CHAPITRE 13 : EXPÉRIENCES ET RÉSULTATS
13.4 Résultats
13.4.1 Comparaison des stratégies de fixation : avec ou sans historique
Au cours de la PH-heuristique les variables binaires qui satisfont la contrainte NA sont fixées suivant deux possibles stratégies comme stipulé dans la section 12.2 : fixa- tion si la contrainte NA est vérifiée pour un nombre prédéfini d’itérations consécutives (historique), ou dès satisfaction de la contrainte NA. Nous comparons d’abord la qualité des solutions du PTSR selon que les variables binaires sont fixées avec ou sans vérifica- tion d’un historique, pour déterminer si une stratégie de fixation s’avère meilleure que l’autre. Nous désignons par "HN" les expériences où la fixation a lieu à partir de la troi- sième PH-itération et dès qu’il y a convergence pour une contrainte NA. "HO" désigne les fixations de variables, seulement si pour une contrainte de NA lorsque les variables ont convergé pour 2 PH-itérations consécutives. Sous ces conditions, quand Kmax = 5, le nombre de PH-itérations sujettes à la fixation de variables est le même pour les deux stratégies. Pour un ensemble de scénarios Ω, nous comparons les valeurs de l’objectif des solutions retournées par la résolution du PTSR après les Kmax itérations. ZHNKmaxest l’ob- jectif d’une solution PTSR où les variables binaires ont été fixées suivant la stratégie HN. ZHOKmax est l’équivalent pour des variables fixées suivant HO. ZHN (ZHO) retourne la va-
leur de la meilleure solution obtenue pour la stratégie HN (HO), ZHN= max{ZHN5 , ZHN10 }
(ZHO= max{ZHO5 , ZHO10 }). Les meilleures performances pour chaque stratégie sont résu-
mées dans le tableau 13.IV. Chaque colonne "Gap(%)" est le gap calculé par CPLEX établissant l’écart entre la relaxation du problème restreint et la valeur de l’objectif de la solution associée.
Nous remarquons que pour la plupart (75%) des ensembles de scénarios Ω, la va- leur de la solution obtenue après fixation sans vérification d’historique est supérieure à celle avec historique (ZHN > ZHO). L’écart entre les solutions des deux approches se
creuse quand le nombre de scénarios augmente. De plus, les besoins en mémoire pour garder l’historique et les valeurs des solutions des itérations précédentes augmentent le besoin en ressources, ce qui a limité les expériences de type HO. Le nombre de scénarios
maximum que nous avons pu comparer est 80 scénarios. Dans 6 cas sur 8, l’approche de fixation sans historique est meilleure que celle avec historique.
Tableau 13.IV – Résumé des performances de la PH-heuristique
|Ω| ZHN Gap(%) ZHO Gap (%) KmaxHN KmaxHO
10 6.55E+08 0.6 6.55E+08 0.5 5 5 20 6.55E+08 0.5 6.53E+08 0.6 5 10 30 6.55E+08 0.6 6.34E+08 5.3 10 5 40 6.07E+08 9.5 6.53E+08 0.7 10 5 50 6.21E+08 0.8 5.68E+08 12.0 10 5 60 5.40E+08 14.5 5.31E+08 16.3 5 5 70 5.77E+08 0.6 4.98E+08 18.9 5 5 80 5.66E+08 0.5 4.88E+08 19.1 10 5
Notons aussi qu’à partir de 50 scénarios, le gap de la meilleure solution trouvée suivant la stratégie de fixation HO est de plus de 10%. La restriction du PTSR n’est donc pas suffisante. En effet dans le tableau 13.VI, il est possible de connaître le nombre de variables fixées à 1 quand la résolution du PTSR est lancée. On remarque que le nombre de variables fixées suivant la stratégie HO reste sensiblement le même alors que le nombre de scénarios augmente. Par conséquent, le nombre de variables fixées est trop faible pour faciliter la résolution du problème restreint. En suivant l’affichage de CPLEX, il est aussi possible de constater qu’ une première solution entière est difficile à trouver(en moyenne après 2 heures). L’amélioration du gap par la suite, même avec des options comme le polishing, ne diminue à son tour que lentement. Par la suite, nous concentrerons l’analyse des résultats sur ceux issus de la stratégie de fixation HN.
