Choix globaux

∀∀ ∀ (A, B, P) ∈∈∈∈ B, P ∈∈∈∈ {fB, P(A)}, A, P ∈∈∈∈ {fA, P(B)}, A, B ∈∈∈∈ {fA, B(P)}

Nous avons choisi d’attribuer la valeur 1 à cette variable car nous nous attendons à ce que la construction de l'image de la fonction se fasse en termes de trajectoire. Nous croyons que cela pourra se réaliser, tout d'abord, par la résolution de la question n.3, c'est-à-dire par l'identification et la reconstruction de la macro-construction cachée qui est associée à la fonction géométrique donnée à étudier. Nous faisons l'hypothèse que cette tâche s'avèrera plus facile, dans le cas où les images des fonctions à une variable, passent des points déjà présents à l’écran.

En revanche, dans l’activité « Effet2 » nous avons choisi d’attribuer la valeur 0 à cette variable. En fait, ∀∀∀∀ (A, B, P) ∈∈∈∈ la fonction gA, B est telle que la trajectoire du point variable dépendant ne passe pas par les autres points donnés. Cela doit permettre d’éviter aux élèves d’induire que toute fonction géométrique passe nécessairement par des points déjà présents.

5. Présentation des fiches relatives à la première partie

Nous présentons maintenant une analyse a priori approfondie des activités constituant la première partie de la séquence expérimentale. Nous chercherons à mettre en évidence les choix globaux qui ont guidé leur conception, la valeur attribuée aux variables didactiques, les critères liés au savoir à enseigner et l’articulation entre TdS et TMS que chaque question cherche à réaliser.

5.1. Analyse a priori Fiche n°1 « Effet 1 »

5.1.1. Choix globaux

La macro « EFFET1 » implémente dans Cabri une fonction de trois variables : de

dans , étant le plan affine-euclidien. À un triplet de points (A, B, P) du elle

associe un point H=f(A, B, P) du plan qui est la projection orthogonale de sur la droite (A, B). Plus précisément : : ∀ ∀∀ ∀ (A, B, P) ∈∈∈∈ X X \ {(A, A, P)} →→→→

f : (A, B, P) →→→→ H où H ∈∈∈∈ est la projection orthogonale de P sur la droite (A, B).

La situation créée met donc en jeu quatre points variables, les trois points A, B et

P indépendants et le point H dépendant des trois autres38.

Les élèves peuvent faire varier chaque point A, B, et P, et dans tout le plan.

En revanche, quand ils essayent faire de même avec H, ce dernier point ne peut

38 A priori, les élèves ne connaissent pas les fonctions géométriques. Néanmoins, ce choix de trois points variables au lieu d’un seul permet de créer une rupture avec les fonctions éventuellement connues par les élèves. Nous cherchions ainsi à introduire d’abord la notion de variable géométrique sans lien avec ce qui a pu précéder dans le cours de leur scolarité, pour éviter tout recours au numérique qui aurait caché les notions de variable dépendante et indépendante que nous voulions faire appréhender. En outre, il faut avouer qu’il était assez difficile de donner aux élèves une construction géométrique significative avec un seul point de départ, qui joue le rôle de variable indépendante.

être déplacé qu’indirectement par l'intermédiaire d'autres points.

Le choix de faire varier les points A, B et P dans tout le plan est dû à notre souci de faire apparaître par contraste, la trajectoire de H comme contrainte. Les traces des déplacements de A, B et P sont quelconques dans tout le plan, erratiques, alors que celle de H se détache comme une forme bien déterminée, cercle ou ligne droite.

La contrainte instrumentale qui oblige les élèves à bouger un seul point à la fois, mène les élèves à se confronter, en réalité, avec 3 fonctions à une variable, dépendantes de deux paramètres :

∀ ∀ ∀ ∀ A, B, P ∈∈∈∈ avec A ≠≠≠≠ B \ {(B)} →→→→ fB, P: A →→→→ H ∀ ∀ ∀ ∀ A, B, P ∈∈∈∈ avec A ≠≠≠≠ B \ {(A)} →→→→ fA, P: B →→→→ H ∀ ∀ ∀ ∀ A, B, P ∈∈∈∈ avec A ≠≠≠≠ B →→→→ fA, B : P →→→→ H

5.1.2. Question n. 1

Créez trois point A, B, et P. Appliquez la macro inconnue « Effet1 » aux points donnés dans l’ordre A, B et P : un quatrième point apparaît, appelez-le H.

