ESTHER est un code Lagrangien `a une dimension. Dans une telle description la mati`ere est d´ecrite par un ensemble de mailles pouvant se d´etendre, tant que la conservation de la
185
masse est assur´ee. L’´evolution de la mati`ere dans l’espace est ainsi prise en compte.
Dans ce code mono-dimensionnel, les ´equations du mod`ele `a deux temp´eratures sont r´esolues par int´egration sur chaque maille en appliquant le th´eor`eme de Stokes. De plus, les ´equations de base de l’hydrodynamique dans les solides et les liquides, c’est-`a-dire la conservation de la quantit´e de mouvement, de l’´energie, de la masse et enfin l’´evolution de la position des mailles sont trait´ees.
Les deux ´equations diff´erentielles coupl´ees du mod`ele `a deux temp´eratures et r´esolues par le code ESTHER sont les suivantes :
Ce(Te) dTe dt = −G(Te)(Te− Ti) + ∇. [κe∇(Te)] + S(t) (7.1) Ci(Ti) dTi dt = G(Te)(Te− Ti) + ∇. [κi∇(Ti)] (7.2) avec Ce et Ci les capacit´es calorifiques ´electronique et ionique, G le coefficient de couplage
´electron-ion, S(t) le terme source et κe et κi les conductivit´es ´electronique et ionique.
7.1.1
Equations d’´´
etats utilis´ees
Les simulations ont ´et´e men´ees avec les ´equations d’´etat dites ADU (Bushman, Lomo- nosov et Fortov) [146]. Pour voir l’influence de ce choix, nous avons r´ealis´e une simulation avec les ´equations d’´etat de type SESAME [147]. Les r´esultats obtenus ont montr´e un com- portement quasiment identique entre les deux repr´esentations. Les ´equations d’´etats ADU ´etant multiphases, elles d´ependent de la phase du mat´eriau, et les transitions de phases y sont incluses de mani`ere consistante. Elles permettent donc de bien d´ecrire le comportement du mat´eriau lors des changements d’´etats [145]. Elles sont de plus adapt´ees `a un mod`ele `a deux temp´eratures. C’est pourquoi nous les avons retenues pour la suite de l’analyse.
7.1.2
Mod´elisation du d´epˆot d’´energie dans la mati`ere
Le code ESTHER permet de mod´eliser le d´epˆot d’´energie (correspondant au terme source S(t) de l’´equation7.1) de diff´erentes mani`eres : par d´epˆot laser, d´epˆot par rayonnement X, d´epˆot par un faisceau d’ions ou encore un d´epˆot d’´energie en masse. On s’int´eresse pour notre ´etude aux deux options de d´epˆot laser et de d´epˆot d’´energie en masse.
Dans le cas d’un d´epˆot d’´energie de type laser, l’´energie du terme source S(t) est d´epos´ee dans le syst`eme ´electronique jusqu’`a l’´epaisseur de peau (∼ 15 nm pour le cuivre). La temp´erature ´electronique s’homog´en´eise ensuite par le ph´enom`ene de conduction thermique. Avec ce d´epˆot laser, c’est la valeur de la fluence incidente de chauffage qui est consid´er´ee comme param`etre d’entr´ee dans la simulation, et ESTHER calcule lui-mˆeme l’absorption par la r´esolution des ´equations d’Helmholtz.
Nous avons vu au chapitre 6 que celle-ci ´etait surestim´ee par le calcul pour nos conditions exp´erimentales (jusqu’`a un facteur 2, cf Figure 6.7).
La seconde option est de consid´erer un d´epˆot d’´energie se faisant de mani`ere homog`ene au sein de l’´echantillon et sur une distance pouvant ˆetre sup´erieure `a l’´epaisseur de peau.
186 CHAPITRE 7 : INTERPR ´ETATIONS DES EXP ´ERIENCES
L’utilisateur est alors libre de choisir sur quelle ´epaisseur l’´energie est d´epos´ee de mani`ere uni- forme. Si on affecte cette ´epaisseur ´egale `a l’int´egralit´e de celle de l’´echantillon, le chauffage peut ˆetre suppos´e homog`ene sur les 80 nanom`etres de cuivre, et le processus de conduction thermique est alors n´eglig´e. C’est cette fois la valeur de la fluence de chauffage absorb´ee par l’´echantillon que l’on rentre comme param`etre d’entr´ee dans le calcul avec ce choix de d´epˆot.
La consid´eration de ce chauffage homog`ene se base dans notre cas sur l’hypoth`ese d’un transport d’´energie instantan´e effectu´e par les ´electrons balistiques [148]. On d´esigne
par ´electrons balistiques une population d’´electrons non thermalis´es. Lors de l’interaction laser-plasma, ces ´electrons peuvent traverser la mati`ere sur une longueur caract´eristique cor- respondant `a leur libre parcours moyen dlpm, qui d´esigne le parcours moyen qu’ils effectuent
entre deux collisions. On exprime ce libre parcours moyen dlpm comme :
dlpm = vF × τF (7.3)
avec vF la vitesse de Fermi, et τF le temps de relaxation de Drude.
