Conditions initiales

Nous réalisons deux simulations 1D d’une couche de courant asymétrique, ci-après nommées runs a et b. Le run a est initialisé avec le modèle BAS. Le run b est initialisé avec des fonctions de distributions Maxwelliennes dont les deux premiers moments sont identiques à ceux du run a, c’est-à-dire les moments d’une distribution à l’équilibre cinétique. La pression des ions pour le runbest considérée comme isotrope et est égale au terme diagonal selonz du tenseur de pression (P_zz) du run a. Nous nous attendons à ce que le run a soit stationnaire, tandis que le run b ne doit pas l’être (Aunai et al. 2013). Comme dans le modèle BAS, nous supposerons que le rapport entre le courant des ions et des électrons est égal à T_i/T_e, le rapport de la température des ions sur celle des électrons. Ce dernier est choisi égal à 5 pour ce travail, ce qui est une valeur typique pour un plasma à la magnétopause. Le rapport de masse m_i/m_e est lui fixé à 25, sauf pour le run a, où nous réaliserons également un run, ci-après appelé run a*, où m_i/m_e est fixé à 100. Cette valeur a été choisie en raison de limitations techniques. En effet, le rapport de masses affecte la taille de la simulation, tant spatialement que temporellement, en creusant l’écart entre les ordres de grandeurs électroniques et ioniques. Étant donné que la simulation doit résoudre les échelles électroniques mais que les instabilités se développent aux échelles ioniques, tout écart entre les deux échelles alourdit d’autant la simulation.

Le domaine de simulation des runsaetbconsiste en une couche unidimension-nelle dans la direction z de taille z_m = 36.4. Nous comptons n_z = 10000 cellules

dans cette direction et au moins 12000 particules par cellule. Un tel nombre de particules n’est pas nécessaire pour que l’équilibre soit stationnaire, mais il va permettre de diminuer le bruit inhérent aux simulations PIC afin d’effectuer une analyse plus détaillée. Le pas de temps de la simulation est dedt= 10⁻³ et sa durée totale deT = 10, ce qui est suffisant pour vérifier la validité du modèle BAS et les effets de l’absence d’équilibre cinétique dans les autres simulations. Cet effet doit apparaître de lui-même au bout d’une ou deux périodes cyclotrons des ions (Aunai et al. 2013). Dans la directionz, la boîte est fermée par des conditions aux limites réfléchissantes. Ces conditions ont été choisie en raison de limites techniques.

Figure 3.2 – Profil de densité des runs a etb.

Le profil de densité utilisé pour initialiser les runs a et b est représenté sur la Fig.3.2. Il va d’une densité de 1 à 4 avec au milieu de la couche un pic carac-téristique des équilibres calculés par le modèle BAS. Ce pic est la conséquence de l’absence de champ électrique et de la description coplanaire du champ ma-gnétique. Pour pouvoir se retourner selon z, le champ magnétique doit s’annuler au centre de la couche. À mesure que nous nous approchons de ce point, la pres-sion magnétique diminue donc et est compensée par la prespres-sion thermique. Ceci se traduit par une augmentation de la densité et/ou de la température au centre de la couche. Ces hypothèses ont été relaxées dans la généralisation du modèle BAS effectuée par Dorville et al. (2015), mais ce travail n’en fait pas usage². Le modèle BAS fournit pour les ions une fonction de distribution F(E, P_y, z) dépen-dante de la positionz et des invariants du mouvement, c’est-à-dire E l’énergie du système et P_y l’impulsion généralisée selon l’axe y (direction d’invariance) (Bel-mont et al. 2012). À partir de cette fonctions semi-analytique, nous cherchons à produire des macro-particules, c’est-à-dire des couples (z,v) = (z, v_x, v_y, v_z). Pour

2. Ce travail ayant été réalisé en parallèle de celui de Dorville et al. (2015), le nouveau modèle n’était pas encore disponible quand il a commencé. C’est pourquoi le modèle utilisé est celui de Belmont et al. (2012).

faire cela, nous utilisons la méthode de rejet, décrite ci-après. En ce qui concerne les électrons, le modèle BAS n’impose aucune distribution. Nous utilisons donc les trois premiers moments (n_i,V_i,P_i) de l’équilibre BAS pour les ions et nous en déduisons (n_e,V_e,P_e) pour les électrons. Nous obtenons la densité en supposant n_i = n_e (hypothèse de quasi-neutralité). Nous fixons la densité de courant par V_e =−(T_e/T_i)V_i et la pression scalaire en faisantP_e = (T_e/T_i)P_izz. Connaissant (n_e,V_e,P_e), nous implémentons les électrons avec des distributions Maxwelliennes, comme pour le run b.