Déplacez tous les points qu'il est possible de déplacer. Observez ce qui bouge et ce qui ne bouge pas. Faites une exploration systématique, c’est-à-dire déplacez un point à la fois et notez sur votre feuille quels sont les points qui bougent et ceux qui ne bougent pas. Résumez dans un tableau les résultats de vos observations.

Point qu’on peut déplace Points qui ne bougent pas Points qui bougent

La question 1 vise à guider l'élève tout au cours d'une exploration systématique des comportements différents des points impliqués. Elle permet l'activation et une première exploitation du potentiel sémiotique de l’IMS Déplacement (direct et

indirect).

Même si elle se base sur la rétroaction forte de Cabri, qui ne permet pas de bouger directement le point dépendant, cette question n'est pas problématique pour les élèves : en fait, nous n'avons pas, par exemple, demandé aux élèves de conjecturer le comportement des points dans Cabri et puis de le vérifier. En revanche, en proposant de remplir ce tableau, nous avons guidé les élèves vers une analyse systématique. Cette question donc ne relève pas de la TdS mais plutôt de la TMS : la tâche à remplir n’est pas nécessairement source de déséquilibres ; en revanche elle exige une prise de conscience par rapport à l’action simple de bouger. Nous avons donc organisé un milieu riche susceptible de fonctionner comme un « amplificateur visuel et perceptif » afin de permettre la mise en lumière de la dissymétrie profonde qui existe entre les variables indépendantes et la variable dépendante (critère VII). D'une part, le domaine de chaque point, variable

indépendante, est constitué par tout le plan (moins un point) tandis que l’ensemble

image émerge clairement comme un sous-ensemble de ce dernier, ayant une forme bien précise, d'autre part, les élèves peuvent bouger directement les points variable indépendante tandis que, le point variable dépendante ne peut être déplacé qu’indirectement.

activité, est justement celui d’exploiter cette dissymétrie perceptive, en fondant sur elle une première définition de variable indépendante et dépendante.

Figure 4.3 - L’utilisateur peut bouger librement, par la souris, le point, variable indépendante, A partout dans l’écran de Cabri (trace rouge). En revanche, le point, variable

dépendante, H, peut être déplacé seulement indirectement, en bougeant le point A, dont H dépend. En particulier, en observant la trace violette, on peut remarquer que H se déplace sur

un cercle.

L’on peut voir ici un exemple au niveau « micro » de l'articulation entre la TdS et la TMS : les élèves sont confrontés à un milieu organisé et riche, dont nous avons prévu certaines rétroactions, cependant la raison d'être didactique de l’activité est à rechercher ailleurs, elle est dans l'utilisation que l'enseignante va faire de ces rétroactions lors de la discussion collective subséquente.

Cette première question permet de confronter les élèves non seulement à un certain changement (les points bougent et changent leur position) et une certaine régularité (le comportement de ces points n’est pas aléatoire mais déterminé) (critère I et II). Elle conduit aussi à centrer l’attention de élèves sur la nature de ce changement simultané et conditionné (critère VI) et sur le rôle de ce qui bouge et change, c'est-à-dire des variables (critère V).

5.1.3. Question n. 2

Si on veut voir plus précisément comment un point se déplace, on peut utiliser l'outil « Trace ». Activez l'outil "Trace" pour les différents points à l’écran et observez ce qui passe ; utilisez des couleurs différentes pour des points différents. Pouvez-vous décrire en utilisant le vocabulaire géométrique habituel la trajectoire des différents points suivant le choix des points déplacés ? Notez vos réponses dans le cadre ci-dessous.

! Bien noter : Pour qu'un point laisse sa trace dans le mouvement, sélectionner l'outil Trace, cliquer sur le point. La combinaison Contrôle F permet d'effacer les traces de l'écran. Pour désactiver la trace d'un point (c'est-à-dire pour que le point ne laisse plus sa trace), sélectionner Trace et cliquer sur le point. L'outil Trace fonctionne comme une bascule.

Après la première question, la deuxième question vise à développer d’avantage l’exploration des régularités inhérentes la situation donnée (critère II) et la nature du

lien entre points variables indépendantes et dépendante (critère V).

