plus ou moins important. L’objectif principal de l’Etat et des gestionnaires routiers est d’optimiser les ressources financières à mettre en place pour maintenir l’état de ces structures. A titre d’exemple, pendant ces dix dernières années, en moyenne 666 millions d’euros par an ont été consacrés par l’Etat aux dépenses d’entretien et de gestion du réseau routier national non concédé.
Une étude d’entretien de chaussée (au sein d’une étude plus générale à l’échelle d’un réseau routier) repose sur trois étapes qui consistent à :
Réaliser le diagnostic de l’état actuel de la chaussée Estimer sa durée de vie résiduelle hors travaux d’entretien
Proposer et comparer entre elles des solutions de maintenance, à la fois en termes de gain de durabilité et de coût financier.
Le déploiement de ce type de méthodologie passe par l’amélioration des techniques actuelles d’auscultation des chaussées mais aussi par des outils de modélisation numérique permettant de rendre compte du comportement des structures de chaussées endommagées (aide au diagnostic) et d’évolution de leur état, en fonction des différents scénarios d’entretien.
Cette thèse porte sur ce second volet, mais se situe encore relativement en amont des applications envisagées dans le futur. Elle a pour principal objectif le développement d’éléments théoriques et codes de calculs permettant l’étude de l’initiation et de la propagation de fissures dans des structures composées de matériaux à rhéologie thermo-viscoélastique, caractéristique du comportement des enrobés bitumineux (EB). Son champ d’action se limite ici au cas de chargements monotones et n’aborde pas les aspects de fatigue sous sollicitations mécaniques ou climatiques répétées. Les outils développés dans cette thèse peuvent s’appliquer dans un premier temps à l’interprétation des essais de fissuration sur matériaux bitumineux pratiqués en laboratoire pour différentes conditions de géométrie, de température et de vitesse de chargement.
Il a été pris le parti pour ce faire de s’appuyer sur l’approche TLS (Thick Level Set), récemment développée à l’ECN (Möes et al., 2010). Cette approche permet d’unifier les deux grandes familles de modélisation numérique de fissuration des structures, à savoir la mécanique de l’endommagement et la mécanique de la rupture. Elle repose sur une modélisation non locale de
2 l’endommagement et une technique de transition entre états endommagé et fissuré. Dans cette approche, l’évolution du dommage est représentée par la propagation d’un ensemble de courbes de niveau (level set) dont dépend la variable d’endommagement. L’évolution du front d’endommagement, séparant les zones saines et dégradées dans la structure, est imposée par une quantité non locale intégrant en tout point du front des informations prises sur l’épaisseur de la bande endommagée. Au-delà d’une certaine longueur critique à partir du front, le matériau est supposé complètement dégradé et une transition naturelle vers la fissuration est assurée par utilisation de l’approche XFEM.
Cette thèse contribue ainsi à étendre l’approche TLS au domaine des milieux viscoélastiques non encore traité dans la littérature, ni dans les codes numériques.
Le mémoire est divisé en cinq chapitres :
Le premier chapitre dresse un état de l’art des connaissances sur les propriétés physiques des matériaux viscoélastiques de type bitumineux et les phénomènes liés à ces matériaux lors des essais de rupture sous chargement monotone. Un même matériau est notamment susceptible de subir une rupture du type ductile ou fragile, selon les vitesses ou températures d’essai. On présente dans ce même chapitre les modèles rhéologiques qui permettent de modéliser les comportements dans le domaine viscoélastique linéaire. L’approche TLS appliquée à l’élasticité et l’algorithmique de résolution associée sont détaillées en fin de ce chapitre.
Le chapitre II est consacré au développement d’une loi locale d’évolution d’endommagement dans un milieu viscoélastique. Le modèle rhéologique de Poynting-Thomson (PT) est utilisé comme modèle viscoélastique de référence. L’endommagement au sein de ce modèle est introduit à travers le concept classique de contrainte effective. Sur la base des résultats expérimentaux tirés de la bibliographie du chapitre I, un critère d’endommagement et une loi d’évolution associée sont proposés. Le modèle obtenu est noté PTE (Poynting-Thomson Endommageable). Il peut être facilement étendu à un spectre de Kelvin-Voigt généralisé à nombre d’éléments finis, plus à même de représenter le comportement des matériaux bitumineux.
Le chapitre III décrit le développement, dans le cadre de l’approche TLS, de calcul semi-analytique d’une barre 1D viscoélastique endommageable (PTE), chargée en traction. Le problème est d’abord formulé analytiquement en termes de vitesse afin de discuter certaines conditions d’existence de solution. Les équations en vitesse sont ensuite intégrées numériquement par rapport au temps et à la variable d’espace pour une étude complète des solutions. Une comparaison qualitative de la réponse du modèle par rapport à certains résultats d’essais de laboratoire sur bitume, trouvés dans la littérature, est finalement réalisée.
Le chapitre IV consiste à intégrer l’approche TLS viscoélastique dans la méthode aux éléments finis en déplacement permettant d’effectuer des calculs 1D et 2D. Après tensorialisation du modèle PTE, un algorithme de calcul explicite de prédiction-correction ainsi qu’un algorithme de résolution couplée de l’ensemble des équations sont présentés. Ces deux algorithmes ont été intégralement programmés en C++ dans un code EF 1D. L’algorithme de prédiction-correction est ensuite implémenté dans le code eXlibris de l’Ecole Centrale afin de mener des simulations bidimensionnelles. L’ensemble de ces algorithmes 1D et leurs implémentations est validé sur la base de la solution semi-analytique du chapitre III.
Le dernier chapitre de la thèse traite de simulations 2D menées avec le module viscoélastique endommageable d’eXlibris. On valide dans un premier temps l’implémentation de l’algorithme de prédiction-correction sur l’exemple de la barre en traction maillée en 2D. On modélise ensuite un essai de flexion trois points sur mortier bitumineux tiré de la bibliographie. Les résultats numériques
3 obtenus sont comparés aux résultats expérimentaux. Des simulations avec entaille initiale de la poutre complètent les résultats de ce chapitre.
Ce travail ouvre vers de nombreuses perspectives présentées en conclusion générale de ce mémoire.
Cette thèse a été lancée dans le cadre de l’opération de recherche DEDIR de l’IFSTTAR (Dimensionnement à l’Entretien Durable des Infrastructures Routières) et est aujourd’hui en lien avec le projet national DVDC (Durée de Vie des chaussées).
5
I. Chapitre I : Synthèse bibliographique
6
I.1 Contenu et démarche
Ce chapitre dresse un rappel général sur la structure d’une chaussée et sur les problèmes que subissent les couches bitumineuses d’une structure routière. Il servira comme un point de départ pour comprendre le comportement mécanique des enrobés bitumineux (EB) et pour introduire les essais de laboratoire qui permettent de caractériser le comportement fissuré de ces matériaux. La fissuration représente un type parmi différents modes de dégradation des chaussées et sur lequel nous ciblons notre recherche.
