5.3 Etude temporelle
5.3.3 Courbes de lumi`ere sur-´echantillonn´ees
a plus haut flux X, la transition apparaissant `a un seuil de 1.7 coups par seconde.
Cette ´etude de la corr´elation X–GeV montre un comportement complexe du flux au dessus de 200 MeV avec la valeur du flux en rayons X, par ailleurs rest´e relativement bas durant la campagne. Plus de donn´ees doivent donc ˆetre acquises, afin notamment d’´etudier une possible corr´elation entre les deux gammes en ´energie durant un ´episode ´eruptif.
5.3.3 Courbes de lumi`ere sur-´echantillonn´ees Int´erˆets
Les intervalles en temps de 7 ou 3 jours permettent d’avoir une bonne pr´ecision sur la mesure du flux mais restent p´enalisant dans l’´etude des car-act´eristiques de la courbe de lumi`ere `a des ´echelles de temps plus petites (≈ 1 jour) et notamment dans la recherche d’un possible d´elai entre l’´emission vue par le LAT en dessous et au dessus de 1 GeV. Un tel d´elai peut ˆetre le signe de l’acc´el´eration des ´electrons, dans le cas o`u les photons de basse
´energie arrivent avant ceux de haute ´energie, ou du refroidissement dans le cas contraire. Il est toutefois possible de caract´eriser un d´ecalage avec une pr´ecision meilleure que la taille de l’intervalle.
D´efinitions
Notons{x(i, δt)}une s´erie temporelle ´echantillonn´ee sur un pas de temps δt. Il est possible de construire M autres s´eries XM(j,∆t) avec un pas de
5.3. ´ETUDE TEMPORELLE 173
Time ( MJD-54000 )
900 950 1000 1050 1100
)-1s-2 cm-9 F(E > 200 MeV) ( 10
Figure 5.7 En haut, courbe de lumi`ere Fermi, au dessus de 200 MeV, obtenue par photom´etrie (points noirs) et centr´ee sur les observations en rayons X (points rouges). La ligne noire pr´esent le flux moyen sur la campagne. En bas, le flux γ en fonction du flux X, la corr´elation est de ρ= 0.19±0.06. Si l’on omet les points rouges, on obtient une corr´elation de ρ= 0.37±0.06.
174 CHAPITRE 5. OBSERVATIONS RXTE-FERMIDE PKS 2155-304
900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Rate [Hz]
900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Rate [Hz]
Figure5.8 Illustration de la d´efinition des intervalles en temps `a partir du flux en rayons X. La courbe de lumi`ere entre 2-10 keV est en haut, ainsi que les seuils en flux utilis´es (lignes rouge et bleu). En bas, sont repr´esent´es les intervalles en temps obtenus.
Dans la suite les lettres en majuscules d´esignent les s´eries sur-´echantillonn´ees et les lettres en minuscules la s´erie originelle.
Consid´erons une valeur caract´eristique de la s´erie Λ(δt) obtenue par un calcul not´e Λ(δt) =F(x(i, δt)). Afin de tenir compte de toute la statistique disponible, il est possible de calculer la valeur de Λ sur les M s´eries XM. Pour obtenir la valeur du param`etre sur une ´echelle de temps ∆t, il suffit de faire la moyenne (Li et al., 2004) :
Λ(∆t) = 1
Application `a l’auto-corr´elation
La fonction d’auto-corr´elation (CCF) entre deux s´eries temporellesu et v de moyenne nulle est :
CCF(k) =X
i
u(i)v(i+k)/σ(u)σ(v) (k= 1,±1,· · ·) (5.4) o`u σ(u) (resp. σ(v)) est l’´ecart type de u (resp. v). La CCF permet de calculer la corr´elation entre les deux s´eries u et v en fonction du d´elai τ entre ces s´eries et de calculer un possible retard.
En appliquant la m´ethode d´ecrite pr´ec´edemment, il est possible de cal-culer un d´ecalage dans le temps plus petit que le temps d’´echantillonnage ∆t.
5.3. ´ETUDE TEMPORELLE 175
-1 ] X-ray Rate [counts s
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
)-1s-2 cm-9 F(E > 200 MeV) ( 10
80 100 120 140 160 180
200 11 bandes
7 bandes 4 bandes
Figure5.9 Flux au dessus de 200 MeV en fonction du taux de comptage en rayons X. Ce r´esultat a ´et´e obtenu en d´efinissant des intervalles en temps `a partir de la courbe de lumi`ere en rayons X, d´ecoup´ee en 4 (triangles bleus), 7 (carr´es rouges) et 11 (points noirs) bandes en flux. L’erreur sur le flux au dessus de 200 MeV est statistique alors que celle en rayons X est la variance dans la bande en flux consid´er´ee.
Figure5.10 Sch´ema illustratif de la m´ethode de sur-´echantillonnage tir´e de (Li et al., 2004). Les s´eriesXM(j,∆t) sont construites en moyennant la s´erie {x(i, δt)}et un d´ecalage δtest pr´esent entre deux s´eriesXM cons´ecutives.