Des valeurs tabul´ees de ces libres parcours moyens sont report´ees dans l’ouvrage de Asch- croft et Mermin pour de nombreux ´el´ements chimiques [16]. Elles sont obtenues `a partir du mod`ele du gaz d’´electrons libres, et pour des conditions de temp´eratures ambiantes. Pour le cuivre, la vitesse de Fermi est estim´ee `a vAsh.F = 15,07.105 m.s−1 et le temps de relaxation `a τAsch.
F = 27 fs, ce qui rend une valeur du libre parcours de dAsch.lpm = 40,7 nm. Dans les calculs
de D. Gall bas´es sur des calculs ab-intio [149], ce dernier trouve une vitesse de Fermi vFGall = 11,09.105 m.s−1 et un temps de relaxation τGall
F = 36 fs, donnant un libre parcours moyen
similaire dGalllpm = 39,9 nm. Ces valeurs sont faibles devant le libre parcours moyen d´etermin´e ´egal `a dlpm = 70 nm dans des exp´eriences par Hohlfeld [148].
Si on consid`ere le d´epˆot du laser sur l’´epaisseur de peau de ∼ 15 nm, puis ce chauffage homog`ene par les ´electrons balistiques sur une distance suppl´ementaire comprise entre 40 et 70 nm suivant les diff´erentes estimations, nous sommes proches d’un chauffage homog`ene sur l’ensemble de l’´echantillon.
N´eanmoins, il est `a noter que dans le r´egime de la mati`ere dense et ti`ede, la distance de propagation de ces ´electrons est suspect´ee d’ˆetre consid´erablement r´eduite, comme montr´e dans des mesures de FDI de Ogitsu et al. et de d´eflection de nuage ´electronique [44, 53].
Nous avons ainsi effectu´e deux simulations ESTHER, une avec un d´epˆot laser et une avec le d´epˆot en masse, afin d’´etudier les r´epercussions de ces deux types de d´epˆots d’´energies sur l’´evolution temporelle de Te(t).
Durant les exp´eriences, l’´echantillon est sond´e en volume par les photons. Pour simuler ce processus de sonde, nous effectuons par cons´equent une moyenne (pond´er´ee par la densit´e massique dans le cas de mailles lagrangiennes) sur l’ensemble des mailles de cuivre. Ces simulations font l’objet de la Figure 7.1. Les fluences incidente (1,4 J.cm−2) et absorb´ee (0,4 J.cm−2) consid´er´ees dans ces deux types de d´epˆot sont ajust´ees pour rendre la mˆeme temp´erature d’´equilibre. En effet, celle-ci est cens´ee ˆetre ind´ependante du choix du d´epˆot d’´energie qui se fait sur une dur´ee relativement plus courte (300 fs FWHM pour le chauffage contre ∼ 10 ps pour l’´equilibre thermique).
La barre d’erreur associ´ee `a chaque simulation de Te(t) tient compte des ´ecarts de
temp´erature le long de l’´echantillon. Elle est donc tr`es faible dans le cas du d´epˆot en masse qui m`ene `a un chauffage uniforme et instantan´e de l’ensemble de l’´echantillon.
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Figure 7.1 – Comparaison de simulations ESTHER dans le cas d’un d´epˆot laser (`a une fluence incidente Finc= 1,4 J.cm−2) et d’un d´epˆot en masse (`a une fluence absorb´ee Fabs
= 0,4 J.cm−2) pour un ´echantillon de cuivre de 80 nm. Les temp´eratures sont obtenues apr`es int´egration sur toute l’´epaisseur de l’´echantillon. La dur´ee de l’impulsion laser est de 300 fs FWHM. Les pertes radiatives sont n´eglig´ees ici, d’o`u une temp´erature constante apr`es une dizaine de picosecondes. Les effets hydrodynamiques ne sont pas pris en compte.
une ´epaisseur de l’ordre de l’´epaisseur de peau est chauff´ee aux premiers instants. Il existe donc des gradients de temp´eratures au sein de l’´echantillon durant les premi`eres picose- condes, qui tendent `a disparaˆıtre aux temps longs avec l’homog´en´eisation de la temp´erature par la conduction thermique.
Il apparaˆıt `a travers ces simulations que les deux repr´esentations donnent les mˆemes r´esultats avec la prise en compte de la r´esolution temporelle de l’exp´erience (convolution par une fonction gaussienne de largeur 1,2 ps rms) et des incertitudes li´ees aux inhomog´en´eit´es de temp´eratures le long de l’´echantillon. Nous sommes donc libres de choisir le d´epˆot d’´energie de notre choix dans les simulations pour la comparaison avec les donn´ees exp´erimentales. Comme nous avons effectu´e des mesures du taux d’absorption laser de nos ´echantillons, nous avons opt´e pour un d´epˆot en masse et une repr´esentation impliquant un chauffage homog`ene. Toutes les simulations pr´esent´ees dans ce chapitre ont donc ´et´e r´ealis´ees avec une quantit´e d’´energie d´epos´ee de mani`ere uniforme sur tout l’´echantillon. Cela r´eduit le mod`ele `a deux temp´eratures `a une version simplifi´ee n´egligeant la conduction thermique :
Ce(Te) dTe dt = −G(Te)(Te− Ti) + S(t) (7.4) Ci(Ti) dTi dt = G(Te)(Te− Ti) (7.5)