Tout d’abord, on présente les différentes couches qui constituent une chaussée, les modes de fonctionnement et les pathologies que subissent ces structures. On parle également des enrobés bitumineux et du comportement visqueux inhérent de bitume qui se trouve dans les mélanges bitumineux et qui confèrent au mélange une sensibilité à la température et la vitesse de chargement. Le comportement viscoélastique réversible (sans endommagement) des matériaux bitumineux est présenté dans le domaine fréquentiel ou temporel. Dans ces deux domaines, on présentera également les modèles rhéologiques à spectre de relaxation continu et discret.
Concernant le comportement non réversible, on recense les essais de fissurations de la littérature en donnant leurs avantages et inconvénients des principaux essais de fissuration qu’on a pu trouver dans la littérature. L’essai de fissuration sous chargement monotone est retenu pour la suite de l’étude.
Les principes de la mécanique de l’endommagement et de la mécanique de la rupture sont présentés et on introduit l’approche TLS initialement développée pour les matériaux élastiques quasi-fragile. L’algorithme de calcul quasi-fragile et les techniques numériques développées pour cette approche sont détaillés. Cette approche servira de socle pour le développement de cette thèse.
7
I.2 Généralités sur les chaussées et les matériaux bitumineux
Une chaussée est une superposition des couches de différentes épaisseurs qui réagissent ensemble afin de supporter les chargements extérieurs appliqués. Parmi les sollicitations appliquées on peut distinguer celles dues au trafic (chargement vertical et horizontal) et celles dues aux conditions climatiques comme le gel, et la pluie.
Figure I-1: Différentes couches d'une chaussée (https://www.techniroute.fr/vos-routes).
Cette structure est composée de trois parties principales (Figure I-1), les couches de surface, les couches d’assise et le sol support. Chaque partie est constituée d’une ou de plusieurs couches de matériaux de différents types.
Les couches de surface sont les couches responsables de la transmission des chargements extérieurs (du trafic et du climat) dans la structure de la chaussée. Les couches d’assise transfèrent ces chargements par la suite vers le sol support. Ces couches possèdent différentes fonctions, elles sont conçues de manière à résister aux chargements tout en assurant les qualités suivantes :
Mécaniques : performance liée aux propriétés mécaniques;
Budgétaires : durée de vie et le coût de construction et de réparation; Sécurité et confort des usagers.
I.2.1 Les différents types des structures routières et les modes de
dégradations
Suivant le mode de fonctionnement de ces structures multicouches, la composition et la nature des matériaux utilisés dans les différentes couches, on peut regrouper les chaussées dans six catégories (Figure I-2) :
Chaussée souple
8 Chaussée mixte
Chaussée semi-rigide Chaussée à structure inverse Chaussée béton
Parmi ces types, les chaussées souples, les chaussées avec assise en couches bitumeuses et les chaussées mixtes constituent la majorité du réseau des routes sur le territoire français.
Figure I-2: Types et modes de fonctionnement de chaussées selon (Brabet 2012).
La Figure I-2 montre également la répartition des contraintes et des déformations dans les couches des différents types de chaussées.
Les matériaux figurant dans la Figure I-2 sont listés dans le tableau suivant : BB Béton Bitumineux
GNT Graves Non Traitées
MTLH Matériaux Traités au Liant Hydraulique
GB Grave-Bitume
GH Graves Hydrauliques
Tableau I-1: Les différents matériaux qui composent les couches d’une chaussée.
L’étude de la structure d’une chaussée tout entière et le dimensionnement de ses différentes couches ne font pas l’objectif de cette thèse. On s’intéresse principalement aux couches constituées par des matériaux bitumineux. Plus précisément, on s’intéresse à leurs comportements endommagés et
9 fissurés observés pendant les essais de laboratoires sous chargement monotone. Sur la Figure I-3 on présente quelques modes de fissuration qui se développent dans les structures routières sous l’influence du trafic (fatigue) et du climat (effet thermique).
Figure I-3: Les différents modes de fissuration d’une chaussée (https://theconstructor.org/transportation).
En général, les fissures longitudinales et de faïençage (des fissures plus ou moins rapprochées en forme du maillage) sont dues au phénomène de fatigue. Ce phénomène est causé par l’application d’un chargement cyclique répété et dont le nombre cumulé des cycles dépasse une certaine valeur-limite admissible. Parmi les premiers travaux qui penchent sur l’étude de la dégradation des chaussées par fatigue figurent les travaux de August Wöhler (1860 et 1870). Il a introduit la notion du nombre de cycles et la notion de la résistance à la fatigue.
L’autre phénomène de fissuration est dû principalement à la variation de la température. Ce type de fissuration thermique joue un rôle très important pour les climats extrêmes. Sur la Figure I-3 on voit deux types de fissuration thermique, la fissuration transversale et la fissuration en blocs.
D’autres types de dégradations peuvent également apparaitre dans une chaussée, comme par exemple le phénomène d’orniérage et la formation de nids de poule. Le premier est dû principalement à l’application d’un chargement mécanique sur une chaussée à température élevée, tandis que le deuxième phénomène – détecté pour la première fois en France pendant la période d’hiver de l’année 2001/2002 – est dû principalement à des cycles répétés de gel et de dégel (Van 2017).
En plus des sollicitations mécaniques et thermiques, on peut également citer les sollicitations hydriques et chimiques. Les sollicitations hydriques sont liées principalement à la pénétration et le mouvement de l’eau dans les couches d’une route (Pinzón and Such 2004) (Raab, Partl, and Abd El Halim 2012). Les sollicitations chimiques sont dues par exemple à l’utilisation du chlorure de sodium comme un fondant routier pendant les périodes hivernales dans certains pays (SETRA 2011). Ces deux types de sollicitations, et surtout la sollicitation hydrique, peuvent affecter l’état d’une chaussée et contribuer à sa dégradation.
I.2.2 Les enrobés bitumineux et leurs composants
Les couches bitumineuses d’une structure routière sont constituées d’un mélange de minéraux (granulats et fines) représentant environ 95% de la masse, et de liant hydrocarboné (le bitume), ce mélange s’appelle l’enrobé bitumineux.
Les granulats sont constitués par de gravillons et de pierres concassées. Ce dernier type de granulats est largement utilisé en France puisqu’il améliore la stabilité mécanique du mélange dû à la formation des arêtes vives qui permettent de bloquer le squelette (De La Roche 1996). En revanche, les fines sont les fractions minérales de diamètre inférieure à 80 𝜇𝑚.
