Cristaux mosaiques

4.4.1.1 Epaisseur optimale - R´eflectivit´e en fonction de l’´epaisseur

On cherche ici `a optimiser l’´epaisseur d’un cristal en fonction de sa mosaicit´e et de la taille de ses cristallites pour une ´energie donn´ee. On se base sur l’expression de la r´eflectivit´e au pic donn´ee en 3.87 page 78 :

Rmax_mos = 1 2  1− e−α e−μ T0 _(4.13) = 1 2  1− e−2W (0)QdynT0 _e−μ T0 _(4.14) dRmax mos dT0 = 0 ⇔ T0 = ln2W (0)Qdyn μ + 1  2W (0)Q_dyn (4.15)

En utilisant les expressions de W (0) et de Q_dyn donn´ees respectivement aux pages 75 et 73, on obtient

T0 = 1 μ ln4√ln 2 π3/2 dhkl Ωμ Λ2 0cos θB f (A) + 1  4√ln 2 π3/2 dhkl Ωμ Λ2 0cos θBf (A) ≈ _μ1 ln  4√ln 2 π3/2 dhkl Ωμ Λ2 0 f (A) + 1 4√ln 2 π3/2 dhkl Ωμ Λ2 0 f (A) (4.16)

La taille des cristallites intervient dans f (A) qui est d´efinie page 73. La fonction f (A) tend vers 1 lorsque la taille des cristallites est tr`es petite devant la longueur d’extinction.

Fig. 4.12: R´eflectivit´e au pic en fonction de l’´epaisseur d’un cristal de cuivre pour les r´eflexions 111 et 200 `a 500 keV. A gauche la mosaicit´e est fix´ee `a 30 arcsec et l’on voit l’influence de la taille des cristallites. A droite, la taille des cristallites est fix´ee `a 40 μm et l’on voit l’influence de la mosa¨ıcit´e. Sur chaque courbe, les losanges et les ´etoiles indiquent respectivement l’´epaisseur donnant le maximum et 99% du maximum de r´eflectivit´e.

On peut voir sur les figures 4.12 l’´evolution de l’´epaisseur optimale du Cu pour les r´eflexions 111 et 200 `a 500 keV en fonction de la mosa¨ıcit´e et de la taille des cristal- lites. On remarque notamment l’importance primordiale de la taille des cristallites sur la r´eflectivit´e : lorsque elles sont ´epaisses, l’´epaisseur optimale du cristal est plus grande, impliquant que le cristal est plus lourd et a une moins bonne r´eflectivit´e. La taille des cristallites est `a comparer avec les longueurs d’extinction `a 500 keV Λ_{0, Cu111} = 246μm et

Λ_{0, Cu200} = 265μm. On obtient sensiblement le mˆeme effet avec la mosaicit´e : plus elle est

importante et plus le cristal doit ˆetre ´epais, ce qui engendre une baisse de la r´eflectivit´e au pic.

L’autre point `a remarquer est que ces courbes pr´esentent un maximum relativement plat. On voit qu’en prenant l’´epaisseur correspondant `a 99% de la r´eflectivit´e maximum, on peut ´economiser jusqu’`a 15% d’´epaisseur (et donc de masse).

La figure 4.13 montre l’´epaisseur optimale du Cu pour les r´eflexions 111 et 200 en fonction de l’´energie. Encore une fois on remarque l’importance de la taille des cristallites : lorsque celles-ci sont ´epaisses, la courbe fait des vagues dˆu aux effets du Pendell¨osung.(

Fig. 4.13: Epaisseur optimale en fonction de l’´energie pour des cristaux de cuivre selon les r´eflexions 111 et 200. La forme des courbes sur le graphique de gauche s’explique par le Pendell¨osung dans les cristallites, lorsque leur longueur s’approche de la longueur d’extinction.

4.4.1.2 R´eflectivit´e en fonction de la mosaicit´e

Fig. 4.14: R´eflectivit´e au pic en fonction de la mosa¨ıcit´e dans le cas de cristaux de cuivre pour les r´eflexions 111 et 200 `a 500 keV (graphique de gauche) et `a 850 keV (graphique de droite). Pour chaque valeur de mosaicit´e l’´epaisseur du cristal est optimis´ee.

En se basant toujours sur les exemples de cristaux de cuivre utilisant les r´eflexions 111 et 200, on regarde maintenant l’influence de la mosa¨ıcit´e sur la r´eflectivit´e au pic des cristaux. La figure 4.14 pr´esente la r´eflectivit´e au pic en fonction de la mosa¨ıcit´e. Pour chaque valeur de mosa¨ıcit´e, l’´epaisseur du cristal est optimis´ee en utilisant la formule 4.16. On voit que la valeur au pic diminue de fa¸con importante lorsque la mosa¨ıcit´e augmente. Sur la figure 4.15 est pr´esent´ee la r´eflectivit´e int´egr´ee sur la bande passante du cristal. Pour cela, on suppose un cristal de 1 cm2_{, qui re¸coit un flux monochromatique divergent}

de 1 photon/cm2_{/arcsec. La r´eflectivit´e int´egr´ee repr´esente donc un nombre de photons}

signal diffract´e (mais au prix d’un ´etalement sur le plan focal, c.f. chapitre 6 pour une op- timisation de la mosa¨ıcit´e en fonction du facteur de m´erite). On remarque sur l’ensemble de ces courbes qu’il est primordial de se placer dans le cas des cristaux id´ealement impar- faits pour conserver une bonne efficacit´e : On voit clairement l’influence de la taille des cristallites, surtout `a plus basse ´energie (graphique de gauche) ou le nombre de photons diffract´es varie quasiment d’un facteur 20 lorsque la taille des cristallites passe de 10 `a 200 μm.

Fig. 4.15: R´eflectivit´e int´egr´ee sur la bande passante angulaire du cristal (en coups) en fonction de la mosa¨ıcit´e dans le cas de cristaux de cuivre selon les r´eflexions 111 et 200 `

a 500 et 850 keV (respectivement `a gauche et `a droite). Pour chaque valeur de mosaicit´e l’´epaisseur du cristal est optimis´ee.

4.4.1.3 R´eflectivit´e en fonction de l’´energie

Le graphique 4.16 pr´esente la r´eflectivit´e au pic en fonction de l’´energie diffract´ee, toujours dans le cas de cristaux de cuivre selon les r´eflexions 111 et 200. Sur ces courbes, l’influence de la taille des cristallites est `a nouveau de premier ordre, notamment avec l’apparition d’effets li´es au Pendell¨osung lorsque la taille des cristallites approche de la longueur d’extinction. Avec des cristaux dont l’´epaisseur minimum est limit´ee `a 2 mm, ce qui est peut ˆetre d´ej`a trop fin pour le cuivre compte tenu de sa ductilit´e, la r´eflectivit´e au pic maximum dans le cas d’un cristal id´ealement imparfait de 30 arcsec de mosa¨ıcit´e diffractant selon la r´eflexion 111 est de ∼ 37%, `a 250 keV. Cette r´eflectivit´e tombe `a 30% `

a 500 keV. Ce r´esultat reste extremement bon, mˆeme s’il faut bien garder en tˆete que c’est dans un cas quasi id´eal o`u l’´epaisseur moyenne des cristallites est de 40 μm.

Fig. 4.16: R´eflectivit´e au pic en fonction de l’´energie diffract´ee dans le cas de cristaux de cuivre selon les r´eflexions 111 et 200. Pour chaque ´energie l’´epaisseur du cristal est optimis´ee.