On observe bien souvent des figures de tri granulométrique à la surface des lits de rivières. L’étude des rivières en tresses – particulièrement dynamiques – mettent toujours en lumière l’existence d’un zonage de la plaine en régions composées de grains plus fins et d’autres composées de grains plus grossiers (voir figures 1.1a et 1.1b, p. 10). Ces zones – ou autrement appelées « patches » – sont généralement associées avec des variations de la topographie du lit, ce qui rend délicate la compréhension de ce phénomène à partir des observations de terrains.
Une perspective directe des résultats de cette thèse est l’étude expérimentale de la dynamique des patches dans une approche simplifiée, sans topographie et dans des conditions d’écoulement stationnaire-uniforme.
Prédictions du modèle en érosion-déposition
Dans le cas d’un lit de sédiment bimodal non-uniforme, c’est à dire avec une variation de φ1 en fonction de (x, z), on ne peut plus supposer que le transport par charriage est en régime stationnaire uniforme. En effet, on a vu que les contraintes seuils étaient des fonctions linéaires de φ1. Ainsi, à contrainte cisaillante fixée, les taux d’érosion, les
vitesses des grains et donc leurs longueurs de vos varient en fonction de φ1. Pour ces raisons, on ne peux résoudre simplement le cas bimodal par l’écriture d’un systèmes d’équations linéaires comme nous l’avons fait précédemment pour le cas homogène.
Toutefois, il est à noter que le cas homogène est un cas limite du cas bimodal pour lequel on a D1 = D2. Aussi, si l’évolution du système à deux tailles doit présenter des
différences, il est probable qu’il présente également des similitudes de comportement avec le cas homogène. C’est ce à quoi pourront répondre des mesures expérimentales.
Résultats expérimentaux préliminaires
La figure 7.5 présente un résultat préliminaire de l’étude expérimentale en cours d’élaboration à l’heure actuelle. La moitié du canal a été remplie de gros grains, et ceux-ci ont tous été coloriés en noir. On peut alors suivre la propagation d’un front granulométrique, dont la limite est très bien définie par la mesure de φ2issue de l’analyse
t = 0 t = 300 s t = 500 s Flow direction 100 mm Ф2 x(mm) a) b) c)
Figure 7.5 – Exemple d’expérience de suivi d’un front, réalisée pour τc,2/2< τ < τc,1/2,
soit pour : 0 ≤ ξ1< 1, et 1 ≤ ξ2. a) Trois prises de vue verticale de la surface du lit de
sédiment expérimental à différents moments de l’expérience, les gros grains sont coloriés en noirs. b) Fraction de la surface occupée les gros grains (soit la fraction noire dans le cadre vert de la photo à t = 500s) en fonction de x. On pointe le front du patch en détectant le point ou φ2 ≈ 0. c) Distance du front détecté au cours du temps dans
l’expérience. En ajustant les points entre t∗ = 300 et t∗ = 550, on trouve une vitesse de propagation de l’ordre de 1 mm/s.
du niveau de gris à l’image. On peut alors tracer la propagation de ce front au cours du temps. On observe sur la figure 7.5c qu’après une période transitoire, le front semble présenter une vitesse moyenne, relativement constante dans le temps.
Dans une étude approfondie nous estimerons cette vitesse pour différentes valeurs de contrainte cisaillante, pour différents rapports de tailles de grains et de la même manière pour un front de petits grains sur un lit de gros grains. Il serait notament intéressant de réaliser les diagrammes de phase de la dynamique de cet objet en fonction des paramètres ξi que nous avons défini dans le chapitre précédent. Ces diagrammes nous permettraient ainsi de savoir si le comportement de la propagation change de part et d’autre des différents seuils caractéristiques du lit bimodal.
Méthodes de détection
A.1
Calcul des vitesses instantannées
Soient les positions ~P1 des particules détectées au temps t1 et les positions ~P2 des
particules détectées au temps t2. Il s’agit à présent d’associer entre elles respectivement
les valeurs de (~x1, ~y1) et (~x2, ~y2) pour calculer les déplacements et ainsi les vitesses en
les divisant par le pas de temps ∆t. Pour cela on peut calculer la matrice des écarts E des points entre eux.