10 Le liant hydrocarboné (le bitume) est obtenu principalement par distillation en raffinerie des pétroles bruts lourds. Ces bitumes sont regroupés en deux grandes familles selon leurs compositions chimiques, à savoir les asphaltènes (mélange hydrogène et carbone) et les maltènes (résines et huiles saturées). Le mélange bitume et fines s’appelle le mastic bitumineux. Lorsque par la suite on voudra parler indifféremment de mastic ou d’enrobés, on utilisera le terme « mélange bitumineux ». Le comportement mécanique du bitume est très sensible à la température et à la durée d’application du chargement, on parle donc d’une susceptibilité thermique et cinétique. La Figure I-4 résume les différentes classes de comportement qui subissent le bitume sous l’effet de la température et le niveau de déformation (Olard et al. 2003).
Figure I-4: Classes de comportement des bitumes en fonction de la température 𝑇 et la déformation 𝜀 (Olard et al. 2003).
Ce mélange des granulats et de bitume confère un comportement viscoélastique et une dépendance à la température. La teneur en bitume est donc un paramètre très important lors de la fabrication du mélange bitumineux. Il affecte directement le comportement de celui-ci.
Le comportement des EB peut être classifié selon le nombre de cycles de chargement et l’amplitude de déformation |𝜀|. L’effet de ces deux paramètres est classifié par Di Benedetto selon 4 grands classes de comportement (Di Benedetto 1990) (Olard et al. 2003):
Le comportement viscoélastique linéaire est observé pour un nombre faible de cycles de chargement (< 300) et un niveau de déformation qualifié comme faible (< 10−4) (voire la section I.3).
Le comportement non linéaire caractérisé par une déformation de quelques pour cent. Il est observé pour un nombre de cycles très faible.
Le phénomène de fatigue est observé pour une faible déformation mais pour un nombre de cycles de chargement de l’ordre de 104.
La quatrième classe de comportement est définie par l’apparition des déformations permanentes qui se cumulent jusqu’à l’apparition du phénomène de l’orniérage (Larsen and Ullidtz 1997)(Heck 2001)(Piau and Hornych 2002)(Habiballah 2005).
Dans la section suivante, on abordera le comportement viscoélastique linéaire des enrobés bitumineux (1er classe de comportement). Les principaux essais de laboratoire qui permettent de caractériser ce comportement sont également présentés.
11
I.3 Comportement viscoélastique linéaire des enrobés bitumineux
Le comportement des matériaux viscoélastiques est supposé linéaire si le principe de superposition de Boltzmann (Boltzmann 1878) est vérifié. Dans ce cas la fonction de fluage ou de relaxation (cf. I.3.3.1) est suffisante pour décrire le comportement de ce matériau (Salençon 1983). Ce principe de superposition stipule que la réponse finale d’un matériau soumis à des échelons de sollicitations élémentaires est égale à la somme des réponses à chaque échelon de chargement (Figure I-5).
Figure I-5: Principe de superposition de Boltzmann.
Par définition un matériau viscoélastique est dit non vieillissant si l’effacement du chargement appliqué conduit à un effacement total de la contrainte dans le matériau (𝜎∞ → 0). On peut également qualifier un matériau comme non vieillissant si l’absence des sollicitations mécaniques ne conduit pas à une évolution de ses propriétés mécaniques dans le temps. Ce comportement implique l’invariance du comportement du matériau par translation sur l’axe de temps (Figure I-6). Dans la section suivante, on présente les différents essais de laboratoires qui permettent de caractériser le comportement viscoélastique linéaire non vieillissant des matériaux bitumineux.
12
I.3.1 Les essais de caractérisation du comportement réversible des enrobés
bitumineux
Le comportement des matériaux viscoélastiques peut être caractérisé dans deux domaines, à savoir le domaine temporel et le domaine fréquentiel. Ce dernier est largement utilisé dans les laboratoires afin d’étudier le comportement des matériaux viscoélastiques comme le bitume et les EB.
Parmi les essais de caractérisation du comportement de bitume dans le domaine temporel on peut citer :
Essai de fluage en flexion à basse température BBR (Bending Beam Rheometer) Essai de traction SHRP (Strategic Highway Research Program)
Ces deux essais sont conçus et développés aux États-Unis dans le cadre du programme de recherche SHRP afin de déterminer les propriétés rhéologiques des liants hydrocarbonés (Anderson and Dongre 1995).
Dans le domaine fréquentiel, les essais de caractérisation des propriétés rhéologiques sont basés sur l’application d’un chargement cyclique et sinusoïdal centré à zéro à des fréquences et températures variées. Dans ce domaine le niveau de déformation atteint dans le matériau doit être maintenu faible de façon que le comportement du matériau reste linéaire. En général les hypothèses d’isotropie et d’homogénéité sont adoptées dans la procédure de caractérisation des propriétés des EB.
Les essais de module complexe réalisés sur le bitume sont nombreux, parmi ces essais : L’essai de module complexe rhéomètre plan-plan DSR (Dynamic Shear Rheometer) L’essai de traction-compression sur cylindre de bitume
Le premier essai est réalisé pour des températures faibles ( < 𝑇𝐵𝐴(1) −30°𝐶), tandis que le
deuxième est réalisé dans le domaine des températures intermédiaires. Sur la Figure I-7, les deux types d’essais de module complexe réalisés sur le bitume sont présentés.
(a) (b)
Figure I-7: Essais de module complexe réalisés sur le bitume : (a) l'essai au rhéomètre plan-plan (DSR) et (b) l’essai de traction compression sur cylindre de bitume.
13 Pour les EB, plusieurs types d’essais normalisés de module complexe (c’est-à-dire dans le domaine fréquentiel) sont montrés sur le Tableau I-2 suivant :
Géométrie Méthode d’essai Norme Homogénéité
des sollicitations
Éprouvette cylindrique
Traction indirecte (Brésilien) ASTM D 4123-82 Non homogène Traction-compression directe
EN 12697-26
Homogène Traction directe
Compression directe ASTM D 3497-79 Compression directe AASHTO TP 62-07 Éprouvette
trapézoïdale Flexion 2 points
EN 12697-26 Non homogène Éprouvette
rectangulaire
Flexion 3 points Flexion 4 points
Tableau I-2: Essais normalisés du module complexe sur EB, issus de (Doucet and Auger 2010).
Une autre classification des essais de laboratoire est basée sur l’état de déformation et de contrainte dans les éprouvettes à tester. On distingue alors les essais homogènes et les essais non homogènes (Tableau I-2). Pour ces derniers, des hypothèses de calcul supplémentaires sont nécessaires afin d’obtenir le comportement du matériau puisque l’état de contrainte et de déformation dans l’éprouvette varie d’un point à un autre.
Parmi les essais de module complexe réalisés sur les EB, on montre sur la Figure I-8 l’essai de flexion deux points sur poutre trapézoïdale et l’essai de traction-compression sur éprouvette cylindrique.
Figure I-8: Essai non homogène de flexion deux points sur poutre trapézoïdale (gauche), et essai homogène de traction-compression sur éprouvette cylindrique (droite).
Dans les deux sections suivantes (I.3.2 et I.3.3), on va présenter les méthodes d’exploitation des résultats d’essais dans le domaine fréquentiel et temporel.