La demande, de décrire géométriquement la trajectoire des points différents, répond à l'exigence d'opérer un passage du seul constat perceptif d'une trace laissée sur l'écran à une formulation en termes géométriques. Elle vise aussi à faciliter la construction chez les élèves du double signifié de trajectoire (critère XI) à la fois « suite des positions d'un point qui bouge » et « ensemble des points ».

En outre, en guidant les élèves dans la mise en place des S(S)U relatifs à l’outil

Trace, cette question vise à mobiliser les différents IMS qui lui sont associés.

Cette question, donc, avec la question qui suit, ouvre aussi la possibilité d’un travail conséquent sur les signifiés de domaine et d’image : ce sera justement un des objectifs de la discussion collective consécutive.

5.1.4. Question n. 3

Dans la même fenêtre, créez trois points A', B' et P'. Construire vous-mêmes le point H' qui serait fourni par la macro-construction « Effet1 » mais sans utiliser la macro. Il s'agit pour vous de retrouver comment H est construit à partir des points A, B et P.

3a) Enregistrez votre fichier sous le nom H' suivi de vos prénoms.

3b) Quand vous avez construit H', vérifiez votre construction en appliquant la macro F aux points A', B' et P'.

3c) Décrivez ici la construction de H'

Pour résoudre la troisième question, il est préalablement nécessaire aux élèves de reconnaître le point H comme appartenant simultanément à deux trajectoires différentes. Ce constat peut, rester pourtant, encore au niveau du registre spatial.

Figure 4.4 - Le point, variable dépendante, H appartient à la fois aux cercles de diamètre [A, P] et [B, P] et la droite (A, B).

Ensuite, puisque la trace est éphémère, pour pouvoir reconstruire H, les élèves doivent reconnaître dans ces mêmes trajectoires des figures géométriques connues et doivent mobiliser leurs connaissances à propos de leur constructibilité. Le passage au registre géométrique s’avère alors indispensable.

Les connaissances géométriques exigées dans la résolution de cette tâche et qui émergent comme outil de solution de ce problème ne sont pas nouvelles, elles ne sont donc pas en cause en tant que connaissances visées. Pour reconstruire eux-mêmes la macro cachée, les élèves doivent en fait remarquer que le point variable dépendante appartient à la fois aux cercles de diamètre [A, P] et [B, P] et la droite

(A, B). Etant donnés les trois points initiaux A, B et P, il suffit alors de construire H’ comme intersection de deux de ces figures.

En revanche, la question 3 est là pour préparer la discussion collective suivante. En effet, elle vise à mettre en jeu le signifié d’ensemble image d’une fonction géométrique comme trajectoire (critères IV et XI).

L’on peut voir ici comment une analyse conceptuelle, issue de la TdS et relative aux connaissances en jeu dans la tâche (qui montre par exemple que les connaissances géométriques outils de solution de ce problème ne sont pas en cause) peut s’articuler avec les objectifs propres au processus de médiation sémiotique. En fait, à nouveau, cette activité est justement là pour récupérer les signifiés de construction géométrique déjà élaborés (dans le contexte géométrique en relation aux figures et propriétés géométriques) pour le faire fonctionner dans l’élaboration des signifiés de fonction comme macro/construction et créer ainsi le substrat sur lequel développer la construction de signifiés de domaine et image, lors de la discussion consécutive.

Cette articulation à niveau micro entre TMS et TdS et identifiable aussi en ce qui concerne les sous-questions 3b et 3c. La sous-question 3c vise à activer le potentiel sémiotique des IMS Macro1 et Trace2. De ce point de vue, elle tient à la TMS. En revanche, la question 3b, qui demande de vérifier si la construction nouvelle coïncide avec la construction faite par la macro "Effet1", a comme objectif de faire rechercher une validation par rapport aux rétroactions du milieu. Elle tient donc de la TdS.

5.1.5. Question n. 4

D’après votre construction à la question 3, est-ce qu’il y a, selon vous, des positions, des points A, B et P, pour lesquelles le point H n’apparaît pas ? Vérifiez dans Cabri et justifiez votre réponse.

Dans la question 4, nous demandons aux élèves d'anticiper d'après leur construction, s’il y a des positions de A, B et P par rapport auxquelles H n'apparaît pas. Il s'agit de repérer par raisonnement quand la construction de H’ n'est pas univoque ou non définie. La vérification à faire dans Cabri est, à nouveau, une validation par rapport au milieu matériel. De ce point de vue la question relève de la TdS. Cependant, le sens de cette question est à rechercher dans la TMS, car elle est ici posée en raison de ses potentialités sémiotiques lors du processus de médiation sémiotique à mettre en place au moment de la discussion consécutive : les positions différentes par rapport auxquelles H' existe ou n’existe pas seront re-interprétées en termes de domaine d'une fonction et de conditions d'existence sur ce domaine (critère IV).

