5.2 Pénaliser les triggers probablement non astrophysiques
5.2.3 Comparer la série temporelle du SNR observée avec l’autocorrélation
Pour O2, un test similaire à celui duχ2 a été implémenté dans MBTA. Cette observable, nommée autoχ2, s’inspire duξ2 qu’utilise gstlal [63, 80]. À la manière de la coupure MFO (cf chapitre 2), il se base sur la série temporelle du SNR en sortie du filtrage adapté. L’autoχ2 est une comparaison de cette dernière avec l’auto-corrélation du calque utilisé.
Le pipeline MBTA réalise le filtrage adapté dans un espace complexe, en phase et en quadrature (équation 2.25), avant de recombiner les deux résultats en une variable réelle (équation 2.26). Il est donc possible de calculer un autoχ2 "réel" après recombinaison, ou un autoχ2 "complexe" avant recombinaison.
Dans la suite, le SNR au cours du temps (équation 2.14) sera notéρ(t), il est associé à un calque donné. Nous noterons aussi A(t) l’auto-corrélation normalisée du calque, t0 le temps du trigger et le SNR, noté ρ ≡ ρ(t0), sera le coefficient de proportionnalité entre les deux séries temporelles.
5.2.3.1 Version réelle
La version réelle de l’autoχ2 se calcule de la manière suivante : autoχ2Réel= 1
∆t
Z t0+∆t/2
t0−∆t/2 [ρ(t)−ρA(t−t0)]2dt (5.3) Où ∆t est un intervalle de temps centré sur t0, fixé à environ 100 ms.
Les données analysées n’étant pas continues mais discrètes, l’intégrale de l’équation 5.3 devient alors une somme, et la normalisation par ∆t devient une division par le nombre de point utilisés, soit 400 (un point toute les 0.25 ms environ).
Pour illustrer le pouvoir discriminant de l’autoχ2, comparons troistriggers, un provenant de bruit gaussien, et deux détectés avec un SNR de 20 dans L1 : un bruit intense et une injection. Leur séries temporelles réelles de SNR et les auto-corrélations de leur calques sont visibles en figure 5.2, elles permettent de calculer des valeurs d’autoχ2Réel de respectivement 1.18, 53 et 1.38.
5.2.3.2 Version complexe
Afin de définir la version complexe de l’autoχ2, il est toujours nécessaire d’aligner en temps et en amplitude les différentes séries temporelles, mais il faut aussi les aligner en phase. En pratique, il faut se placer dans l’espace à deux dimensions P, Q et appliquer
une rotation de la phase Φ0 à l’auto-corrélation du calque. Les suffixes P et Q sont utilisés pour symboliser respectivement les parties en phase et en quadrature des signaux. Pour rappel, le SNR réel s’exprime à partir des SNR de ces deux parties (équation 2.26).
L’autoχ2 complexe, noté autoχ2P Q, se définit alors de la manière suivante (avec les conven-tions précédentes) : Cet autoχ2 est divisé par un facteur 2 pour tenir compte du fait que ce qui se trouve sous l’intégrale est une somme de deux termes. L’autoχ2P Q utilise donc deux fois plus d’in-formations que l’autoχ2réel.
Comme pour l’autoχ2réel, l’utilisation de données discrètes transforme l’intégrale de l’équa-tion précédente en une somme, et la division par 2×∆t en une division par 2×400.
La figure 5.3 donne la représentation graphique des séries temporelles en phase et en qua-drature des troistriggers utilisés précédemment dans la figure 5.2. Les autoχ2P Q obtenus sont respectivement 0.96 pour le bruit gaussien, 50 pour le bruit intense et 1.32 pour l’injection BBH.
Figure 5.2 – Séries temporelles réelles des SNR et auto-corrélations des calques d’un bruit gaussien, d’un bruit intense et d’une injection. La série temporelle est en bleu et l’auto-corrélation du calque utilisé dans la détection est en rouge.
Temps (ms)
Figure 5.3 – Séries temporelles en phase et en quadrature des SNR et auto-corrélations des calques d’un bruit gaussien, d’un bruit intense et d’une injection. La série temporelle est en bleu et l’auto-corrélation du calque utilisé dans la détection est en rouge. Les figures supé-rieures contiennent les données en phase et la figures infésupé-rieures les données en quadrature.
5.2.3.3 Différences entre les deux versions
Afin de décider quelle version de l’autoχ2 doit être utilisée, discutons un peu des diffé-rences entre ces deux observables.
Concernant l’autoχ2réel, bien que celui-ci soit nomméχ2, il n’en est pas réellement un. En effet, une variable suit un loi du χ2 si, et seulement si, elle peut s’écrire comme une somme quadratique de variables suivant des lois normales centrées. Or, dans le cas de l’autoχ2réel, la quantité qui est sommée dans l’équation 5.3 est une différence de SNR réel, au cours du temps, élevée au carré. Si les SNR en phase et en quadrature calculés par MBTA suivent bien des lois normales centrées dans du bruit gaussien, ce n’est plus le cas du SNR réel obtenu après recombinaison (équation 2.26). Sur du bruit gaussien, l’autoχ2P Q doit en revanche bien suivre une loi du χ2, et, avec la normalisation spécifiée dans l’équation 5.4, son espérance doit être égale à 1. En réalité, les 800 paramètres sommés représentent l’évolution au cours du temps des SNR, en phase et en quadrature, pour un calque donné, ils ne sont donc pas indépendants. L’autoχ2P Q possède donc un nombre de degrés de liberté effectifs inférieur à 800, l’écart-type de cette observable sera donc supérieur à celui attendu pour un χ2 norma-lisé avec 800 degrés de liberté (q2/800≈0.05).
La figure 5.4 montre les distributions des deux autoχ2 obtenues sur 10 heures de bruit gaussien. Dans le cas de l’autoχ2réel, celui-ci suit une distribution dont les paramètres
dé-pendent du détecteur et de la région considérés. L’autoχ2P Q semble quant à lui bien suivre une loi du χ2, d’espérance en moyenne égale à 1, avec un écart-type correspondant à un nombre de degrés de liberté effectifs de l’ordre de 40 (pour un écart-type de 0.22).
L’autoχ2P Q est a priori plus discriminant que l’autoχ2Réel, car il contient par nature plus d’informations que ce dernier. De plus, l’autoχ2Réel ne suit pas une loi usuelle, et dépend plus que l’autre du détecteur et de la région considérés, il n’est donc pas facile à utiliser. Pour toutes ces raisons, c’est l’autoχ2P Q qui a été choisi comme outil de réjection pour O3.
χ2
Figure 5.4 – Distribution des autoχ2 sur 10 heures de bruit gaussien, pour chaque région et détecteur. Les courbes grises correspondent aux autoχ2Réelet les courbes noires aux autoχ2P Q.