III.2 Outil de simulation
III.2.3 Construction des cartes TPL
Les termes τk et τ⊥ sont les coefficients de Fresnel dont les expressions sont données par [144] :
τk= 2kz,1(α, β) kz,1(α, β) + kz,2(α, β) (III.30) τ⊥= 2ε1kz,2(α, β) εenvkz,1(α, β) + ε1kz,2(α, β) (III.31) avec kz,2(α, β) = q εenvk02− α2− β2.
La composante Ez(T ) se déduit des deux autres composantes par la relation ∇ · ζ(T )α,β = 0. Nous avons :
Ez(T )= −1 kz,2(α, β)(αE (T ) α + βE (T ) β ) (III.32)
Ayant déterminé les trois composantes de ζ(T )α,β, nous sommes en mesure de donner l’expression du champ gaussien au-dessus du substrat :
E(T ) 0 (R0, r, ω) = √ε 1k0 Z −√ε1k0 √ ε1k02−α 2 Z −√ε1k20−α2 e " −w02(α2+ β2) 4 # ei[α(x − x0) + β(y − y0) + kz,1(α, β)(z − z0)]ζ(T ) α,βdβ dα (III.33) Nous avons établi l’expression du champ d’éclairage dans le demi-espace où se trouvent les objets métalliques, ce qui nous permet de calculer le champ local dans chaque cellule avec la méthode GDM, lequel nous permettra ensuite de déterminer le signal de TPL émis par ces particules selon le modèle introduit en III.2.1.
III.2.3 Construction des cartes TPL
Calcul du champ local
Pour calculer le champ local en présence des objets, nous partons de l’équation de Lippman- Schwinger résolue (chapitre I, équation (I.18)) appliquée au système de la figure III.5. Celui-ci est constitué des deux milieux (1) et (2), ainsi que de n particules métalliques de permittivité εm(ω)
occupant un volume total V =Pn
p=1Vp. Nous rappelons que cette équation s’écrit : E(R0, r, ω) = E0(T )(R0, r, ω) +
Z
V
où χ(r′, ω) est la susceptibilité des nanoparticules et vaut
χ(r′, ω) = εm(r′, ω) − εenv(ω)
4π (III.35)
pour tout point r appartenant au métal. S(r, r′, ω) est la susceptibilité du champ en présence du sys- tème complet. Ce tenseur s’exprime grâce à l’équation de Dyson que nous rappelons (équation (I.19)) :
S(r, r′, ω) = Ssurf(r, r′, ω) +
Z
V Ssurf(r, r
′′, ω) · χ(r′′, ω) · S(r, r′′, ω)dr′′. (III.36) O.J.F. Martin et al. ont démontré [117] qu’il est possible de réécrire l’équation (III.34) sous une forme plus compacte en introduisant le tenseur dyadique K(r, r′, ω) d’expression :
K(r, r′, ω) = δ(r − r′) + S(r, r′, ω) · χ(r′, ω) (III.37) Avec cette convention, (III.34) devient :
E(R0, r, ω) =
Z
V K(r, r
′, ω) · E
0(T )(R0, r′, ω)dr′ (III.38)
Pour calculer le champ local numériquement, les particules métalliques sont discrétisées en N cellules de volume v. Dans un premier temps, le tenseur dyadique K associé au système complet est déter- miné pour une longueur d’onde d’excitation donnée en chaque cellule de discrétisation en résolvant l’équation (III.36) avec la séquence de Dyson [118] évoquée au chapitre I. Ainsi, pour 2 cellules de discrétisation quelconques (i, j) ∈ [[1; N]], nous connaissons :
K(ri, rj, ω) = δi,j+ S(ri, rj, ω) · vχ(rj, ω) (III.39)
Lorsque i = j, ce tenseur présente une singularité qui peut-être traitée avec un facteur de renormali- sation dépendant du type de réseau de discrétisation [154].