14
I.3.2 Caractérisation des enrobés bitumineux dans le domaine fréquentiel
Dans ce domaine, on applique sur l’éprouvette une contrainte sinusoïdale de la forme :𝜎(𝑡) = 𝑅𝑒(𝜎0𝑒𝑖(𝜔𝑡)) = 𝑅𝑒(𝜎∗) = 𝜎
0cos(𝜔𝑡) (I-1)
où 𝜎0 est l’amplitude du cycle de contrainte appliquée et 𝜔 la pulsation (𝜔 =2𝜋𝑓) en rad/sec. La réponse viscoélastique en déformation à cette sollicitation est exprimée sous la forme suivante :
𝜀(𝑡) = 𝑅𝑒(𝜀0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛿)) = 𝑅𝑒(𝜀∗) = 𝜀0cos(𝜔𝑡 + 𝛿) (I-2) où 𝛿 représente l’angle de phase caractérisant le déphasage entre les signaux d’entrée et de sortie (Figure I-9). Ce paramètre est lié aux propriétés des matériaux viscoélastiques, il traduit la dissipation d’une partie de l’énergie par déformation.
Figure I-9: Déphasage entre la contrainte imposée et la réponse en déformation pour un matériau viscoélastique.
Le module complexe 𝐸∗ est défini par : 𝐸∗=𝜎 ∗ 𝜀∗ = 𝜎0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛿) 𝜀0𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝜎0 𝜀0 𝑒 𝑖𝛿 = |𝐸∗|𝑒𝑖𝛿 = 𝐸′+ 𝑖𝐸′′ (I-3) où |𝐸∗| est la norme du module complexe (module de rigidité), 𝐸′ est la partie réelle (module élastique dynamique de stockage) et 𝐸′′ est la partie imaginaire (module visqueux ou module de dissipation). Ainsi, on peut définir le module complexe soit par le module de stockage et de dissipation, soit par sa norme |𝐸∗| et l’angle de phase 𝛿. Dans ce domaine on peut également définir un module de cisaillement dynamique 𝐺∗= 𝐸∗
2(1+𝜈∗), un module de compressibilité dynamique 𝐾
∗= 𝐸∗
3(1−2𝜈∗), et un coefficient de Poisson dynamique 𝜈
∗= 𝜈′+ 𝑖𝜈′′. La partie imaginaire de 𝜈∗ est parfois très petite. Elle est donc négligée pour certains types d’essais (Charif 1991)(Doubbaneh 1995).
I.3.2.1 Caractérisation expérimentale des enrobés bitumineux
Les résultats d’essais de module complexe sur les matériaux bitumineux peuvent être représentés sur différentes courbes.
La courbe dans le plan de Cole-Cole – également appelé le plan complexe – est construite en traçant la partie imaginaire 𝐸′′ en fonction du module élastique dynamique 𝐸′ du module complexe (Figure I-11-b). En revanche, la courbe dans l’espace de Black est construite en traçant l’angle de phase 𝛿 en fonction de la norme du module dynamique (le module de rigidité |𝐸∗|) en échelle
semi-15 logarithmique (Figure I-11-a). Sur cette courbe on peut voir que pour les hautes températures, le module de rigidité est très faible.
Figure I-10: Isothermes du module de rigidité.
Les deux courbes présentées sur la Figure I-11 sont très importantes dans la procédure de calage des paramètres du modèle viscoélastique (I.4.2). On a construit ces courbes sur la base des résultats d’essai de module complexe (flexion deux points sur poutre trapézoïdale) réalisé à l’IFSTTAR sur des EB.
Figure I-11: Module complexe dans l'espace de Black (a) et dans le plan de Cole-Cole (b).
I.3.2.2 Principe d’équivalence temps – température PETT (fréquence – température) et la construction des courbes maîtresses
Les chercheurs ont observé que les courbes du module complexe dans le plan de Cole-Cole et dans l’espace de Black se suivent mutuellement. On appelle les matériaux qui possèdent cette propriété – comme les enrobés bitumineux – des matériaux thermorhéologiquement simples. En 1941, Leaderman a supposé l’existence d’un paramètre de calage 𝑎𝑇 qui permet de superposer les modules complexes (Leaderman 1943)(Schwarzl and Staverman 1952). Cette hypothèse est basée sur les observations expérimentales réalisées à différentes température et vitesse de chargement (pulsation 𝜔). Il a constaté expérimentalement que le module complexe obtenu à températures élevées est identique à celui obtenu à basses températures mais pour des temps de
16 chargement plus grands (Dupuy 2009). La superposition entre les modules complexes est alors obtenue en multipliant la fréquence (ou 𝜔) par le coefficient de translation 𝑎𝑇 (shift factor). Ce dernier ne dépend que de la température de référence 𝑇𝑟𝑒𝑓 et de la température des isothermes (du module complexe ou de l’angle de phase) à translater :
𝐸∗(𝜔, 𝑇) = 𝐸∗(𝜔𝑎
𝑇(𝑇), 𝑇𝑟𝑒𝑓) ; 𝑎𝑇(𝑇𝑟𝑒𝑓) = 1 (I-4)
𝑓(𝑇) = 𝑎𝑇(𝑇)𝑓(𝑇𝑟𝑒𝑓) (I-5)
Ainsi, il suffit d’identifier une seule variable afin de décrire complètement la variation du module complexe avec la fréquence (ou le temps) et la température.
Pour une température de référence de 0°𝐶 et les isothermes présentées sur la Figure I-10, on a tracé sur la Figure I-12 la courbe des isothermes en fonction des fréquences translatées. La courbe ainsi obtenue s’appelle la courbe maîtresse. C’est la courbe « de référence » du module complexe pour une température de référence donnée.
Figure I-12: Courbe maîtresse de la norme du module complexe pour une température de référence de 0°C.
L’importance du principe PETT est qu’il permet d’élargir la marge de vitesses des sollicitations imposées (fréquences) pour une température donnée vers des nouvelles vitesses (fréquences translatées) qui ne sont pas atteignables expérimentalement. Dans la section suivante nous présentons les principaux travaux développés pour le calcul de ce paramètre de translation 𝑎𝑇.
I.3.2.3 Construction de la courbe maîtresse et calcul du coefficient de translation
La construction de la courbe maîtresse est basée sur l’approximation de Booji et Thoone (Booij and Thoone 1982)(Chailleux et al. 2006) où le coefficient de translation entre la température de référence 𝑇𝑟𝑒𝑓 et la température 𝑇𝑖 est donné par :
log (𝑎𝑇(𝑇𝑖, 𝑇𝑟𝑒𝑓) ≈ ∑ 𝑙𝑜𝑔|𝐸 ∗(𝑇 𝑗, 𝜔)| − 𝑙𝑜𝑔|𝐸∗(𝑇𝑗+1, 𝜔)| 𝛿𝑚𝑜𝑦(𝑇𝑗,𝑇𝑗+1)(𝜔) 𝑗=𝑟𝑒𝑓 𝑗=𝑖 𝜋 2 (I-6)
où 𝛿𝑚𝑜𝑦(𝑇𝑗,𝑇𝑗+1)(𝜔) est la valeur moyenne de l’angle de phase calculée entre les deux températures 𝑇
𝑗 et 𝑇𝑗+1 pour une pulsation 𝜔.
