Nous comparons ici nos résultats à ceux obtenus par Nilsson et al [89] et McMahan
et al [122]. Toutes les valeurs discutées ici sont représentées sur la figure6.6.
On se compare d’abord à Nilsson et al [89], comme pour le cas du cérium γ. Leurs
valeurs de U obtenues en cRPA sont bien plus hautes que nos valeurs de Uout obtenues à
partir de la structure électronique LSDA (notées Uout[LSDA]). Nous, pensons, sur la base du cas du cérium, que la différence est dûe à la désintrication des états de Kohn-Sham f et r dans [89], réduisant l’écrantage rf .
Comme fait pour le cérium γ (à la fin de la sectionEdu chapitre5), nous imitons la méthode de [89] en calculant Uonly rr à partir de la structure électronique LSDA (on note Uonly rr[LSDA]). On remarque que les valeurs de Uonly rr[LSDA] se rapprochent de celles de [89], jusqu’à l’europium pour lequel elles sont très proches. Pour le gadolinium, les deux valeurs sont espacées de 1.5 eV mais demeurent du même ordre.
Ainsi, en augmentant le numéro atomique, la désintrication semble avoir de moins en moins d’effet, et la simple suppression de l’écrantage rf permet d’obtenir des valeurs plus hautes.
Cependant, gardons à l’esprit que ces calculs sont effectués à partir de la structure électronique LSDA, physiquement incorrecte ; aussi, les processus d’écrantage rf n’ont pas de réalité physique.
On se compare ensuite à McMahan et al [122, 130]. Dans leur cas, l’approximation
de densité locale contrainte est utilisée. Leurs valeurs augmentent progressivement de
Chapitre 6. Application aux lanthanides 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Interaction (eV) U out(LSDA) U out(5.0 eV) U out(7.0 eV) U out(8.0 eV) U out(9.0 eV) U only rr(LSDA) U ∞ Herbst et al Sarma et al McMahan et al Nilsson et al U SC (highest) v Wannier 24 26 28 30 32 34 36
FIGURE 6.6 – Synthèse des valeurs d’intérêt pour les lanthanides : interaction nue de Wannier vWannier, valeurs de sortie Uout à partir de la structure électronique LSDA (Uout[LSDA]) et LSDA+U pour différentes valeurs de Uin(5.0 eV, 7.0 eV, 8.0 eV et 9.0 eV) et pour JAC donné dans la table 6.3(Uout[5.0 eV], Uout[7.0 eV], Uout[8.0 eV] et Uout[9.0 eV]), valeurs de Uonly rr à partir de la structure électronique LSDA (Uonly rr[LSDA]), valeurs de U∞ (équation 5.1), valeurs auto-cohérentes stables et hautes U3
AC (si elles existent), et valeurs obtenues par Herbst et al [79], Sarma et al [80], McMahan et al [122] et Nilsson et al [89].
Chapitre 6. Application aux lanthanides
valeur auto-cohérente avec la plus haute, ainsi qu’avec les autres méthodes [38, 71].
Leurs autres valeurs sont assez proches de nos valeurs de Uout pour Uin= 9.0eV. Pour le gadolinium, la différence entre leur valeur et notre valeur auto-cohérente la plus haute est d’environ 1.1 eV.
D - 3 Conclusion
Pour résumer, l’écrantage rf empêche de trouver de hautes valeurs auto-cohérentes de U en accord avec les spectres de photoémission expérimentaux. Cependant, pour des valeurs d’entrée Uindans cette gamme (entre 5.0 eV et 9.0 eV), nos valeurs de sortie
Uout en semblent proches également. Cela confirme le sens physique correct de notre
schéma. Néanmoins, pour que ce dernier soit prédictif, il convient de rendre les valeurs de sortie Uoutmoins dépendantes des valeurs d’entrée Uin. Cela peut être fait en incluant les orbitales 5d dans le modèle des électrons corrélés, comme discuté pour le cérium.
E Bilan
Pour résumer, et répondre aux questions posées à la fin de la sectionA :
– Le schéma auto-cohérent DFT+U /cRPA donne un nombre variable de valeurs de
U auto-cohérentes pour les lanthanides. Pour certains éléments, on a une
situa-tion semblable au cérium (trois valeurs, dont une instable). Pour d’autres, on a une unique valeur.
– La plus haute valeur auto-cohérente obtenue se situe dans la gamme de valeurs attendue pour certains lanthanides. Cependant, les deux autres sont basses et in-compatibles avec les spectres de photoémission. De plus, pour certains éléments présentant une unique valeur, celle-ci est également trop basse.
– Les valeurs de U obtenues dans [89] sont proches de nos valeurs auto-cohérentes
pour le cérium et le gadolinium. Cependant, pour les autres élements (du praséodyme au samarium), nous n’avons pas de valeur auto-cohérente haute de U et la
dif-férence est grande. Concernant les valeurs de Uout à Uin fixé, on constate
néan-moins une décroissance progressive du cérium au samarium et une augmentation
pour l’europium et le gadolinium, comme dans [89]. Ces effets sont dûs aux
dif-férences entre les processus d’écrantage, et dans leur traitement.
En outre, pour répondre à la première question posée à la fin du chapitre 5 : on
observe également pour certains lanthanides les limitations du schéma auto-cohérent DFT+U /cRPA constatées pour le cérium, malgré l’augmentation de l’interaction nue. Pour d’autres lanthanides, les résultats sont encore moins bons, ne comportant pas de valeur auto-cohérente de U en accord avec l’expérience.
Notre analyse a montré que l’interaction nue augmente progressivement avec le numéro atomique, et que, de plus, l’effet de l’écrantage rr ne varie que peu d’un élément à l’autre. Cependant, l’écrantage rf demeure très important, et contrecarre l’augmen-tation de l’interaction nue pour plusieurs élements. Ainsi, pour les lanthanides légers
Chapitre 6. Application aux lanthanides
allant du praséodyme à l’europium, il n’y a pas de valeur auto-cohérente haute pour U , mais une seule valeur basse, irréaliste physiquement. Pour les lanthanides plus lourds (à partir du terbium), la valeur auto-cohérente haute réapparaît, mais n’est pas unique. Les deux exceptions notables pour lesquelles le schéma donne une unique valeur auto-cohérente haute de U sont le gadolinium et le lutétium, pour lesquelles les sous-couches 4f des différents spins sont soit totalement remplies, soit totalement vides.
Pour améliorer ces résultats, les mêmes perspectives que celles avancées pour le cérium (à la fin du chapitre5) peuvent être envisagées.