Analyse a priori de la Fiche n°8 « La ficelle élastique, première partie »

9.1.1. Question 1

1a) Représentez dans Cabri la situiation suivante:

- soient t et v deux tiges verticales parallèles, auxquels ils sont greffés deux anneaux C et D par deux systèmes de fixation, qui permettent d’en changer la position sur la tige verticale; - au dessous de ces anneaux, considérez une tige horizontale comprise entre t et v dont les extrémités sur les tiges t et v s’appellent A et B ;

- soit P un anneau, compris entre A et B et greffé sur la tige horizontale par le même système de fixation qui permet d’en changer la position ;

- soit CPD la ficelle élastique ayant ses extrémités en C et D et passant par l’anneau P. 1b) Enregistrez votre construction avec le nom « FicelleElastique » suivi par vos prénoms.

Cette situation constitue une réécriture d’une activité assez classique. Cependant, le fait de ne pas donner la construction dejà faite, mais de demander aux élèves de la modéliser eux-mêmes dans Cabri, impose de prendre des décisions :

choisir d’approximer les différents anneaux par des points ou par des petits

représenter les tiges par des segments (ayant ou non la même longueur) ou par des droites ;

choisir de placer les anneaux C et D à la même hauteur au non.

Lors de la résolution de la tâche et avant de procéder au reste de l’activité, l’ensiegnant mettra en parallèle les différentes modélisation fournies et demandera de choisir collectivement celle qui se presente comme la plus possible simple. En particulier, elle demandera à la classe de préférer la construction qui approxime les anneaux par des points. Sinon il se pose aux élèves le probleme de gérer la dimension des rayons des petits cercle et de choisr quels points de ces cercles sont à considérer comme les extrémités de la ficelle élastique.

Nous ne rentrerons pas dans la problématique vaste des la modélisation, même si nous estimons que ce travail de modélisation soit suffisamment abordable par les élèves. Nous voulons seulement souligner que nous considérons ce type de tâches comme fondamental pour la construction et l’approfondissement du signifié de graphe de fonction. En outre, nous considérons imporant de poser la le problème de comment élaborer une représentation graphique qui découle directement du phénomène à représenter et non pas indirectement de la relation algébrique donnée. formule

9.1.2. Question 2

2a) Dans Cabri, calculez la longueur de la ficelle CPD. Faites bouger l’anneau P sur la tige horizontale et observez comme varie la longueur de la ficelle CPD.

Soit f la fonction qui associe à la longueur de [AP], la longueur de ficelle CPD correspondante.

2b) S’agit-il d’une fonction géométrique numérique ou mixte? 2c) Quel est le domanie de la fonction f ?

Pour calculer la longueur de la ficelle dans Cabri, il faut activer l’outil « Calculatrice » et sommer les longueurs des segments [CP] et [PD]. Cet outil appelle les deux nombres indiqués pour le calcul, « a » et « b ». Il comporte donc una matérialisation ultérieure du signifié de variable et une complexification du réseua sémiotique.

Les questions 2b) et 2c) sont des questions de renforce, puisque les élèves ont déjà rencontré un certain nombre de fonctions numériques, géométriques ou mixtes. Cependant elles sont utiles pour tester si la réponse sur le type de fonction en jeu est une réponse dictée par un effet du contrat. En effet, l’énoncé semplerait indiquer une fonction géométrique, tandis qu’il s’agit d’une fonction numérique. En outre, ces questions permettent d’aborder de manière explicite, lors dela discussion collective successive, sur le statut de la mesure qui est une autre fonction mixte, soujacente à la fonction f, et qui permet d’associer au segment [AP] sa longueur, c’est-à-dire un nombre. Ces questions sont donc conçues en fonction de la TMS.

9.1.3. Question 3

3a) En utilisant la méthode d’Euler, représentez dans Cabri, le graphe de la fonction f. 3b) Enregistrez votre graphe avec le nom « GrapheFicelle » suivi par vos prénoms.

3b) Décrivez en détail comment avez vous appliqué dans Cabri la méthode d’Euler pour la construction du graphe de la fonction f.

La question 3 ne propose pas de repère a priori. Pour construire le graphe selon la méthode d’Euler de la fonction f, les élèves sont ainsi libres soit de choisir de superposer l’axe des abscisses à la tige horizontale et de considérer le point A comme l’origine du repère, soit de construire le graphe à côté de la situation

modélisée. Cette activité présente donc des différences substantielles par rapport à l’activité précédente (fiche n°7) (cf. Chapitre 4, § 8.3) :

la fonction numérique n’est pas donnée a priori et les élèves doivent par eux-mêmes la reconstruire à partir d’une situation modélisée dans Cabri ;

les élèves doivent décider où et comment construire le repère du graphe de

la fonction (qui, rappelons, dans la méthode d’Euler se réduit au seul axe horizontal) ;

ils peuvent devoir gérer deux niveaux de dépendance fonctionnelle

différents. S’ils choisissent de construire le graphe de f à côté de la situation modélisée, ils doivent, d’abord, reporter la mesure de [AP] sur l’axe des abscisses. De telle façon, que non seulement la variable dépendante (c’est-à-dire la somme des mesures de [CP] et [PD] reportée sur le segment perpendiculaire en P à l’axe des abscisses) soit déplaçable indirectement, mais aussi la variable indépendante. Ainsi, pour obtenir la variation de la variable indépendante représentée sur le graphe, on ne peut pas agir directement sur le graphe mais il faut déplacer le point P, qui est à l’extérieur du graphe et dont le point sur le graphe dépend. Nous pouvons ainsi associer au déplacement indirect deux signifiés potentiels : la dépendance du graphe de la situation représentée et la dépendance de la variable dépendante de la variable indépendante. Il sera intéressant d’observer comment les élèves gèrent ces deux niveaux lors de la construction et puis de l’interprétation du graphe.