13.4.2 Variations du nombre maximal de PH-itérations
Pour évaluer l’utilité d’augmenter le nombre maximal de PH-itérations, nous nous concentrons sur les expériences où la stratégie de fixation ne tient pas compte d’un histo- rique ("HN"). Le tableau 13.V résume les éléments distinctifs associés à l’heuristique, la valeur de l’objectif, le gap indiqué par CPLEX de la solution entière obtenue, ainsi que le nombre de variables fixées. Nous notons qu’augmenter le nombre d’itérations améliore significativement l’objectif du problème PTSR restreint dans 4 cas sur 10. L’améliora-
Tableau 13.V – PH-heuristique sans historique KmaxHN = 5
|Ω| Valeur de l’objectif Gap(%) # var. fixées à 1 PTSR temps de résolution(s)
10 6.55E+08 0.6 168 83 20 6.55E+08 0.48 786 230 30 6.19E+08 7.87 508 TL 40 6.06E+08 9.7 1 821 TL 50 5.74E+08 10.9 298 TL 60 5.40E+08 14.5 456 TL 70 5.77E+08 0.6 3 270 2 003 80 4.98E+08 16.7 1 530 TL 90 4.81E+08 18.5 1 636 TL 100 4.75E+08 19.5 1 024 TL KmaxHN= 10
|Ω| Valeur de l’objectif Gap(%) # var. fixées à 1 PTSR temps de résolution(s)
10 6.52E+08 0.65 1 205 30 20 6.52E+08 0.59 1 155 90 30 6.55E+08 0.62 1 766 190 40 6.07E+08 9.47 1 816 TL 50 6.21E+08 0.8 2 750 765 60 5.36E+08 15.3 2 104 TL 70 5.08E+08 16.1 2 272 TL 80 5.66E+08 0.5 2 502 3 088 90 4.90E+08 16.2 6 216 TL 100 4.72E+08 20.1 3 248 TL
tion est de 6% pour 30 scénarios, 8% pour 50 scénarios, 14% pour 80 scénarios et 2% pour 90 scénarios. Le gap de la solution entière obtenue pour ces derniers sont tous en dessous des 1% sauf pour 90 scénarios. Cependant l’augmentation du nombre d’itéra- tions ne garantit pas que la solution obtenue aura un gap réduit par rapport à celle pour Kmax= 5. C’est en effet le cas pour 60, 90 et 100 scénarios, où le gap ne diminue pas quand le nombre d’itérations augmente. Des tableaux 13.V et 13.VI nous notons que, si un nombre réduit de PH-itérations permet l’obtention d’une solution entière du PTSR restreint de bonne qualité, augmenter le nombre d’itérations ne peut que dégrader la qualité de la solution obtenue. L’augmentation du nombre d’itérations peut dans certains cas réduire le gap de la solution obtenue, mais le gap ne mesure que l’écart relatif au
Tableau 13.VI – PH-heuristique avec historique KmaxHO= 5
|Ω| Valeur de l’objectif Gap(%) # var. fixées à 1 PTSR temps de résolution(s)
10 6.55E+08 0.49 275 47 20 6.52E+08 0.88 108 125 30 6.34E+08 5.31 244 TL 40 6.53E+08 0.73 538 922 50 5.68E+08 12.03 102 TL 60 5.19E+08 19.3 150 TL 70 4.98E+08 18.9 288 TL 80 4.88E+08 19.1 233 TL KmaxHO = 10
|Ω| Valeur de l’objectif Gap(%) # var. fixées à 1 PTSR temps de résolution(s)
10 6.52E+08 0.6 1 069 44 20 6.53E+08 0.61 606 108 30 6.19E+08 7.71 718 TL 40 5.84E+08 13.92 478 TL 50 5.62E+08 12.46 4 448 TL 60 5.31E+08 16.3 1 296 TL
70 s/o s/o s/o s/o
80 s/o s/o s/o s/o
problème restreint, pas le problème original. L’écart au problème original ne peut être calculé que pour un nombre limité de scénarios (jusqu’à 40).