Les critères à améliorer en priorité

Soit un système complexe dont la configuration est définie par les paramètres d’entrée notés 1

( ,..., p)

    . La recherche d'une solution efficiente * * * 1

( ,..., _p)

    qui atteint la qualité attendue e au coût minimal peut être énoncée sous la forme d’un problème d'optimisation de la manière suivante (Sahraoui, 2009) (Montmain and Labreuche, 2009) :

' 1 1 * ' , ( ( ),..., ( )) rg min ( ) n n u x u x e A C      _{( 4.7)}

où C(*) est le coût de la solution *. Lorsque la résolution du problème de l’équation ( 4.7) est difficile, une alternative consiste à utiliser des algorithmes d’optimisation de type descente

180

du gradient pour converger vers la solution optimale itérativement. La méthode de descente du gradient nécessite que l’on connaisse la direction dans laquelle il sera le plus avantageux de faire évoluer le profil de performances noté a. Pour résoudre ce problème, un indice (appelé indice de plus-value), noté _A( , )F a , qui quantifie la plus-value pour le profil a

d'être amélioré sur les critères dans A (sous-ensemble de l’ensemble des critères (X₁,...,X_n) ), étant donnée la fonction d'évaluation F, a été proposé dans (Labreuche, 2004).

Nous résumons la proposition de (Labreuche, 2004) en quelques lignes. Soit V l’ensemble des

fonctions continues définies sur [0,1]n et à valeurs dans [0,1] . Cet espace est doté d’une norme [0,1] , sup ( ) n V x H V H H x 

   . L’index _A est un opérateur défini de V sur V.

L’index _A est défini axiomatiquement dans (Labreuche, 2004) pour tout opérateur FV. D’abord si F est constante sur les critères de A alors _A( , )F a 0. De plus, si F ne dépend pas du critère X , alors _{i { }}( , ) ( , )

i

A X F a A F a

   . Un autre axiome décrit, lorsque F peut être

décomposée en n fonctions F associées à chaque critère, une estimation optimiste de _i ( )

A F

 _{à partir des} _i( )F_i . Enfin, une propriété d'invariance _A( )F pour des fonctions F à valeur dans {0,1} est décrite. Les exigences précédentes combinées avec les contraintes de linéarité, de symétrie et de continuité (

, 0 ( ) sup A V F V F V F F     ) de A conduisent à définir  de

façon unique (Labreuche, 2004) :





1 ^ \ 0 ( , ) ((1 ) 1 , ) ( ) A F a F aA A aN A F a d



















( 4.8)

où N {1,..., }n _et  B N, a est la restriction de _B a sur B. L’expression de la formule

( 4.8) donne la valeur moyenne de la différence de gain F g a( _A, _{N A\} )F a( ) pour les vecteurs d’amélioration g_A (1 )a_A1_A sur la diagonale de a (_A 0) à 1_A ( 1). Par conséquent, l'égalité dans la formule ( 4.8) donne l'impact moyen d'améliorer de manière uniforme tous les critères de A en même temps si l'on suppose que tous les niveaux possibles d'amélioration (de la stagnation à a jusqu'à l’atteinte du profil idéal 1_{A A}) ont la même probabilité de se produire. Les améliorations sur la diagonale de a à 1_{A A} permettent d’envisager des améliorations homogènes (sans cette condition, on pourrait recommander d’améliorer les critères de A et s’apercevoir que l’amélioration n’est effective que sur les critères de A'A). Le sous-ensemble de critères A* qui maximise l'indice de plus-value indique les performances qui sont les plus rentables à améliorer en priorité.

En relâchant l’axiome de la décomposabilité à sa forme la plus générale, on obtient un nombre infini d’opérateurs  satisfaisant les axiomes. Tous les opérateurs sont identiques

181

lorsque A se réduit à un singleton. Toutefois, l'indice ^ donne les plus grandes valeurs parmi tous les opérateurs  pour tout FV, a[0,1]n et AN (Labreuche, 2004).