En fin, il faut observer que, dans Cabri il y aurait la possibilité de partir d’un point P de l’axe Ax, de reporter la longueur [AP] sur la tige horizontale [AB], d’obtenir un point P’, de reconstruire [P’C] et [P’D], d’en considérer la somme des longueurs et de reporter cette somme à nouveau sur la perpendiculaire par P à l’axe Ax.

Cette dernière stratégie résolutive permet d’obtenir la variation de variable indépendante par déplacement direct du point P. Cependant, nous estimons qu’il soit très rare l’éventualité que des élèves, qui sont en train de modéliser une situation par un graphe de fonction pour la première fois, fassent recours à cette dernière solution.

Figure 4.13 - En bougeant P sur le segment [AB], le point P’ bouge sur l’axe des abscisses et, en même temps, le point M décrit une trajectoire, qui correspond au graphe de la fonction

numérique associée

Ce choix de difficulté pour la variable indépendante fait partie du problème de la modélisation, c’est-à-dire du passage de la situation pseudo-concrète à la

représentation géométrique et à la représentation graphique46. Nous aurons pu

donner directement la situation modélisée dans Cabri et demander de construire le graphe de la fonction. Cependant cela aurait pu finalement empêcher aux élèves de rentrer dans la problématique de la modélisation, que nous considérons fondamentale dans la construction du signifié de graphe de fonction.

Cette question est conçue en fonction de la discussion collective consécutive, c’est-à-dire selon la perspective de la TMS. Il n’y a pas de milieu problématique susceptible de rétroagir et d’(in)valider leurs réponses.

9.1.4. Question 4

En observant l’allure du graphe, saurez vous dire s’il existe une position de P pour laquelle la ficelle a longueur minimale ? Caractérisez cette position.

Cette question est susceptible de mobiliser et le signifié de graphe comme trajectoire du point M, introduit lors de l’activité précédente, et de vérifier donc si ce signifié a été internalisé. En fait, pour répondre à la question 4, c'est-à-dire pour identifier la présence d’un point minimum éventuel, le recours aux instruments

Déplacement (direct et indirect) et Trace2 s'avère indispensable. En outre, la

résolution nécessite que les élèves reconnaissent, dans la méthode d’Euler, une fonction géométrique dont on obtient l’image grâce à la trajectoire de M, obtenue

46 La dernière stratégie résolutive évoquée, celle que nous n’attendons pas des élèves, constituerait ainsi le « symétrique » des autres solutions attendues. En fait, les premières solutions opèrent le passage de la représentation géométrique à la représentation graphique, celle-ci implémente le contraire, c’est-à-dire le passage de la représentation graphique à représentation géométrique.

dans Cabri par Déplacement et Trace2. Ils s’agit donc de coordonner plusieurs informations : ils doivent déplacer le point P sur la tige, qui produit le déplacement de la variable indépendante, P’, sur le graphe et, de manière simultanée, le déplacement du point M. En même temps ils doivent observer la variation de la longueur du segment [P’M], et remarquer si et sous quelles conditions elle est minimale.

Cette première question sur le minimum permet aussi d’aborder pour la première fois du point de vue du graphe, la question des régularités et des changements (critère I) inhérentes à un phénomène modélisé par une fonction : le graphe s’avère ici comme un outil efficace d’investigation de ces régularités.

9.1.5. Question 5

5a) Existe –t--il des positions différentes de P, pour lesquelles la longueur de la ficelle est la même ? Si, oui, comme faites-vous pour le voir ? Sinon, pourqoui ?

5b) Comment est-il possible d’observer une telle possibilité sur le graphe ? 5c) Quel est l’ensemble image de la fonction f ?

5d) Comment est-il possible de l’observer sur le graphe ?

La cinquième question porte encore sur l’observation et l’interprétation du graphe. Il s’agit à nouveau de questions données dans la perspective du processus de médiation sémiotique guidé par l’enseignante lors de la discussion collective associée. En revanche, il n’y a pas de milieu problématique susceptible de rétroagir et d’(in)valider leurs réponses. Il s’agit de relier les informations lisibles sur le graphe, à la fois, avec le comportement de la fonction représentée et avec le comportement de la ficelle, modélisé dans Cabri. Les élèves peuvent répondre à la question 5a) simplement en observant la variation du nombre affiché par la Calculatrice de Cabri et qui représente la somme des longueurs de [CP] et [PD], c’est-à-dire, simplement en restant dans le registre numérique. Pour cette raison, la question 5b) oblige le recours au registre graphique et l’articulation entre ces deux registres (critère X).

La question 5c) n’est pas simple à résoudre et est conçue en fonction de la discussion collective consécutive. Elle vise d’une part à soutenir l’articulation de registres différents (critère X), d’autre part à bien focaliser l’attention sur les deux différentes fonctions impliquées dans la méthode d’Euler. En fait, l’image de la fonction f est lisible à nouveau et dans le registre numérique (en observant comment le résultat de la « Calculatrice » varie à l’écran) et dans le registre graphique (en remarquant la variation de la longueur du segment [P’M]), où l’absence du deuxième axe (celui des ordonnées) rend plus difficile la tâche. En autre cette image est constituée par un ensemble numérique tandis que la trajectoire de M correspond à l’image de la fonction géométrique associée. Cette distinction, très importante, nécessite d’être travaillée et discutée ensemble lors de la discussion collective consécutive.

9.2. Analyse a priori de la Fiche n°9 « La ficelle élastique,