Le champ local dans la cellule de centre ri est obtenu en sommant les contributions de toutes les
cellules grâce à K(ri, rj, ω) : E(R0, ri, ω) = N X j=1 K(ri, rj, ω) · E0(T )(R0, rj, ω) (III.40)
Nous avons tous les ingrédients pour calculer, avec la formule (III.17), l’intensité TPL émise par chaque cellule de discrétisation, grâce à laquelle nous traçons les cartes TPL simulées.
Carte TPL
Contrairement à la SHG qui est un rayonnement non-linéaire cohérent, les mécanismes de désexci- tations consécutifs à l’absorption de deux photons rendent la luminescence à deux photons incohérente. Ainsi, pour une position fixée R0 du faisceau incident, nous modélisons le signal collecté comme la
(III.17), soit : IT P L(R0, ω) = N X i=1 I(ri) = 16 3 V 2 celluleck40χ2⊥(ω0, ω0) N X i=1 |E(R0, ri, ω)|4 (III.41)
Pour obtenir une carte TPL simulée, il faut définir une fenêtre d’observation bidimensionnelle et un pas de balayage du faisceau de la même façon que pour les images expérimentales. Chaque point dans la fenêtre d’observation ainsi définie correspond à un pixel dans l’image finale. Pour chaque position du faisceau dans cette fenêtre, l’intensité TPL détectée est calculée selon la formule (III.41). Cette valeur est associée au pixel correspondant.
Figure III.7 – (a-b) Cartes TPL expérimentales d’un réseau de chaines de sphères d’or de 12 nm de diamètre pour deux polarisations orthogonales. (c-d) Cartes simulées correspondantes. Les centres des sphères sont représentés par les croix sombres. (e-h) Série de cartes simulées d’un ensemble de trois bâtonnets de 30 nm de diamètre et 400 nm de long. La position des bâtonnets est repérée par les ombres en filigrane. La longueur d’onde incidente vaut 730 nm. La direction de la polarisation de la lumière incidente est indiquée par la barre dans le coin supérieur droit. Barres d’échelle des simulations : 500 nm. Images (c-h) adaptées de la référence [149].
Cette méthode de calcul de carte TPL s’applique aussi bien à des particules métalliques de forme arbitraire qu’à des chaines constituées d’un grand nombre de particules très petites devant la longueur d’onde. En particulier, ce formalisme a été utilisé pour simuler la réponse TPL de réseaux de chaines de sphères d’or d’une dizaine de nanomètres de diamètre et montre un bon accord avec les mesures expérimentales [155]. La Figure III.7 illustre cet accord et les deux types d’application possibles. L’image expérimentale (Figure III.7a), bien reproduite par la simulation (Figure III.7c), montre que le signal de luminescence est assez uniforme au voisinage des chaines. Toutefois, un changement
de la direction de polarisation peut induire une modification de la distribution du champ local, comme en attestent la carte expérimentale III.7b et la simulation correspondante III.7d. Cet effet est par ailleurs étudié dans la référence [155]. Le contrôle par la polarisation incidente de la localisation du champ proche électrique se retrouve dans le cas de bâtonnets métalliques, comme l’illustre la série de Figures III.7e-h. Sur les cartes (e), (f) et (g), nous remarquons que le signal provient majoritairement du bâtonnet aligné avec la polarisation. La taille de la sonde est suffisamment petite pour distinguer deux lobes aux extrémités du cylindre. Comme le montre la simulation III.7h, aucun signal ne provient du bâtonnet orienté orthogonalement à la polarisation, tandis que le signal est légèrement plus intense pour les bâtonnets qui ne sont pas rigoureusement perpendiculaires à la polarisation. Ces premières observations confortent les mesures expérimentales sur bâtonnets colloïdaux isolés que nous présentons dans la section suivante.
En outre, ce formalisme permet aussi de calculer la carte de l’élévation de température dans les objets métalliques suite à la conversion par effet Joule du champ incident absorbé en chaleur. Nous ne détaillons pas les étapes conduisant à ces cartes de variation de température et renvoyons aux références [149] et [125] pour plus de détails.