L’équation ( 4.8) favorise les coalitions avec une grande cardinalité. Notons donc que l’équation ( 4.8) peut être étendue de manière à tenir compte du coût de l’amélioration pour passer d’un profil de performances a à un profil ((1)a_A1 ,_A a_{N A\} ) (i.e.,

\ (a_A(1_Aa_A),a_{N A})) :





1 \ ^ \ 0 ((1 ) 1 , ) ( ) ( , ) ( , ((1 ) 1 , )) A A N A A A A N A F a a F a F a d c a a a













     



( 4.9)

avec sous une hypothèse de linéarité : ( , ((1 ) _A 1 ,_{A N A\} )) (1 _i) _i

i A

c a  a  a 



_ a cu avec cu _i un coût unitaire relatif à la dimension i.

L’indice de plus value est donc utilisé quand le problème de l’équation ( 4.7) est trop difficile à résoudre : la recherche en une passe du profil idéal b de l’équation ( 4.7) est abandonnée, l’idée est de s’améliorer itérativement au mieux en commençant par améliorer les critères de

*

A réputés être les plus stratégiquement rentables ; les actions associées sont mises en œuvre et on itère avec le nouveau profil observé ; l’amélioration continue cesse quand on atteint le niveau de sécurité attendu e (Sahraoui, 2009).

Après cette amélioration itérative, si ' est le nouveau système, il est caractérisé par un vecteur de performances b _{tel que} F b( )e et C( )' c a b( , ). La résolution directe de l’équation ( 4.7) aurait donné un profil *

tel que C( )' C( )* .

(Sahraoui, 2009) explique que les coûts impliqués dans les équations ( 4.7) et ( 4.9) ne sont pas directement liés puisque dans la première les coûts sont rattachés aux modifications sur les paramètres du système (i.e., les actions sur le système) et que dans la seconde les coûts sont directement rattachés aux dimensions de la performance. Pour comprendre le lien, il faut considérer que la quantité c a( ,((1)a_A1 ,_A a_{N A\} )) est un coût moyen d'améliorer a en

\

((1)a_A1 ,_A a_{N A}) qui est évalué indépendamment de toute action d’amélioration. Cette valeur ne peut être déterminée qu’avec l’expérience des dirigeants, habitués à savoir combien leur coûte en moyenne tel ou tel secteur de leur activité. Par exemple, supposons que trois actions puissent améliorer les compétences techniques des employés : la formation continue (coût c ), une formation intensive collective (coût ₁ c ) et des formations individuelles (coût ₂

3)

c . Un décideur expérimenté est censé être en mesure d'évaluer les coûts liés à la formation des salariés en moyenne sur plusieurs années, sans connaissance précise sur les attributions des actions de formation, ne serait-ce que pour prévoir son budget.

Il se peut aussi que le dirigeant utilise l'équation ( 4.9) avec une fonction coût qui pourrait être une fonction du risque, du temps, des ressources, etc. Dans ce cas, il n'y a aucune relation

182

entre les fonctions de coût des équations ( 4.7) et ( 4.9) : un degré de liberté supplémentaire pourrait ainsi être introduit dans la conception du projet d’amélioration.

3.