17 Cette formule est basée sur les hypothèses suivantes (Chailleux, De La Roche, and Piau 2011) :
l’unicité de la courbe du module complexe dans le plan Cole-Cole et dans l’espace de Black la dépendance du 𝑎𝑇 de la seule fréquence
Le calcul du coefficient de translation 𝑎𝑇 pour une température non mesurée 𝑇𝑖 peut-être approché par la formule de Williams, Landel et Ferry, également dite la loi WLF (Williams, Landel, and Ferry 1955)(Ferry 1980) : log (𝑎𝑇(𝑇𝑖, 𝑇𝑟𝑒𝑓) = −𝐶1 𝑟𝑒𝑓 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) 𝐶2𝑟𝑒𝑓+ 𝑇𝑖− 𝑇𝑟𝑒𝑓 (I-7) où les paramètres 𝐶1𝑟𝑒𝑓 et 𝐶2𝑟𝑒𝑓 sont les constantes de la loi WLF pour une température de référence donnée.
Sur la Figure I-13 nous illustrons la loi WLF utilisée pendant la construction de la courbe maîtresse montrée sur la Figure I-12. Afin de calculer les paramètres de la loi, on a utilisé la méthode de moindres carrés et le solveur non linéaire du logiciel Excel (Tableau I-3).
Figure I-13: Identification des paramètres 𝐶1𝑟𝑒𝑓𝐶2𝑟𝑒𝑓 de la loi WLF pour 𝑇𝑟𝑒𝑓= 0°𝐶.
𝐶1𝑟𝑒𝑓 𝐶2𝑟𝑒𝑓
22.8 142.6
Tableau I-3: Paramètres de la loi WLF obtenus pour une température de référence 𝑇𝑟𝑒𝑓= 0°𝐶.
Cette loi nous permet de calculer les paramètres de translation 𝑎𝑇 d’une façon continue (voir la Figure I-13). On peut également calculer les deux paramètres (𝐶1𝑟𝑒𝑓′et 𝐶2𝑟𝑒𝑓′) de cette loi pour une autre température de référence 𝑇𝑟𝑒𝑓′ tels que :
𝐶2𝑟𝑒𝑓′ = 𝐶2𝑟𝑒𝑓+ 𝑇𝑟𝑒𝑓′− 𝑇𝑟𝑒𝑓 (I-8) 𝐶1𝑟𝑒𝑓′ = (𝐶1𝑟𝑒𝑓𝐶2𝑟𝑒𝑓)/𝐶2𝑟𝑒𝑓′ (I-9) Ces deux formules sont basées sur la propriété d’invariance de la loi WLF à la température de référence choisie. Pour une température de référence 𝑇𝑟𝑒𝑓′ = 10°𝐶, les coefficients 𝐶2𝑟𝑒𝑓′ et 𝐶1𝑟𝑒𝑓′ calculés valent 21.29 et 152.57, respectivement. On peut donc construire les courbes maîtresses pour cette nouvelle température de référence.
18 Une autre loi qui permet de calculer le coefficient de translation est la loi d’Arrhénius :
log (𝑎𝑇(𝑇𝑖, 𝑇𝑟𝑒𝑓)) = 𝛿𝐻 𝑅 ( 1 𝑇𝑖− 1 𝑇𝑟𝑒𝑓) (I-10)
où 𝑅 = 8.314 J. mol−1. K−1 est la constante des gaz parfaits et 𝛿𝐻 est l’énergie d’activation apparente du matériau.
I.3.3 Caractérisation des enrobés bitumineux dans le domaine temporel
Les matériaux dont leurs comportements dépendent de l’histoire de chargement peuvent être décrits en se basant sur deux approches. La première approche est basée sur le concept des variables internes (Coleman and Gurtin 1967). La deuxième approche est basée sur un produit de convolution – des intégrales héréditaires – où seules les histoires des variables observables sont prises en compte (Lubliner 1990). Dans les sections suivantes on présente succinctement ces deux familles de description du comportement viscoélastique.I.3.3.1 Description par fonction de fluage ou de relaxation
Dans le domaine temporel, le comportement des matériaux viscoélastiques linéaires peut être totalement décrit par la fonction de fluage ou de relaxation.
Figure I-14: Essai de fluage (à contrainte et température constante) et la réponse en déformation.
La réponse d’un matériau viscoélastique linéaire non vieillissant à un échelon de contrainte est donnée par :
𝜀(𝑡) = 𝜎0 𝐹(𝑡0, 𝑡) (I-11)
où 𝐹 est la fonction de fluage. En revanche, la fonction qui relie la contrainte avec un échelon de déformation imposée s’appelle la fonction de relaxation 𝑅. Les essais qui permettent d’obtenir ces deux fonctions sont appelés les essais de fluage et de relaxation.
Pour une succession d’essais de relaxation et de fluage, la réponse est obtenue en s’appuyant sur le principe de superposition de Boltzmann telle que :
𝜀(𝑡) = ∫ 𝐹(𝜏, 𝑡)𝑑𝜎(𝜏) 𝑡 𝑡0 = 𝜎(𝑡0)𝐹(𝑡0, 𝑡) + ∫ 𝐹(𝜏, 𝑡)𝜎̇(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 (I-12) Ici l’hypothèse de non-vieillissement implique l’invariance des propriétés mécaniques du matériau en absence de sollicitations. Donc, le comportement du matériau dépend uniquement de la durée d’application du chargement. Cette hypothèse permet d’écrire :
𝜀(𝑡) = 𝜎(𝑡0)𝐹(𝑡 − 𝑡0) + ∫ 𝐹(𝑡 − 𝜏)𝜎̇(𝜏)𝑑𝜏 𝑡
𝑡0
19 où l’opérateur ⊗ représente le produit de convolution entre deux fonctions.