La méthode de rejet

Figure 3.3 – Sur ce graphe,f(x) est la fonction de distribution à générer etg(x) la fonction majorante. Pour un x_i donné, nous tirons un y_i entre 0 et g(x_i). Siy_i est en-dessous de la courbe f(x) (ex : y_i2), nous le gardons. Sinon (ex : y_i1), nous le rejetons. La ligne pointillée symbolise la fonction constante max(f), que nous pouvons utiliser pour g(x).

Le principe de la méthode de rejet consiste à générer aléatoirement une valeur et vérifier que celle-ci est acceptable pour la fonction de distribution voulue. Cette méthode est géométrique et, en 1D, consiste simplement dans le rejet de tous points qui, choisis aléatoirement et uniformément, ne se situent pas sous la courbe de la fonction de distribution voulue. Cela peut s’expliquer en quelques points en s’aidant de Fig.3.3 :

1. Objectif : nous voulons générer des valeursysuivant la distributionf(x), qui peut être n’importe quoi. Cette distribution est discrétisée numériquement.

2. Nous prenons une fonction g(x), intégrable et d’intégrale inversible, qui majoref(x). La solution la plus simple estg(x) =max[f(x)].

3. Nous générons uniformément une valeur aléatoire de x dans l’intervalle de définition def(x) : x_i.

4. Pour unx_i donné, nous générons uniformément une valeur aléatoirey_ientre 0 et g(x_i).

5. Si y_i > f(x_i), nous rejetonsx_i.

6. Nous recommençons à partir de l’étape 3. aussi longtemps que nous n’avons pas obtenu le nombre voulu de valeurs dex_i.

Notons que cette méthode est d’autant plus efficace que g(x) est proche de f(x), car il y aura moins de y_i rejetés et donc moins d’itérations de la boucle. Le cas le plus simple, bien que sans intérêt en pratique, correspond à g(x) = f(x). La méthode de rejet se généralise aisément à plusieurs dimensions. Cette méthode, présentée ici de manière générale ne devient intéressante que pour des cas plus délicats, tels que que celui présenté ci-après.

Dans notre cas, la fonction de distribution est 2D, mais le principe est le même. Nous avons également une condition sur z pour le choix de la distribu-tion : F(E, P_y, z < 0) = F₁(E, P_y) et F(E, P_y, z > 0) = F₂(E, P_y) De même qu’auparavant, nous pouvons faire :

1. Nous fixons une valeur de z et on détermine siF =F₁ ou F =F₂.

2. Nous prenons le plan max(F(E, P_y)) comme fonction majorante g(E, P_y).

3. Nous générons aléatoirement la vitesse d’une particule, cette dernière étant définie comme un couple (x,v) = (x, z, v_x, v_y, v_z).

4. Nous en déduisons E etP_y à partir des Eq.3.4 et Eq.3.5

5. Pour (E, P_y) donné, nous générons une valeur aléatoire yi issue d’une dis-tribution uniforme et comprise entre 0 et g(E, P_y).

6. Le modèle BAS étant semi-analytique, la fonction F est discrétisée. Nous interpolons donc F pour E et P_y, puis si y_i > F(E, P_y), nous rejetons la particule.

7. Tant que nous n’avons pas atteint la densité n(z) de particules souhaitées, nous recommençons à l’étape 3. Sinon, nous retournons à l’étape 2. en utilisant un nouveauz. Une fois toute les particules générées, nous pouvons quitter la boucle.

La relative simplicité de la méthode de rejet se trouve compensée par la diffi-culté technique pour y parvenir. Il s’agit en effet, dans le cadre de notre simulation 1D, d’initialiser plus de 12.10⁶particules, à raison de plusieurs itérations par parti-cules. En particulier, lorsque max(F(E, P_y))>> F(E, P_y), chaque particule créée requiert de nombreuses itérations. Dans la Sec.3.3, où nous générons un équilibre cinétique en deux dimensions, l’initialisation de la simulation a nécessité la création d’une routine à part pour paralléliser le travail sur une centaine de processeurs, afin de gérer les limitations de mémoire numérique et réaliser l’initialisation en un temps raisonnable (de l’ordre de 24h). Du fait du caractère complètement indépen-dant des tirages aléatoires, cette dernière est cepenindépen-dant parfaitement parallélisable.

Malgré la difficulté technique, en l’absence de bijection entre (x,v) et (E, P_y), la méthode de rejet est l’une des rares utilisable.