Approche collaborative de l’amélioration de systèmes compelxes

La question évoquée au début de ce chapitre « comment aider une organisation à améliorer la sécurité ou la performance d’un système complexe » est assez simple selon l’hypothèse de Felix puisque les interactions entre les objectifs à améliorer sont connus et déterminés par les contraintes du terrain. Dans cette perspective, il ne saurait y avoir de divergence entre ce que souhaitent les dirigeants et ce que peuvent faire les opérationnels puisque le modèle de préférence est induit par le modèle de comportement (i.e. les relations entre les actions et les objectifs). Modèle, qui s’il est plus pragmatique, n’est peut être pas plus réaliste, d’une part car il est fort à parier que nombre de décisions stratégiques prises dans une tour de la Défense se prennent sans que les protagonistes aient une réelle conscience de l’outil de production qu’il gouverne depuis Paris, d’autre part il s’agit là d’une perspective créaticide du développement car si la stratégie n’était que dictée par la contrainte opérationnelle, l’innovation aurait bien peu de place dans une société pourtant de plus en plus concurrentielle ! Tout objectif serait implicitement atteignable avec les moyens existants. Dans ce travail, nous n’avons pas une opinion tranchée entre l’utilisation d’un modèle des relations entre les actions et les objectifs et un modèle MAUT. Nous pensons que dans la définition d’un projet d’amélioration d’un système complexe coexistent, d’une part un modèle de préférence qui permet d’identifier les caractéristiques les plus pertinentes à améliorer, d’autre part un modèle de comportement qui permet de comprendre comment ces caractéristiques pourront être atteintes. Distinguer ces deux modèles c’est donner un degré de liberté supplémentaire à la détermination des paramètres satisfaisant (le plan d’action recherché), ce degré de liberté peut coûter cher car il est alors possible que les deux modèles entrent en conflit : ce que l’on veut n’est pas forcément ce que l’on peut faire. Nous croyons donc que ces deux points de vue doivent coexister afin de concevoir pleinement un projet d'amélioration. Les managers prennent naturellement des décisions sans connaître l'ensemble des contraintes opérationnelles au sein de leur entreprise ; les opérationnels ne comprennent pas nécessairement pourquoi il serait plus stratégique ou profitable d’améliorer un but plutôt qu'un autre. La question idéologique derrière ce point de vue pourrait être formulée de la manière suivante : « Le monde est-il régi par les préférences ou par les aptitudes ?». Les dirigeants cherchent le meilleur pour leur entreprise, alors que les opérationnels font de leur mieux. Dans la conception d'une amélioration de la performance, nous proposons de distinguer clairement les composantes de management et de mise en œuvre du projet, et nous soulignons les liens et les complémentarités entre les deux phases. Nous proposons également un certain nombre de solutions dans la recherche d'une transition consensuelle de la motivation à l'action. Enfin, lorsque les caractéristiques à améliorer ont été discernées, nous proposons un modèle pour calculer le plan d’action optimal pour le collectif une fois les objectifs identifiés.

183

Dans notre approche, conformément aux travaux de la littérature évoqués dans la section 2, un système complexe est caractérisé par ses paramètres d’entrée ( , _{1 2},...,p). Soit 

l’ensemble de toutes les configurations possibles de ( , _{1 2},...,_p). Un système est alors défini par un élément . Tous les éléments de  ne constituent pas nécessairement des systèmes admissibles au regard des exigences du client, des contraintes techniques ou économiques. Nous introduisons alors un ensemble noté   _A , des éléments pour lesquels le système associé est admissible, c'est-à-dire qu’il satisfait aux exigences de conception. De plus, tous les éléments de _A ne sont pas indifférents pour l’industriel : il existe des configurations plus en accord avec sa stratégie d’exploitation que d’autres.

L’ensemble des caractéristiques ou attributs est désigné par X X₁, ₂,..,X , et l’ensemble des _n alternatives est désigné par

1 n i i X X  



. On note aussi N {1,..., }n .

Soit T: _A X la transformation qui donne la valeur des attributs du système obtenus à partir du vecteur de paramètres _A.

Comme expliqué dans la section 2.2, T n'est en pratique pas connue quantitativement, et il est très compliqué d’effectuer l’identification de Tsur un système complexe. Le modèle qualitatif qui est proposé pour T _{semble la seule connaissance raisonnablement identifiable. Nous}

présenterons donc notre modèle qualitatif dans la section 3.2.

Les orientations stratégiques de l’industriel sont généralement assez complexes et impliquent de nombreux critères. Parmi ces critères, on retrouve systématiquement des critères en rapport avec la qualité ou le coût. L’interaction entre ces critères peut conduire à des modèles de préférence sophistiqués. Par exemple, un coût faible importe peu si la performance du système est mauvaise. Dans cet exemple, les critères opérationnels jouent alors un rôle de veto dans la stratégie de l’industriel.