De la même façon, la réponse d’un matériau viscoélastique linéaire soumis à une déformation quelconque 𝜀(𝑡) est obtenue par le produit de convolution :
𝜎(𝑡) = 𝜀(𝑡0)𝑅(𝑡 − 𝑡0) + ∫ 𝑅(𝑡 − 𝜏)𝜀̇(𝜏)𝑑𝜏 𝑡
𝑡0
=𝑅⊗ 𝜀̇ (I-14)
Dans les expressions de l’équation (I-13) et (I-14), le principe d’équivalence temps-température est introduit en réduisant la variable temporelle par le coefficient de translation 𝑎𝑇 :
𝐹(𝑡, 𝑇) = 𝐹𝑇𝑟𝑒𝑓(𝑡 𝑎𝑇 ) 𝑅(𝑡, 𝑇) = 𝑅𝑇𝑟𝑒𝑓(𝑡 𝑎𝑇) (I-15) L’extension des lois de convolution 1D présentées ci-avant au cas tridimensionnel est possible (pour un matériau isotrope) en écrivant les relations entre les composantes déviatoriques et volumiques des tenseurs de déformation 𝜺 et de contrainte 𝝈. Dans le cas particulier où le coefficient de Poisson 𝜈 est supposé constant, ces deux relations se combinent dans une seule équation :
𝜺(𝑡) = ∫ ℱ(𝑡 − 𝜏, 𝑇)𝑑
𝑑𝑡((1 + 𝜈)𝝈(𝜏) − 𝜈𝑡𝑟(𝝈)𝑰)𝑑𝜏 𝑡
0
(I-16) En général, le coefficient de Poisson obtenu à partir d’essais de module complexe dépend de la fréquence et de la température d’essai, le coefficient 𝜈 augmente avec l’augmentation de la température et la diminution de la fréquence. Sa valeur varie entre 0.2 et 0.5 (Chailleux et al. 2011)(Nguyen et al. 2009)(Benedetto, Delaporte, and Sauzéat 2007).
I.3.3.2 Description par des variables internes
Les variables internes sont des variables qu’on ne peut pas contrôler directement au contraire des variables externes comme la température et le tenseur de déformations (Mandel 1980). Ces variables cachées constituent la base de la méthode de l’état local (internal state variable
theory) introduite par Coleman and Gurtin (1967). Cette théorie postule que pour pouvoir décrire
complètement l’état thermodynamique d’un matériau, on a besoin des variables externes ainsi que des variables internes. Ces dernières sont, dans la plupart de cas, liées à des phénomènes dissipatifs. Prenons par exemple le cas des matériaux qui subissent les phénomènes de plasticité et de viscoplasticité. Dans ce cas la déformation totale est écrite comme une partition en déformation plastique et déformation élastique (Lemaitre and Chaboche 2004). L’une de ces deux déformations peut être prise comme une variable interne telle que :
𝜀 = 𝜀𝑒+ 𝜀𝑝 (I-17)
Dans le cas des matériaux viscoélastiques décrits par des modèles rhéologiques (I.4), les variables internes sont également obtenues par partition de la déformation totale (Sidoroff 1976). Prenons par exemple le modèle rhéologique de Poynting-Thomson (Figure I-19), on peut décrire le comportement de ce modèle à partir de la variable observable 𝜀 et la variable interne 𝜀1 = 𝜀 − 𝜀0. Un résumé de l’ensemble des approches qui sont basées sur la méthode de l’état local est illustré sur la Figure I-15.
L’importance de la formulation du problème viscoélastique en terme des variables internes réside dans la capacité de l’approche de prendre en compte des informations liées à la microstructure. Par
20 ailleurs, elle permet d’introduire des modèles physiques directement dans la formulation des équations du problème. Cette approche possède également des avantages liés à la procédure d’implémentation numérique dans les codes de calcul (Severino P.C. Marques and Creus 2012). Dans cette thèse on a utilisé cette théorie afin de décrire le comportement viscoélastique des matériaux bitumineux.
Figure I-15: Histoire de la théorie de l’état local et ses applications dans les différents domaines (Horstemeyer and Bammann 2010).
21
I.4 Modèles Rhéologiques
Les modèles rhéologiques sont des modèles qui permettent de rendre compte du comportement des matériaux viscoélastiques non vieillissants. Ces modèles sont constitués par un assemblage des modèles simples, comme le modèle de Hooke et le modèle de Newton. Le premier est caractérisé par une déformation réversible et un rétablissement instantané après libération des sollicitations appliquées, il est représenté par un ressort (Figure I-16-a). Le deuxième est caractérisé par une déformation irréversible et une proportionnalité entre le chargement appliqué et le taux de déformations, il est représenté par un amortisseur linéaire (Figure I-16-b).
(a) (b)
Figure I-16: Éléments de base pour les modèles rhéologiques, a-Ressort, b- Amortisseur linéaire.
Le ressort représente un comportement élastique tandis que l’amortisseur linéaire représente un comportement visqueux. Les lois de comportement qui représentent la réponse de ces deux éléments sont données par :
𝜎 = 𝐸𝜀 (I-18)
𝜎 = 𝜂𝜀̇ (I-19)
avec 𝜎 la contrainte appliquée sur l’élément et 𝜀 la déformation subie par ce dernier.
Le comportement réel des matériaux viscoélastiques peut être décrit par un assemblage en parallèle et en série de ces deux éléments de base (également appelés "unités"). La réponse de ces modèles assemblés devient plus représentative du matériau viscoélastique lorsque le nombre des unités constituant ce modèle est suffisant.
Dans la section suivante nous présentons les principaux modèles rhéologiques qui permettent de simuler la réponse des matériaux bitumineux. Ces modèles sont classés en deux grandes familles, les modèles à spectre de relaxation discret et les modèles à spectre de relaxation continu.
I.4.1 Modèles à spectre de relaxation discret
Les modèles rhéologiques à spectre de relaxation discret sont des modèles qui possèdent un nombre discret d’éléments ayant chacun une valeur de module 𝐸𝑖 correspondant à un temps de relaxation 𝜏𝑖. Cette section est consacrée à une présentation des principaux modèles rhéologiques qui permettent de modéliser la réponse des matériaux bitumineux dans le domaine viscoélastique linéaire.
NB: Deux outils numériques largement utilisés dans ce domaine sont la transformation de Laplace et celle de Laplace-Carson. La transformée d’une fonction 𝑓(𝑡) – définie dans le domaine temporel – dans l’espace de Laplace Carson (𝐿𝐶) est donnée par :
𝐿𝐶{𝑓(𝑡)} = 𝑓̃(𝑠) = 𝑠𝑓̅(𝑠) = 𝑠 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∞
0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (I-20)
22
I.4.1.1 Modèle de Maxwell généralisé
Le modèle de maxwell généralisé (Figure I-17) est formé d’un assemblage en parallèle d’un nombre fini des modèles de maxwell (un ressort en série avec un amortisseur linéaire). L’importance de ce modèle est qu’il permet de simuler le comportement des matériaux bitumineux en utilisant un nombre (𝑁) suffisant des branches de Maxwell. Selon DI BENEDETTO , le nombre minimal des branches de Maxwell pour être représentatif d’un comportement réel des EB est égal à 8 (EUROBITUME 1996) (Lee 1996) (Di Benedetto et al. 2001a).
Figure I-17: Modèle rhéologique de Maxwell généralisé.
La fonction de relaxation de ce modèle est :
𝑅(𝑡) = 𝐸∞+ ∑ 𝐸𝑖𝑒−𝑡/𝜏𝑖
𝑁
𝑖=1
(I-21) où 𝜏𝑖 = 𝜂𝑖/𝐸𝑖 est le temps de relaxation de la branche 𝑖.
