6.2 Comparer les paramètres mesurés dans les différents détecteurs
6.2.2 Étude de Monte-Carlo pour générer les distributions attendues
En pratique, le seuil appliqué est calculé pour des doubles coïncidences, c’est à direN = 2.
Avec les seuils individuels définis plutôt (4.5 pour la région 1 et 4.8 pour les régions 2 et 3), l’équation 6.7 donne 6.4 pour la région 1 et 6.8 pour les régions 2 et 3.
6.2.2 Étude de Monte-Carlo pour générer les distributions atten-dues
Afin de connaitre les distributions attendues des trois paramètres Θ définis plus tôt, une étude Monte-Carlo a été réalisée sur un grand nombre d’injections.
6.2.2.1 Génération des distributions attendues
Ces distributions étant principalement dépendantes des paramètres géométriques du sys-tème source-détecteurs, cette étude a été menée seulement avec des injections BNS de masse chirp de 1.2 M, sans spin, et uniformément distribuées dans une sphère d’un rayon de 300 Mpc autour de la Terre. Afin de peupler convenablement les distributions, un total de deux millions d’injections ont été utilisées.
Sans aucune sélection, la figure 6.1 montre les distributions obtenues.
Seules les injections qui sont détectables doivent être prises en compte. Une injection est considérée comme détectable dans un détecteur si sa distance effective (équation 1.50) est inférieure à l’horizon (BNS) de ce détecteur (équation 1.53), calculé avec un seuil de SNR de 5. Les ranges utilisés sont ceux du début de O3 : 100 Mpc pour H1, 140 Mpc pour L1 et 50 Mpc pour V1.
Nous pouvons alors extraire les distributions empiriques des trois observables définies plus tôt, pour tous les types de doubles coïncidences. La figure 6.2 montre ces distribu-tions. Nous retrouvons les formes obtenues en figure 6.1, avec cependant quelques tendances intéressantes.
Les détecteurs H1 et L1 ayant des ranges et des réponses d’antennes similaires, les dis-tributions obtenues sont assez simples. Les différences de phase suivent une loi centrée sur un angle de π rad. Les rapports des distances effectives sont, comme les rapports desranges, en moyenne légèrement inférieurs à 1. Les différences des temps d’arrivées suivent une dis-tribution qui est due à la géométrie du système. Pour que le pipeline mesure la différence
maximale entre les temps d’arrivées des signaux, la source doit être sur la droite reliant les deux détecteurs. Cette position coïncident avec les directions où les deux réponses d’an-tennes (figure 1.8) ne sont pas maximales, réduisant ainsi la probabilité de détection de telles sources.
Concernant les doubles coïncidences impliquant Virgo, les formes sont plus compliquées à interpréter. Dû aux importantes différences de range, les rapports de distances effectives sont en moyenne bien supérieurs à 1. Plusieurs pics apparaissent, provenant des différentes directions privilégiées dues aux différences entre les orientations des réponses d’antennes des interféromètres. Les différences de temps d’arrivées suivent plus ou moins la loi uniforme obtenue sans sélection dans la figure 6.1. Elles sont cependant elles-aussi impactées par les directions privilégiées induites par les réponses d’antennes, ce qui a pour effet d’ajouter des fluctuations difficiles à modéliser. L’angle de 45◦ entre les réponses d’antennes des LIGO et de Virgo a aussi pour effet de privilégier des différences de phases plus proches de π/2 et 3π/2. Cet effet est cependant dépendant des rapports de range, L1 étant plus sensible que H1, le nombre de sources alignées avec les LIGO (et donc pas avec Virgo) détectables en coïncidences LV est supérieur à celui des HV, ce qui a pour effet privilégier des valeurs plus proches de π.
Concernant les triples coïncidences HLV, nous ne nous intéresserons qu’aux comparaisons des paramètres entre H1 et L1, et H1 et V1, la troisième paire étant par construction corrélée avec les deux premières. La figure 6.3 montre les distributions obtenues. Nous pouvons voir que ces distributions sont similaires aux figures 6.2a et 6.2b, excepté peut-être sur la différence de phase entre H1 et L1, où le fait que Virgo doit aussi être capable de détecter l’événement induit un léger biais de sélection. Cependant, ce paramètre est généralement assez mal mesuré et n’a donc pas un impact décisif.
Afin de simplifier la recherche, le triples HLV qui sont construites à partir d’une paire de doubles HL et HV, sont traitées de la sorte en utilisant les distributions 6.2a et 6.2b.
/ DeffL
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005t 0.01 0.015
Nombre d'injections detectables 410
Figure 6.1 – Distributions des paramètres utilisés dans le test de cohérence, sans sélection sur les positions des injections ou les détecteurs considérés. Les paramètres sont, de gauche à droite, les rapports de distances effectives, les différences de temps d’arrivée et les différences de phases.
/ DeffL
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005t 0.01 0.015
Nombre d'injections detectables
Figure 6.2 – Distributions des paramètres utilisés dans le test de cohérence, après sélection sur les distances effectives, pour des doubles coïncidences. Les paramètres sont, de gauche à droite, les rapports de distances effectives, les différences de temps d’arrivée et les différences de phases.