Par ailleurs, nous conservons les notations introduites dans la section 2.4 : le coût, noté ( )C  (respectivement, C( I, )), pour produire la solution



(respectivement, pour produire la solution



partant d’un système initial I). L'entreprise souhaite identifier les solutions qui atteignent une qualité globale attendue e à coût minimal.

La conception de l'amélioration des systèmes complexes devient donc un problème épineux lorsque le nombre de paramètres et de critères est important. La conception requiert alors des modèles de préférence et des modèles de comportement du système, ceci implique des connaissances quantitatives et qualitatives, et induit des aspects d’optimisation et de recherche combinatoire dans un contexte d'évaluation multidimensionnelle. Ce chapitre propose un modèle formel de l’amélioration d’un système complexe et des modèles de calcul pour identifier les actions d'amélioration efficaces.

184

La performance du système



par rapport à X , notée _i P , s’écrit de la façon suivante (voir la _i Figure 4.1 : Labels L à ₄ L ) : ₆ ( ) ( ( )) ( ) i i i i i P  u T  u x ( 4.10) ( ) i

P  sera notée P quand il n’y a pas d’ambiguïté et _i u est l’utilité introduite dans la formule _i ( 4.6).

L'évaluation globale d'un système caractérisé par les paramètres _A de profil de performance a est alors définie de la façon suivante :

1 1

( ( ( ))) ( ( ( )),..., _n( ( )))_n ( )

F u T  F u T  u T  F a ( 4.11)

où (voir la Figure 4.1: Labels L à ₄ L ) : ₆

 T₁,...,T sont les _n n composantes de T (i.e.,  i {1,..., }, ( )n T_i  x_i) ;

 u₁,...,u sont les fonctions d’utilité ; _n

 u X: [0,1]n tel que  x ( ,...,x₁ x_n)X et  i {1,..., }, ( ( ))n u x _i u x_i( )_i ;

 F est une fonction d’agrégation.

Comme dans la section 2.4, la recherche d'une solution efficace * qui atteint le niveau de performance attendu e au coût minimal peut être énoncé sous la forme d’un problème d'optimisation multi objectifs qui s’écrit avec ces notations :

, ( ( ( )))

rg min ( )

AF u T e

A C

    ( 4.12)

La section 2.4 a proposé la résolution de ce problème avec l’indice de plus-value et une procédure d’amélioration itérative en faisant abstraction de la façon dont les caractéristiques

i

X étaient obtenues par modification des paramètres d’action _j à chaque étape de la procédure (la procédure est nécessairement itérative puisque Test un modèle qualitatif et ne permet pas de calculer quantitativement le profil à venir lorsqu’on applique les paramètres

)

j

 . Il y était supposé que les opérationnels savaient nécessairement quels paramètres actionner pour modifier les caractéristiques désignées par A*. En pratique, l’identification des paramètres à modifier est déjà un problème combinatoire qui peut s’avérer complexe si p est conséquent. Ainsi, lorsque les critères à améliorer en priorité de A* ont été calculés comme proposé dans la section 2.4.2, il reste encore à déterminer quels paramètres doivent être ajustés pour que les critères de A*soient améliorés. Un algorithme Branch and Bound sera proposé pour résoudre ce problème (section 4).

Cette section homogénéise les notations que l’on trouve dans la littérature sur l’amélioration des performances dans un formalisme qui lie ce qui relève des préférences de l’industriel

185

(utilité) et ce qui relève du comportement du système (impact, influence). Cette synthèse est illustrée sur le schéma de la Figure 4.1.

Figure 4.1 : Les différentes grandeurs impliquées dans l'évolution d'un système complexe

1

L : espace des paramètres ; L : restrictions avec les contraintes opérationnelles ; ₂ L : ₃ observation du processus ; L : espace des attributs ; ₄ L : espace des utilités ; 5 L : satisfaction 6 globale.

Dans le document Modélisation et pilotage de la phase de délibération dans une décision collective : vers le management d'activités à risques (Page 180-186)