Dans l’espace de Laplace-Carson (𝐿𝐶), la fonction de relaxation de ce modèle s’écrit : 𝑅̃(𝑠) = 𝐸∞+ ∑ 𝐸𝑖 𝑠 𝑠 + 1/𝜏𝑖 𝑁 𝑖=1 (I-22) Le module complexe est obtenu après remplacement de la variable (𝑠) par (𝑖𝜔), où 𝑖 est le nombre complexe et 𝜔 = 2𝜋𝑓 la pulsation harmonique. Ainsi le module complexe du modèle prend la forme : 𝐸∗(𝑖𝜔) = 𝐸 ∞+ ∑ 𝑖𝜔𝐸𝑖 1 𝜏𝑖 + 𝑖𝜔 𝑁 𝑖=1 = 𝐸∞+ ∑ 𝐸𝑖 𝑖𝜔𝜏𝑖 1 + 𝑖𝜔𝜏𝑖 𝑁 𝑖=1 (I-23) Autrement dit, le module complexe est égal à la transformation de LC au point 𝑖𝜔 de la fonction de relaxation du modèle choisi. Ce passage entre le domaine temporel et fréquentiel est possible dans le cadre de la théorie de la viscoélasticité linéaire (Mandel 1955) (Linder et al. 1986)(Piau and Heck 1996). La loi de comportement de ce modèle est donnée par le produit de convolution 𝜎 =𝑅⊗ 𝜀̇
23
I.4.1.2 Modèle de Kelvin-Voigt généralisé
Le modèle de Kelvin-Voigt généralisé est constitué d’un ressort monté en série avec un nombre fini (N) des modèles de Kelvin-Voigt (Figure I-18).
Figure I-18: Modèle de Kelvin-Voigt généralisé.
La fonction de fluage de ce modèle est : 𝐹(𝑡) = 1 𝐸∞ + ∑1 𝐸𝑖 𝑁 𝑖=1 (1 − 𝑒−𝑡/𝜏𝑖) (I-24)
et le module complexe s’écrit :
𝐸∗(𝑖𝜔) = (∑ 1 𝐸∞+ 1 𝐸𝑖+ 𝑖𝜔𝜂𝑖 𝑁 𝑖=1 ) (I-25)
Ce modèle permet de décrire correctement le comportement des matériaux viscoélastiques comme le bitume et les EB pour un nombre suffisant de branche de Kelvin-Voigt.
La loi de comportement de ce modèle est donnée par le produit de convolution 𝐹⊗ 𝜎̇ (voir l’équation (I-13) en 1D). Une autre forme de la loi de comportement est donnée par l’équation suivante : 𝜀(𝑡) = ( 1 𝐸∞ + ∑ 1 𝐸𝑖+ 𝜂𝑖𝜕𝑡𝜕 𝑁 𝑖=1 ) 𝜎(𝑡) (I-26)
Dans cette dernière équation l’opérateur différentiel (𝜕
𝜕𝑡) est traité comme une entité algébrique (Severino P. C. Marques and Creus 2012).
I.4.1.3 Modèles de type Solide Linéaire Standard (SLS)
Les deux modèles de base du type SLS à trois éléments sont les modèles 3V et SLS-3M. Le premier est obtenu en montant un ressort en série avec une unité de Kelvin-Voigt (Figure I-20). Dans ce cas les fonctions de fluage de l’unité de Kelvin-Voigt et du ressort isolé s’additionnent (loi en série), alors que pour le modèle SLS-3M, ce dernier est obtenu en plaçant un ressort en parallèle avec un modèle de Maxwell (Figure I-23). Dans ce cas les fonctions de relaxation s’ajoutent (loi en parallèle). Ces modèles permettent de représenter le comportement des solides avec un nombre minimum d’éléments (ressort, amortisseur).
24
I.4.1.3.1 Modèle de Poynting-Thomson (PT)
Le modèle de PT – également dit Solide Linéaire Standard de Voigt à trois éléments (𝑆𝐿𝑆3𝑉)– est obtenu en montant un ressort de rigidité 𝐸0 en série avec un modèle de Kelvin-Voigt (Figure I-19).
Figure I-19: Modèle rhéologique de Poynting-Thomson (SLS3V).
La fonction de fluage du modèle dans le domaine temporel est donnée par : 𝐹(𝑡) = 1
𝐸1(1 − 𝑒 −𝜏𝑡
1) + 1
𝐸0 (I-27)
et la fonction de relaxation s’écrit : 𝑅(𝑡) = 𝐸0
𝐸0+ 𝐸1(𝐸1+ 𝐸0𝑒
−𝑡(𝐸0+𝐸1
𝐸1𝜏 )) (I-28)
Le comportement « aux limites » du modèle de PT est déduit de cette fonction de relaxation tel que :
Pour les très grandes vitesses de chargement : on cherche la réponse instantanée de ce modèle (𝑡 → 0), alors on obtient : 𝑅(𝑡 → 0) = 𝐸0. Le modèle dans ce cas est équivalent à un ressort de rigidité 𝐸0.
Pour les très faibles vitesses de chargement : on cherche dans ce cas la réponse du modèle à l’infini (𝑡 → ∞). On obtient dans ce cas un module qui est équivalent à deux ressorts montés en série tel que : 𝑅(𝑡 → ∞) = 𝐸0𝐸1
𝐸0+𝐸1 .
En appliquant une contrainte constante 𝜎 = 𝜎0𝐻(𝑡), on obtient : 𝜀(𝑡) = 𝜎0(1
𝐸0 + 1
𝐸1
(1 − 𝑒−𝑡𝜏)) (I-29)
25
Figure I-20: Réponse du modèle SLS à une contrainte constante.
avec 𝜀0= 𝜎0
𝐸0 , 𝜀𝑒= 𝜎0
𝐸𝑅 . 𝐸𝑅 est le module relaxé, il est égal à 𝐸0𝐸1
𝐸0+𝐸1 .
En appliquant une déformation constante 𝜀 = 𝜀0𝐻(𝑡), l’évolution de la contrainte est donnée par : 𝜎(𝑡) = 𝜀0( 𝐸0𝐸1 𝐸0+ 𝐸1+ ( 𝐸0 𝐸1) 𝐸0𝐸1 𝐸0+ 𝐸1𝑒 −𝑡 𝜏′) = 𝜎 𝑒+ 𝜎𝑒 −𝑡 𝜏′ (I-30) tel que 𝜏′ = 𝜏 𝐸1
𝐸0+𝐸1 . Cette évolution est présentée sur la Figure I-21 :
Figure I-21: Réponse du modèle SLS à une déformation constante.
avec 𝜎(𝑡 = 0) = 𝜎0 = 𝜎𝑒+ 𝜎 = 𝐸0𝜀0 et 𝜎(𝑡 = ∞) = 𝜎𝑒 = 𝜀0(𝐸0𝐸1
𝐸0+𝐸1).