E(i, j) =p(x1(i) − x2(j))2+ (y1(i) − y2(j))2 (A.1)
Dans le cas de la figure A.1, les choses sont simples : sur les trois images, on trouve le même nombre de positions, ce qui signifie qu’on obtient une matrice E carrée. On recherche alors les valeurs minimums de E et on trouve ainsi les points trouvés dans l’image 2 qui sont les plus proches de ceux de l’image 1.
On note également que sur cette figure les trois positions sont éloignées les unes des autres, ce qui évite toute confusion possible entre deux particules. On ne peut empêcher totalement que des situations litigieuses arrivent (c’est à dire quand deux particules passent très près l’une de l’autre). Mais, en premier lieu, les choix expérimentaux doivent tendre à réduire leur probabilité de se produire :
– 1. Le choix de colorier une fraction faible des grains (∼ 1% de la surface en général).
– 2. Le choix du pas de temps ∆t tel que les déplacements soient significatifs par rapport au diamètre des grains suivis, mais petits par rapport à la distance inter- particule moyenne.
– 3. Le choix du nombre maximum de pixel détecté, qui limite la possibilité de 135
M(t)
M(t+Δt)
M(t+2Δt)
Figure A.1 – Positions des barycentres des particules détectées pour une série de 3 images consécutives. En rouge, les positions P1(~x1, ~y1), en jaunes les positions P2 et vert
les positions P3. Remarque : la particule du bas présente une vitesse positive puis une vitesse négative, soit un comportement typique d’un mouvement qui n’est qu’apparent, c’est à dire du fait des vagues.
détecter une position dans le cas où plusieurs particules coloriées se touchent. – 4. Enfin, l’algorithme de traitement de la matrice des écarts a été construit en
pratique pour ne pas apparier les points « orphelins ».
Ci dessous l’architecture du code1 pour traiter n’importe quels jeux de positions dé- tectées (P ositionX1, P ositionY 1) au temps t1 et (P ositionX2,P ositionY 2) au temps t2 :
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variable n1, n2, nb
% n1 est la longueur du vecteur PositionsX1 % n2 est la longueur du vecteur PositionsX2
if (n2>=n1) nb=n1 else
nb=n2 % Ainsi on n’apparie pas les points orphelins endif
% Construction de la matrice E (de dimension n1*n2) % des ecarts de distance entre toutes les positions
E = DoDistanceMatrix (PositionsX1, PositionsY1, PositionsX2, PositionsY2, n1, n2)
variable j = 1
for j = 1:nb
[PosMinRow, PosMinCol] = min(E) % donne les indices du minimum de E PosMinX1(j) = PositionsX1(PosMinRow) % Appariement des positions PosMinY1(j) = PositionsY1(PosMinRow)
PosMinX2(j) = PositionsX2(PosMinCol) PosMinY2(j) = PositionsY2(PosMinCol)
E(PosMinRow,:) = NAN % la valeur minimum appariee est retiree de E E(:,PosMinCol) = NAN
end
Vx = (PosMinX2 -PosMinX1)/Dt % Calcul des vitesses instantannees Vy = (PosMinY2 -PosMinY1)/Dt % avec Dt le pas de temps du film
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Ainsi, on trouve toujours on certain nombre nb de déplacements qui correspondent aux écarts de positions les plus faibles. Cela n’empêche pas qu’il y’ait régulièrement des erreurs, comme à chaque fois qu’une particule apparait au temps t + ∆t alors qu’une autre présente au temps t disparait. Une sophistication de l’algorithme permettrait de les éliminer systématiquement, mais dans notre cas, nous avons constaté que ces erreurs de détection donnaient lieu à des valeurs aberrantes, largement supérieures à l’ordre de grandeur des mesures de déplacement. En effet, cela revient à comparer la largeur de l’image au déplacement d’une particule sur un pas de temps (voir figure A.1).