/ DeffL
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005t 0.01 0.015
Nombre d'injections detectables
(a) Comparaison des paramètres mesurés dans H et L
/ DeffV
(b) Comparaison des paramètres mesurés dans H et V
Figure 6.3 – Distributions des paramètres utilisés dans le test de cohérence, après sélection sur les distances effectives, pour des coïncidences triples. Les paramètres sont, de gauche à droite, les rapports de distances effectives, les différences de temps d’arrivées et les différences de phases.
6.2.2.2 Prise en compte des incertitudes de mesures
Les distributions présentées en figure 6.2 ne prennent en compte que les réponses d’an-tennes et les ranges des détecteurs, avant de les utiliser il faut y inclure les possibles erreurs de mesure.
Afin d’estimer ces erreurs, un set d’injections BNS présenté dans le chapitre 2, soit 288 injections, a été analysé dans du bruit gaussien. Les recherches étant identiques dans les trois détecteurs, nous nous contenterons d’étudier le cas des coïncidences HL.
Nous ferons aussi l’approximation que ces erreurs ne dépendent pas des SNR. Cette approximation est discutable, car en pratique les paramètres sont d’autant mieux mesurés que le signal est intense. Cependant, comme nous allons le voir, les erreurs de mesures ne modifient pas fortement les tendances de la figure 6.2. Cette simplification reste donc
raisonnable et permet de simplifier la méthode et de ne pas augmenter le nombre d’injections nécessaires.
D’après la figure 6.4, il est raisonnable de modéliser ces erreurs par des lois normales, centrées en 0, avec des écarts types de 0.15 pour les rapports des distances effectives, 0.5 ms pour les différences de temps, et 0.5 rad pour les différences de phases.
e) e e - Mesur e
Rapport des distances effectives (Inject-0.60 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.02
Moyenne = 3.8e-02 +/- 1.6e-01
Ecart type = 1.5e-01 +/- 1.6e-01
(a) Rapport des distances effectives
e) [ms]
Moyenne = 1.2e-02 +/- 5.1e-01
Ecart type = 4.8e-01 +/- 4.9e-01
(b) Temps de vol
Moyenne = 4.5e-03 +/- 4.6e-01
Ecart type = 4.2e-01 +/- 4.1e-01
(c) Différence de phases
Figure 6.4 – Distributions des erreurs de mesures sur les paramètres utilisés dans les tests de cohérence (en bleu), et courbes de tendance gaussiennes (en rouge), dans le cas de coïn-cidences HL. Les paramètres sont, de gauche à droite, les rapports de distances effectives, les différences de temps d’arrivée et les différences de phases. Les coïncidences associées aux infections ont un SNR combiné moyen de 15.
Nous pouvons alors régénérer les distributions de la figure 6.2 en ajoutant une erreur à chaque entrée, tirée aléatoirement dans ces lois normales centrées. Nous obtenons ainsi la figure 6.5. Les tendances précédentes se retrouvent, tout en ayant des courbes plus étalées.
Ces distributions sont normalisées de façon à ce que leur maxima soient égaux à 1, pour que les logarithmes en équation 6.6 soient toujours négatifs ou nuls, cela afin de s’assurer que
˜
ρ2c ≤Piρ˜2i.
/ DeffL
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005t 0.01 0.015 10-4
Figure 6.5 – Distributions attendues des paramètres utilisés dans le test de cohérence, pour des coïncidences doubles, après intégration des incertitudes de mesure. Les paramètres sont, de gauche à droite, les rapports de distances effectives, les différences de temps d’arrivée et les différences de phases.
6.2.2.3 Extrapolation des distributions
Les distributions ainsi obtenues ne sont pas utilisables telles quelles dans l’analyse. Elles possèdent de nombreuses variations dues au manque de statistique, avec parfois des pas-sages par 0. De plus, les distributions de différences de temps passe de 1 à 0 de façon plutôt abrupte. Pour pallier ces problèmes, nous pouvons chercher à adapter des fonctions usuelles sur ces distributions, les fonctions les plus simples que nous pouvons utiliser étant des fonc-tions de Gauss.
Concernant les différences de phases, trois valeurs semblent privilégiées : π/2,π et 3π/2, nous utiliserons donc une somme de trois gaussiennes, initialisées sur ces valeurs.
Dans le cas des rapports des distances effectives, les courbes ressemblent elles aussi à des gaussiennes de la forme y = y(eµ)·e−
(log(x)−µ)2
2σ2 (ce qui revient à dire que le logarithme des rapports des distances effectives suit une loi gaussienne usuelle). La présence de plusieurs pics dans ces distributions impose là encore une utilisation d’une somme de trois de ces fonctions.
Les distributions de différences de temps d’arrivées ne semblent cependant pas suivre de tendance simple à modéliser. Pour éviter les passages à 0 trop brusques et étendre les courbes aux fenètres de temps utilisées dans la construction des coïncidences, nous les lisserons simplement en utilisant la fonction "SMOOTH" de la librairie ROOT [96].
Les courbes obtenues sont visibles en rouges sur la figure 6.6.
/ DeffL
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005t 0.01 0.015 10-7
Figure 6.6 – Distributions utilisées par l’analyse dans le test de cohérence. Les paramètres sont, de gauche à droite, les rapports de distances effectives, les différences de temps d’arrivée et les différences de phases. Les courbes bleues correspond aux distributions estimées avec deux millions d’injections (visibles en figure 6.5) et les courbes rouges sont les extrapolations.