La loi de comportement du modèle est :
(𝐸0+ 𝐸1)𝜎 + 𝜂𝜎̇ = 𝐸0(𝐸1𝜀 + 𝜂𝜀̇ ) (I-31) et le module complexe s’écrit :
𝐸∗(𝑖𝜔) = 𝐸1 + 𝜏1𝜏𝜔 2 1 + (𝜏𝜔)2+ 𝑖𝐸
(𝜏1− 𝜏)𝜔
1 + (𝜏𝜔)2 (I-32)
où 𝜏 et 𝜏1 = 𝜂/𝐸1 sont le temps à l’équilibre et le temps caractéristique de relaxation, respectivement et i est l’unité imaginaire. Le ressort de rigidité 𝐸0 représente le module élastique instantané du modèle.
26 Notons que les modèles de Kelvin-Voigt et de Maxwell sont des cas particuliers du modèle de PT. Le premier est obtenu quand 𝐸0 tend vers zéro, et le deuxième est obtenu quand le module 𝐸1 tend vers zéro.
La Figure I-22 montre la réponse du modèle de Kelvin-Voigt, de Maxwell et de Zener (ou de PT) à un essai de fluage et de relaxation :
Figure I-22: Fluage et relaxation du modèle de Maxwell, Kelvin-Voigt et Zener (ou Poynting-Thomson).
On voit que le modèle de PT est capable de prendre en compte le phénomène de relaxation des contraintes. En revanche un seul temps de relaxation n’est pas suffisant pour être représentatif du comportement réel des matériaux bitumineux.
I.4.1.3.2 Modèle de Zener (SLS-3M)
Le modèle de Maxwell standard à trois éléments, nommé Zener (SLS3M), est obtenu en montant un ressort de rigidité 𝐸0 en parallèle avec un modèle de Maxwell (Figure I-23).
Figure I-23: Modèle de Zener (SLS3M).
La loi de comportement du modèle est : 𝜎 + 𝜂
𝐸1
𝜎̇ = 𝐸0𝜀 + 𝜂 𝐸1
(𝐸0+ 𝐸1)𝜀̇ (I-33)
La réponse de ce modèle à une contrainte constante est identique à la réponse présentée sur la Figure I-20. Sous une déformation constante, la réponse du modèle est identique à celle de la Figure I-21. Les deux modèles SLS de Maxwell et de Voigt sont des modèles conjugués. Dans la section suivante on présente la procédure de construction d’un modèle conjugué et la méthode de calcul des paramètres de celui-ci.
27
I.4.1.4 Construction d’un modèle conjugué
Un modèle conjugué est un modèle qui permet, après un choix convenable des paramètres de ce modèle, de trouver la même réponse que celle du modèle de base. La construction d’un tel modèle conjugué est réalisée en appliquant les règles d’ALFREY suivantes (Tschoegl 1989) :
Une combinaison en série de deux éléments de types différents est remplacée par une combinaison en parallèle de ces deux éléments dans le modèle conjugué et inversement. Le nombre de chaque type d’élément (ressort et amortisseur) reste le même dans le modèle
conjugué.
La présence (resp. absence) d’un élément isolé dans le modèle de base nécessite l’absence (resp. présence) d’un élément conjugué (Ressort ↔ Amortisseur) et isolé dans le modèle conjugué.
Calcul des paramètres du modèle conjugué
Prenons par exemple le modèle de Poynting-Thomson (SLS-3V). Le modèle conjugué à ce dernier est le modèle de Zener (SLS-3M) présenté sur la Figure I-23.
Dans la suite, les exposants M et V représentant les modules 𝐸1et 𝐸0 sont adoptés pour distinguer les modules de ces deux modèles.
La réponse de ces deux modèles pour un échelon de contrainte (ou de déformation) est identique. Ainsi, on peut calculer les paramètres du modèle conjugué en comparant l’expression de la déformation trouvée dans le plan de Laplace pour les deux modèles. La même stratégie est valable dans le domaine temporel :
𝜀̅𝑉(𝑠) =𝜎0 𝑠 ( 1 𝐸0𝑉+ 1 𝐸1𝑉+ 𝜂𝑉𝑠) (I-34) 𝜀̅𝑀(𝑠) = 𝜎0 𝑠 ( 1 + 𝜏𝑠 𝐸0𝑀+ (𝐸 0𝑀+ 𝐸1𝑀)𝜏𝑠 ) = 𝜎0( 1 (𝐸0𝑀+ 𝐸 1𝑀)𝑠 + 𝐸1 𝑀 (𝐸0𝑀+ 𝐸 1𝑀)𝐸0𝑀 1 𝑠(1 + 𝜏′𝑠)) (I-35) L’égalité entre les termes de ces deux équations conduit aux relations suivantes :
𝐸1𝑀 = (𝐸0 𝑉)2 𝐸1𝑉(1 +𝐸0𝑉 𝐸1𝑉) , 𝐸0𝑀= 𝐸 0𝑉− 𝐸1𝑀 ; 𝜂𝑀= 𝜂𝑉 (𝐸1𝑀)2 (𝐸0𝑀+ 𝐸1𝑀)2 (I-36) Application numérique
Considérons un modèle de PT dont les paramètres sont donnés dans le Tableau I-4. (𝐸0𝑉(𝐾𝑁/𝑚𝑚2) 22.58
𝐸1𝑉(𝐾𝑁/𝑚𝑚2) 11 𝜂 (𝐾𝑁. 𝑗/𝑚𝑚2) 500
Tableau I-4: Paramètres du modèle de PT (SLS-3V).
En appliquant les équations (I-36), on obtient les paramètres du modèle rhéologique conjugué de Zener (SLS3M). Ces paramètres sont listés dans le Tableau I-5.
28 𝐸0(𝐾𝑁/𝑚𝑚2) 7.4
𝐸1(𝐾𝑁/𝑚𝑚2) 15.2 𝜂 (𝐾𝑁. 𝑗/𝑚𝑚2) 226
Tableau I-5: Paramètres du modèle conjugué de Zener (SLS3M).
Pour quatre vitesses de déformations imposées (𝜀̇ = 𝑎), les réponses du modèle de PT et de Zener conjugué sont présentées sur la figure suivante :
Figure I-24: Réponse des modèles standards conjugués (PT et Zener) sous différentes vitesses de déformations imposées.
I.4.2 Modèles à spectre de relaxation continu et amortisseur parabolique
Les modèles à spectre de relaxation continu comportent un nouvel élément qui s’appelle l’amortisseur parabolique (Figure I-25).Figure I-25: Amortisseur parabolique.
La fonction de fluage associée à cet élément ayant la forme : 𝐹(𝑡) = 𝑎 (𝑡
𝜏) ℎ
(I-37) où 𝑎 est une constante adimensionnelle, 𝜏 est le temps caractéristique qui dépend seulement de la température et l’exposant ℎ est un scalaire compris entre 0 et 1.
