3.3 Validation du modèle thermique 2D
3.3.3 Choix des paramètres du modèle
Dans un premier temps nous avons effectué différentes études paramétriques à l’aide du modèle numérique pour d’une part identifier les paramètres pertinents à utiliser (en particulier les dépendances thermiques) et pour d’autre part trouver un compromis entre le coût numérique du calcul et la précision du résultat en fonction de la définition de certains paramètres de la silice et de la physique mise en jeu. Par souci de visibilité des graphiques, nous conservons pour ces études uniquement trois puissances laser : 3,3 W, 4,3 W et 5,3 W.
Définition de la source de chaleur
Dans un premier temps, trois définitions de source de chaleurQ peuvent être utilisées dans notre modèle thermique :
— Compte tenu de la profondeur de pénétration du rayonnement (une dizaine de microns), le plus simple est tout d’abord de considérer une absorption surfacique.
La source de chaleur Q1 (utilisant une fonction de Dirac, notée δ(z)) est alors modélisée comme un flux de chaleur entrant sur la limite de domaine de calcul :
Q1(r, z) = (1−R)P(t)
πa2 exp −r2 a2
!
δ(z) (3.4)
— Si l’on considère que le dépôt d’énergie s’effectue en profondeur dans la silice, la source de chaleur Q2 est exprimée par la loi de Beer-Lambert :
Q2(r, z) =α(T)(1−R)P(t)
πa2 exp −r2 a2
!
exp (−α(T)z) (3.5) Ici, le coefficient d’absorption α(T) est pris constant dans l’épaisseur de la silice et dépend uniquement de la température à la surface. Il est défini tel que :
α(T) = 4π
λ ni(T) (3.6)
La pénétration du rayonnement, inversement proportionnelle à α(T), vaut 11 µm à 20 °C et 3 µm 2000 °C.
Il serait rigoureux d’utiliser un coefficient d’absorption dépendant également de la position dans la silice car la température décroit avec la profondeur. Cette dépen-dance doit être prise en compte pendant le calcul.
— On définit ainsi : avec fz(z) la distribution de l’intensité le long de l’axez calculée à chaque pas de temps dans le calcul et définie par :
∇fz(z) +α(z, T)fz(z) = 0 (3.8) L’équation 3.8 est résolue numériquement en prenant en compte la distribution de température dans l’échantillon. La figure 3.5 (a) compare les puissances déposées par les sources de chaleur Q2 et Q3 en fonction de la position en r, à z = 0 mm, dans le cas d’un tir de 5,3 W avec un faisceau de 700 µm à t = 1 s. L’encart de (a) est un zoom montrant la différence entre les deux sources, dont une représentation est donnée par (b), en fonction du temps et à r = z = 0 mm. On remarque que la différence (Q2 - Q3) entre les deux définitions est relativement faible (inférieure à 0,5%) et décroit légèrement en fonction du temps d’irradiation.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure3.5 – (a) Puissance déposée en fonction de la position r et en z = 0 mm pour les deux sources de chaleur Q2 et Q3. L’encart est un zoom du tracé. (b) Différence entre Q2
- Q3 en fonction du temps à r = z = 0 mm.
Chaque source a été comparée aux résultats expérimentaux (figure 3.6). Notons que pour ces calculs, nous considérons la conductivité thermiquek1 définie par Combiset al., sans pertes par rayonnement.
On remarque la faible influence de la définition de la source de chaleur sur ces résultats : la différence dans la température finale atteinte entre chaque source est inférieure à 1 %.
Cependant, la source de chaleurQ3, définie comme étant la plus rigoureuse, est celle dont les résultats sont les plus proches de l’expérience. L’utilisation de la source de chaleurQ1 peut être utilisée dans certains cas car elle réduit le temps de calcul et l’approximation est très correcte.