Li et al. (2004) ont d´efini la fonction d’auto-corr´elation modifi´ee (MCCF) par :
MCCF(k) = 1 L
L
X
m=1
X
i
Um(i)Vm+k(i)/σ(U)σ(V) (5.5)
176 CHAPITRE 5. OBSERVATIONS RXTE-FERMIDE PKS 2155-304 Une application de la MCCF par Aharonian et al. (2008b) a permis de contraindre l’´echelle d’´energie `a laquelle pourrait apparaˆıtre la violation de l’invariance de Lorentz. Des intervalles ∆t= 2 minutes et un d´ecalage entre deux courbes de lumi`ere de δt= 5 secondes ont ´et´e utilis´es permettant de mesurer un d´ecalage de 25±28 secondes entre les courbes de lumi`ere en dessous et au dessus de 800 GeV.
La comparaison des deux quantit´es, CCF et MCCF, a ´et´e faite sur des courbes de lumi`ere simulant 600 jours d’observation avec une mesure par jour (s´erie u). La s´erie v est obtenue en introduisant un d´ecalage artificiel τ = 10 jours. Pour diff´erentes tailles de sur-´echantillonnage M, la CCF et la MCCF, ainsi que le d´elai, ont ´et´e calcul´es et les r´esultats sont donn´es en figure 5.11.
echantillonnage (jours)
1 10 102
(jours)τDelai
10
MCCF CCF
Figure 5.11 Comparaison des d´elais obtenus par la CCF (´etoiles bleues) et la MCCF (cercles rouges) sur des courbes de lumi`ere simul´ees, avec un d´ecalage de 10 jours entre elles. La ligne en tirets donne le d´ecalage simul´e.
Cela illustre que la MCCF permet de d´eterminer le d´ecalage τ mˆeme si le pas de l’´echantillonnage ∆test sup´erieur `a τ.
Donn´ees Fermi
Dans le cas des donn´ees Fermi, la s´erie {xi} est la courbe de lumi`ere journali`ereφi(t), qui n’est pas accessible par l’analyse. De ce fait, la philoso-phie du calcul change l´eg`erement. Il est n´eanmoins possible de calculer les s´eries XM sous la forme de M courbes de lumi`ere Φm(t) avec un pas de
5.3. ´ETUDE TEMPORELLE 177 temps ∆t = 7 jours et la courbe de lumi`ere Φi est d´ecal´ee dans le temps de δt= 1 jour par rapport `a Φi+1. L’ensemble des Φm(t) est une courbe de lumi`eresur-´echantillonn´ee.
La figure 5.12 pr´esente la courbe de lumi`ere entre 200 MeV et 300 GeV sur-´echantillonn´ee.
Time ( MJD-54000 )
700 800 900 1000 1100 1200
)-1s-2 cm-9 F(E > 200 MeV) ( 10
0 50 100 150 200 250
860 865 100
150
Figure5.12 Courbe de lumi`ere sur-´echantillonn´ee avec en noir une courbe Φm(t) et en gris l’ensemble des courbes Φm(t).
Afin de calculer la MCCF, les courbes de lumi`ere sur-´echantillonn´ees, entre 200 MeV et 1 GeV d’un cˆot´e et 1 GeV et 300 GeV de l’autre, ont ´et´e produites avec une analyse gtlike. Pour comparaison, la CCF a ´et´e aussi utilis´ee sur les courbes de lumi`ere non sur-´echantillonn´ees. La figure 5.13 pr´esente les valeurs de la CCF et de la MCCF pour diff´erents d´elais. Par construction, la CCF est calcul´ee pour des valeurs deτ proportionnelles `a 7 jours alors que la MCCF est ´evalu´ee pour des d´ecalagesτ proportionnels `a 1 jour.
Afin de pouvoir mesurer un d´elai entre les deux bandes en ´energie, il faut prendre en compte l’erreur sur la mesure du flux ∆Φ. Pour cela, une variable gaussienne a ´et´e tir´ee pour chaque point de courbe de lumi`ere sur-´echantillonn´ee avec pour moyenne le flux Φ et pour dispersion l’er-reur associ´ee ∆Φ (annexe E). Pour cette nouvelle courbe de lumi`ere
sur-´echantillonn´ee, on ´evalue la MCCF et la CCF et on d´etermine le d´elai mesur´e par ces deux quantit´es. L’op´eration est r´ep´et´ee 10000 fois et les histogrammes des d´ecalages ainsi obtenus sont donn´es en figure 5.14. L’ajustement avec
178 CHAPITRE 5. OBSERVATIONS RXTE-FERMIDE PKS 2155-304 une gaussienne donne ainsi le d´ecalage et l’erreur.
On arrive `a τCCF=−0.9±2.8 et τM CCF = 0.3±1.2. Le deux r´esultats sont compatibles mais celui obtenu avec la MCCF est plus contraignant puisque l’incertitude n’est que de 1.2 jours. Aucun d´elai entre les ´emissions au dessus et en dessous de 1 GeV n’a pu ˆetre mis en ´evidence.
(day) τ
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
Correlation
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
CCF MCCF
Figure5.13 MCCF (cercles rouges) et CCF (triangles bleu) obtenues avec les donn´eesFermi en fonction deτ.
-2 -1 0 1 2
0 50 100 150 200 250
-30 -20 -10 0 10 20 30
0 50 100 150 200 250
Figure5.14 Histogrammes des valeurs du d´elai grˆace `a la MCCF (`a gauche) et `a la CCF (`a droite) construit en propageant les erreurs sur la mesure du flux des courbes de lumi`ere Fermi au dessus et en dessous de 1 GeV. Les courbes noires sont les r´esultats par un ajustement avec une gaussienne donnant la valeur du d´ecalage et son erreur.