5.1.6. Question n. 5

Comment déplacer P pour que le point H ne bouge pas ? Utilisez l'outil Trace pour vous aider.

Décrivez ci-dessous ce que vous avez fait et obtenu.

La question 5 ne problématise pas vraiment le fait qu'il existe des positions de P pour lesquelles H ne bouge pas : déjà sa formulation semble suggérer un tel constat. En revanche, ce qui est problématique pour les élèves est l'identification des moyens par lesquels obtenir que H reste effectivement immobile. En outre, pour passer d’une pure conjecture sur la trajectoire de P à suivre, à une certitude expérimentale, il est nécessaire de chercher une validation par Cabri. Il faut concevoir la trajectoire de P comme une droite, la construire, éventuellement activer l’outil « Redéfinition d'un

objet » et vérifier par la rétroaction de Cabri, que H ne bouge effectivement pas (Figure 4.5). Cette tâche permet l’entrée dans un milieu adidactique organisé au sens de la TdS.

Cependant, l’objectif principal de cette activité réside dans la possibilité, lors de sa re-visitation pendant la discussion collective consécutive, de travailler sur les signifiés de domaine, d'image (critère IV), de fonction, non surjective, non injective (plusieurs points ont la même image), voire constante (critère III), et du double statut de la trajectoire (critère XI). Nous voyons donc, à nouveau, que des connaissances construites en interaction avec le milieu serviront comme éléments sur lesquels bâtir la discussion consécutive. Cette question donc relève autant de la TdS que de la TMS.

Figure 4.5 – En déplaçant P, perpendiculairement à la droite (AB) les élèves peuvent remarquer que H ne bous pas

5.1.7. Question n. 6

6a) Dans une partie vide de l’écran, créez un point O. En déplaçant P, est-il possible de conduire H en O?

6b) Et si vous changez la position de O, est-il encore possible et/ou impossible ? Quelles sont les conditions que O doit satisfaire pour que cela soit possible?

Décrivez ci-dessous comment avez vous mené votre exploration et justifiez vos réponses.

La question 6 vise à renforcer l'utilisation des IMS Déplacement et, éventuellement par évocation, Trace. Elle se pose comme objectif de fournir un milieu organisé et riche susceptible, lors de la discussion collective suivante, de fournir des éléments d’approfondissement des signifiés d'image ponctuelle et de antécédent (critère IV). La contrainte, posée par Cabri à la trajectoire de H, peut être vécue comme une rétroaction du milieu, qui oblige les élèves, s'ils ne l'ont pas déjà fait, à concevoir en termes globaux la trajectoire de H, à focaliser l'attention sur la dépendance de H par rapport à P et à considérer la co-variation de ces deux variables. En effet39, prendre conscience qu’il existe une relation fonctionnelle entre P et H ne se réduit pas simplement à constater que H bouge lorsqu’on déplace P. Il faut aussi observer qu’à chaque fois que l’on déplace P d’une certaine manière, H se déplace de la même façon (fonction déterministe) et que le mouvement de H se

commande par le mouvement de P. La question posée vise alors à mettre les élèves

dans une situation où cette observation puisse se transformer en connaissance. La

résolution complète de la question 6b permettra donc d’approfondir ultérieurement le rôle asymétrique des variables indép et dép et la nature du lien entre ces deux types de variables (critères V et VII).

En outre, pour répondre à la question et anticiper si et dans quelles conditions la trajectoire de H passe par O, les élèves sont obligés à un changement de focalisation : la question porte sur l'image ponctuelle, tandis que, pour répondre, il faut se référer à l'ensemble image. La aussi l’on joue sur le double rôle de la trajectoire (critère XI).

A nouveau, dans cette question l’on peut observer l’apport intégré (prévu a priori), d’une part, du milieu (TdS) organisé afin de fournir des rétroactions et de validations opportunes et susceptible de provoquer la construction de certaines connaissances, d’autre part, de la discussion collective (TMS) consécutive, censée, grâce à l’action de l’enseignante, de promouvoir la genèse des signifiés mathématiques d’image et de antécédent.