Figure 3.6 – Température au centre calculée pour chaque source de chaleur et pour trois puissances : 3,3 W (lignes rouges), 4,3 W (lignes bleues) et 5,3 W (lignes noire). Les traits en pointillés sont les comparaisons expérimentales. Les calculs sont effectués avec la conductivité thermiquek1, sans pertes par rayonnement.
Conductivité thermique
Dans un second temps, nous avons évalué l’influence de la conductivité thermique.
Pour cela, nous avons calculé la distribution de température de la silice pour les deux conductivités thermiques k1 et k2, introduites dans la partie 3.2.3 de ce chapitre, afin de comparer les résultats aux expériences. Les calculs ont été réalisés pour la source de chaleur Q3, sans pertes par rayonnement. Les résultats au centre de l’échantillon (figure 3.7) montrent un profond désaccord entre les deux conductivités : à la fin du tir laser, et pour chaque puissance, il y a une différence de 150 K entre le calcul et l’expérience dans le cas où l’on utilise la conductivité k2. Ainsi, nous utiliserons la conductivité thermique k1, définie par Combiset al., se rapprochant au mieux des résultats expérimentaux.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure3.7 – Température au centre calculée pour les deux conductivitésk1 etk2 et pour trois puissances : 3.3 W (lignes rouges), 4.3 W (lignes bleues) et 5.3 W (lignes noire). Les traits en pointillés sont les comparaisons expérimentales. Les calculs sont effectués avec la source de chaleurQ3, sans pertes par rayonnement.
Pertes par rayonnement
La dernière validation consiste à étudier l’impact des pertes par rayonnement à la surface de l’échantillon pendant le tir laser. Pour cela, nous avons considéré les mêmes paramètres d’irradiation en prenant en compte, ou non, ces pertes (figure 3.8). Le coeffi-cient d’émissivité de surface utilisé pour 3,3 et 4,3 W est de 0,8 [115]. Pour P = 5,3 W, nous avons fait varier ce coefficient entre 0,76 et 0,84. En effet, dans la gamme de tem-pérature étudiée, l’émissivité varie de 0,8 à 0,84 avec une incertitude de± 0.05 [115]. Le zoom de la figure3.8 montre la faible influence de la variation du facteur d’émissivité : la différence sur la température maximale est inférieure à 0,5 %.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 600
900 1200 1500 1800 2100 2400
Temperature (K)
Temps (s)
P = 5,3W P = 4,3W
WR ε = [0.76,0.82]
WR ε = 0.8 WR
ε = 0.8 P = 3,3W
Figure 3.8 – Température au centre calculée avec et sans pertes par rayonnement et pour trois puissances : 3,3 W (lignes rouges), 4,3 W (lignes bleues) et 5,3 W (lignes noire).
Les calculs sont effectués avec la source de chaleurQ3 et la conductivité thermique k1. Les résultats indiquent que l’influence des pertes par rayonnement augmente avec la puissance : de 1,2 % de différence avec ou sans rayonnement pour 3,3 W jusqu’à 3,8 % pour 5,3 W. Ces pertes doivent être prises en compte afin d’avoir une description précise de l’évolution de la température.
Finalement, la figure 3.9 montre que les simulations sont en meilleur accord avec l’expérience dans le cas où l’on utilise la source de chaleurQ3, la conductivité thermique k1 ainsi qu’en prenant en compte les pertes par radiation à la surface du matériau de silice avec un facteur d’émissité de 0,8. L’écart entre les deux résultats dans le cas d’une puissance laser de 5,3 W est dû à l’éjection de silice pendant le tir laser qui perturbe la mesure expérimentale. Pour des puissances inférieures à 5,3 W, sans éjection de matière, l’écart entre l’expérience et la simulation est inférieur à 1%.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 3.9 – Températures au centre calculées (lignes pleines) comparées aux mesures expérimentales (lignes en pointillées) pour des puissances laser allant de 3,3 W jusqu’à 5,3 W en utilisant la source de chaleur Q3, la conductivité thermique k1 et les pertes par rayonnement avec un facteur d’émissivité de = 0,8.