La commande prédictive

Le besoin de maîtriser un procédé et d’optimiser ses performances globales a été rendu possible grâce à l’essor des méthodologies de synthèse de lois de commande. Les objectifs d’une loi de commande peuvent varier en fonction de la réponse souhaitée du système en boucle ouverte ou en boucle fermée, comme par exemple assurer un suivi de consigne, garantir la stabilité du système ou rejeter les perturbations. Avant de présenter les lois de commande prédictive utilisées dans nos travaux, nous rappelons quelques notions essentielles de la théorie de la commande nécessaire à leurs mise en œuvre.

III.1.1 Théorie de la commande

La théorie de la commande est une branche interdisciplinaire de l’ingénierie et des mathéma-tiques qui traite le comportement des systèmes dynamiques avec des entrées, appelées références ou consignes, et des sorties devant évoluer selon un comportement désiré par l’opérateur. L’ob-jectif de la loi de commande consiste alors à déterminer les actions correctives appropriées. Pour ce faire, la littérature propose différentes méthodes de synthèses, telles que les commandes adap-tatives, hybrides, robustes, optimales ou prédictives. Ces différentes stratégies de commande, et en particulier la commande prédictive, nécessitent une représentation du système. Pour cela, les modèles des systèmes sont souvent généralement exprimés soit par une représentation d’état, soit par une fonction de transfert. Nous introduisons ci-après ces deux représentations.

III.1.1.1 La représentation d’état

Considérons un système linéaire invariant se déplaçant dans un espace d’état de dimension n, sa dynamique est classiquement décrite par la représentation d’état à temps continu suivante :

(

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t) ^(III.1)

où x ∈ Rn représente le vecteur d’état, y ∈ Rp le vecteur des p sorties, u ∈ Rm le vecteur des m commandes, A ∈ Rn×n la matrice de dynamique (ou d’état), B ∈ Rn×m la matrice de commande, C ∈ Rp×n la matrice d’observation et D ∈ Rp×m la matrice d’action directe, et t le temps.

En raison de la réalisation numérique, il est parfois nécessaire de discrétiser, selon la période d’échantillonnage T_ech du système, la représentation à temps continu (III.1). Ceci conduit alors à la représentation d’état d’un système linéaire stationnaire à temps discret, soit :

(

x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k)

y(k) = Cdx(k) + Ddu(k) ^{, avec :}

   Ad = eTechA , Cd = C Bd = ^{Z Tech} 0 eτ AdτB, Dd = D (III.2) où les matrices à coefficients constant Ad∈ R^{n×n, B}d∈ R^{n×m, C}d ∈ R^{p×n et D}d∈ R^{p×m sont} respectivement les matrices d’état, de commande, d’observation discrètes et d’action directe ; et k ∈ N caractérise le temps discret. Les valeurs x(k), y(k) et u(k) sont déduites de leur forme en temps continu classiquement au moyen d’un bloqueur d’ordre zéro, soit

III.1. La commande prédictive

III.1.1.2 La représentation par fonction de transfert

La seconde manière de représenter un système linéaire, repose sur l’expression de sa fonction de transfert, basée sur la transformée de Laplace. La fonction de transfert d’un système est classiquement définie par :

G(s) = Y(s) · U−1(s) (III.4)

où Y(s) = L {y(t)} et U(s) = L {u(t)} sont les transformées de Laplace, respectivement, de la sortie et de la commande du système.

Dans le cas des systèmes à temps discret, la fonction de transfert discrète peut être obtenue par la transformée en Z de la fonction de transfert continue (III.5) du processus, soit :

G(z) = Y(z) · U−1(z) (III.5)

avec Y(z) = Z {y(t)} et U(z) = Z {u(t)} représentant les transformées en Z, respectivement, de la sortie et de la commande du système.

III.1.2 Introduction à la commande prédictive

La commande prédictive est apparue dans les années 1970 avec les travaux de Richalet et al. qui publient les premiers résultats expérimentaux d’une commande prédictive dite heuristique (MPHC4) [119, 123], plus connue aujourd’hui sous le nom de MAC5. Les ingénieurs de SHELL, Cutler and Ramaker, ont appliqué par la suite une variante de cette loi de commande désignée sous le nom de commande matricielle dynamique (DMC6) [124]. Dans ces deux approches, le modèle est exprimé sous la forme d’une réponse impulsionnelle pour MAC et d’une réponse indicielle pour DMC. L’objectif pour cette première génération est de poursuivre une référence, mais les contraintes ne sont pas encore prises en compte. Au début des années 1980, une deuxième génération d’algorithmes de commande prédictive a été développée, introduisant la résolution d’un problème d’optimisation quadratique, en prenant en compte des contraintes sur les entrées et les sorties. L’essor de la commande prédictive est alors favorisé par le progrès croissant de l’informatique en terme de puissance de calcul. La commande prédictive devient ainsi très vite populaire, notamment dans le secteur de l’industrie [125, 126, 127].

