6.4 Décomposition atomique et illustrations
6.4.1 Décomposition atomique
Notre objectif de caractérisation passe par une description d’un signal par des atomes, qui sont des particules élémentaires censées représenter les différentes phases sismologiques, ou tout du moins des paquets d’onde restreints. Alors que nous avons trouvé des fonctions d’analyses qui semblent intéressantes (chirplets) pour analyser les signaux, il est désormais important de trouver un algorithme capable de réaliser une extraction atomique. D’un point de vue de terminologie, les atomes seraient de ce point de vue les chirplets (+ module et phase) caractérisant au mieux le signal.
Afin d’extraire les atomes (ou meilleures chirplets), il est théoriquement possible d’ex-traire les maxima locaux du spectrogramme des modules et ainsi caractériser un atome. Un atome serait donc la chirplet ayant localement montré le plus fort module, i.e. la plus forte ressemblance avec le signal, tout du moins localement. Cependant, les ondes d’un sismo-gramme local sont la plupart du temps interférées et une extraction des maxima locaux sur le spectrogramme pose problème. Dans la figure 6.7, une onde (a) est interférée successivement avec (b), (c) et (d). L’onde (b) est assez distante temporellement de (a) et lorsqu’elles sont interférées (ab), la détection (maximum local dans le plan temps-fréquence) de chacune est assez simple. Par contre, lorsqu’elle est temporellement plus proche, (c), le spectrogramme de leur interférence (ac) montre que la détection et la séparation des deux ondes est beaucoup plus difficile. Leur contenu fréquentiel est trop proche et une interférence constructive crée un maximum local supplémentaire. Cet artefact peut passer pour une troisième onde dans le spectrogramme et fausser toute la décomposition. Si l’onde est de trop faible amplitude (d), elle n’est même plus visible sur le spectrogramme et aucun maximum local n’est détecté pour cette onde mineure (ad). Il est donc indispensable d’utiliser un processus capable de "désinterférer" et séparer les ondes, étape indispensable pour une extraction atomique.
Afin de décomposer le signal en particules élémentaires de chirplets, nous avons choisi une décomposition itérative de type Matching Pursuit (MP) [Mallat and Zhang, 93]. Selon ce principe, un signals (t) peut être considéré comme
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FIG. 6.6 – Influence du vecteur paramètre e. Trois valeurs dee1(0.2, 0.5 et 0.8) sont combi-nées avec trois valeurs dee2 (0., 0.25, 0.5). Le paramètree1 déplace le sommet de la Gaus-sienne de impétus quand e1 → 0.0 à émergent quand e1 → 1.0. Le paramètre e2 contrôle la durée du plateau constant au niveau du sommet de la Gaussienne après déformation. Ex-primé en fraction de la durée totale de la chirplet,e2 = 0.5 signifie que la durée du plateau
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FIG. 6.7 – Onde étalon interférée avec différentes ondes tests et détection des maxima locaux en représentation temps-fréquence. (a) onde étalon, (b) première onde test, distante en temps de l’onde étalon, (ab) interférence entre a et b et différenciation des deux maxima locaux dans la représentation temps fréquence ; (c) seconde onde test, plus proche en temps de l’onde étalon, (ac) interférence entre a et c et artefact dans la représentation temps-fréquence (apparition d’un 3ème maximum local) ; (d) dernière onde test, distante en temps de l’onde étalon, mais de faible amplitude, (ad) l’interférence ne permet aucune détection de la petite onde dans le plan temps-fréquence. Les croix blanches représentent les positions des maxima locaux sur le spectrogramme des ondes seules. Lorsque les ondes sont interférées, les croix représentent donc la position théorique des maxima locaux et les points blancs leur position effective.
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s (t) = P
k
Akck(t)
avecAkles amplitudes des différents atomesck. À chaque itération, l’algorithme détecte la chirpletck du dictionnaireD qui représente le mieux le signal. À la fin de cette itération,
la chirplet ainsi détectée est retirée au signal et le résidu ainsi obtenu est réinjecté dans l’itération suivante. L’opération est répétée un certain nombre d’itérations jusqu’à ce que la sommation des chirplets détectées représente un pourcentage acceptable de l’énergie (par exemple 95 %), que nous appellerons par la suite critère d’arrêt. L’intérêt principal de cet algorithme itératif est sa capacité à séparer des ondes.
Chaque itération n est caractérisée par un résidu noté Rn−1s (avec R0s = s (t) à la
première itération). Le processus itératif est le suivant :
1) calcul de la ressemblance entre le résidu d’ordren − 1 à l’itération n − 1 avec chacun
des atomes du dictionnaire.
¯
¯Rn−1s, ck ®¯
¯ 2
2) sélection de l’atome le plus ressemblant
ckn= arg max¯
¯Rn−1s, ck ®¯
¯ 2
3) calcul du nouveau résidu Rns par soustraction du meilleur atome Rns = Rn−1s −Rn−1s, ck® ckn
aprèsN itérations, le signal peut être approximé par
sn = s − RNs = N X n=1 ¯ ¯Rn−1s, ck ®¯ ¯ 2
L’énergie de reconstruction d’une approximation deN chirplets est donnée par
||s||2 = N X n=1 ¯ ¯Rn−1s, ck ®¯ ¯ 2 +¯¯ ¯ ¯RNs¯¯ ¯ ¯ 2
Théoriquement, si le dictionnaire est parfait, il est possible de parvenir à
limN→∞ ¯ ¯ ¯ ¯RNs¯¯ ¯ ¯= 0
mais il est préférable de fixer un critère d’énergie à atteindre pour éviter de nombreuses itérations peu utiles.
Dans un algorithme de MP itératif, chaque itérationn se fait dans le but de déterminer
la chirplet c+kn la plus ressemblante avec le signal. Pour ceci, le signal est convolué avec les complexes conjugués de toutes les chirplets du dictionnaire dans le domaine de Fourier (transformée de Hilbert). Pour chaque couple chirplet-signal testé, le résultat de ce calcul est un module et une phase. La détection de la meilleure chirplet se réalise par comparaison des
6.4. DÉCOMPOSITION ATOMIQUE ET ILLUSTRATIONS 173
modules et nous ne conservons que la chirplet ayant donné le plus fort module. La norma-lisation sur l’énergie des fonctions d’analyses chirplets que nous avons effectué auparavant permet de comparer entre eux des modules de chirplets de longueur et fréquence totalement différentes.
À chaque itération, le dictionnaire complet D+ de chirplets c+k peut être bâti en ité-rant sur des boucles imbriquées def , t, o, q et e. Bien que simple en théorie, la taille du
dictionnaire rend très complexe l’usage de cet algorithme. Une itération imbriquée exhaus-tive sur 7 paramètres est inconcevable. Nous avons développé une méthode en nous ba-sant sur les techniques de Gribonval sur l’approche temps-fréquence de la meilleure chirplet [Gribonval, 2001]. En pratique, il explore tout le plan temps fréquence avec des ondelettes (t et f uniquement) et détecte la zone de plus forte énergie, puis optimise localement (a et q
de l’équation 6.1) autour de la zone intéressante détectée à l’étape précédente. Il a cependant utilisé cet algorithme avec des chirplets simplifiées et une amélioration est nécessaire pour être adaptable à notre problème.