En particulier, en 1985 Clarke et al. présente la première version de la commande prédictive généralisée (GPC2) [128, 129]. Cette technique de commande prédictive a été très tôt utilisée dans diverses applications industrielles, dont notamment la commande d’axes de robots, démontrant son efficacité en termes de performance et de robustesse [130]. Notamment, les premiers travaux sur la GPC de Mohtadi-Haghighi [131] ont permis d’établir des théorèmes de stabilité. Cette stratégie de commande fera l’objet d’une étude plus détaillée dans la section III.3 de ce chapitre. D’autre part, la commande prédictive a également été formulée dans l’espace d’état [132, 133], dénommé SMPC dans ce manuscrit. La SMPC permet non seulement d’utiliser des théorèmes bien connus des théories liées à la représentation d’état, mais facilite aussi la génération de la commande pour des cas plus complexes tels que les systèmes multivariables possédant des perturbations stochastiques. La mise en œuvre de la SMPC pour notre système sera présentée dans la section III.2.

4. Model Predictive Heuristic Control (MPHC) 5. Model Algorithmic Control (MAC)

Ainsi, depuis ces débuts, de nombreuses catégories et dénominations de la commande prédic-tive ont été proposées. La commande prédicprédic-tive, ou MPC, ne désigne donc pas une technique de commande spécifique mais plutôt un ensemble de méthodes prédictives exploitant explicitement un modèle du procédé à commander pour obtenir le signal de commande. Ces commandes ne diffèrent que par le choix du modèle mathématique utilisé, par la trajectoire de référence connue à l’avance ou par la fonction coût à minimiser pour obtenir le signal de commande optimal sur un horizon glissant. Néanmoins, toutes les techniques de commande de la famille MPC ont en commun la même stratégie prédictive basée sur l’anticipation du comportement futur du sys-tème à l’aide de son modèle sur un horizon glissant. Afin de bien appréhender les stratégies de commande prédictive, nous présentons dans le paragraphe suivant ses principes.

III.1.3 Principe de la commande prédictive

Le principe de la commande prédictive, désignée également sous le terme de commande à horizon glissant ou fuyant, repose sur la notion fondamentale de prédiction. Elle consiste à utiliser explicitement un modèle du processus à l’intérieur du contrôleur, afin d’anticiper le comportement futur du procédé. Il est donc nécessaire, pour pouvoir anticiper, de connaître explicitement la trajectoire à suivre sur au moins un horizon fini donné, et de disposer d’un modèle du système pour la prédiction de ce comportement (et éventuellement les perturbations mesurables). Les performances de la loi de commande prédictive sont dès lors relativement dépendantes de la précision et de la complexité du modèle implanté dans l’algorithme [134, 135]. C’est à partir de cette anticipation du comportement futur, que le problème d’optimisation est posé à travers un critère (e.g. quadratique) tout en respectant les contraintes opératoires du procédé. Dans le cas d’un problème de poursuite de trajectoire, le critère est généralement construit sur l’erreur entre le signal de sortie considéré et le signal de référence (à poursuivre).

Néanmoins, obtenir ou choisir un modèle adéquat du système ne résout pas pleinement le problème. Il reste à déterminer les paramètres de réglage spécifiques à la commande prédictive, qui interviennent généralement dans le critère de minimisation. Ces paramètres sont en fait assez semblables d’une structure prédictive à une autre, se composant d’horizons de prédiction sur la sortie N et la commande N_u, ainsi que de facteurs de pondérations λ.

L’algorithme de synthèse d’une commande prédictive utilisant le principe de la MPC se déroule alors globalement selon la démarche suivante, illustré sur la figure III.1 :

➀ La trajectoire de référence w est déterminée ou pré-planifiée par rapport à la consigne jusqu’à au moins l’horizon de prédiction N2. Elle représente le comportement désiré en boucle fermée.

➁ Les sorties futures du système sont déterminées sur l’horizon N₂ pour chaque instant k, et ce à l’aide du modèle du système. Les sorties prédites y(k + i|k) pour i = Nb 1, . . . , N₂ dépendent des valeurs connues (entrées et sorties passées) à l’instant k et des commandes optimales futures u(k + i|k), pour i = 0, . . . , N2− 1, qui sont à déterminer.

➂ La séquence des N_ucommandes futures résulte de la minimisation d’un critère permettant de faire coïncider la sortie prédite y du système avec la trajectoire de référence w. Uneb

solution explicite peut être trouvée si le critère est quadratique sans contraintes et si le modèle est linéaire. Dans le cas contraire, une méthode d’optimisation itérative (souvent coûteuse en temps de calcul) doit être utilisée.

III.1. La commande prédictive temps k k-1 k+1 ^k+N2 Passé Futur w ŷ

...

...

Figure III.1 – Principe de la commande prédictive et de son horizon glissant.

➃ Enfin, seule la première consigne de commande u(k|k) de la séquence optimisée est appli-quée au processus.

Après l’acquisition de nouvelles mesures, l’horizon de prédiction est décalé d’un pas dans le temps et tous les calculs sont réitérés à l’instant (k + 1) suivant. Ce procédé repose ainsi sur la stratégie de commande à horizon glissant.

Les lois de commandes prédictives impliquent la connaissance du comportement futur du système prédit à l’aide d’un modèle du processus. Ainsi, l’élément central de la MPC est le modèle du système. Nous nous proposons dans les sections suivantes de nous intéresser à deux formulations couramment considérées de la commande prédictive : la commande prédictive basée sur la représentation d’état (SMPC) dans la section III.2, et la commande prédictive généralisée (GPC) basée sur la fonction de transfert dans la section III.3.

III.2 Commande prédictive basée sur la représentation