Analyse a priori Fiche n°4 « Un rectangle biza rre »

6.1.1. Choix globaux

La situation met en jeu un rectangle doué d’une propriété particulière initialement inconnue aux élèves. Nous demandons d’explorer la situation donnée, en identifiant cette propriété.

A la différence des situations proposées lors de la première partie de la séquence expérimentale, afin de modifier la figure donnée, les élèves ne peuvent pas bouger directement les points qui constituent le rectangle, mais doivent changer les nombres initiaux donnés, correspondant respectivement, à la mesure de la longueur d’un côté du rectangle et à la mesure du demi périmètre.

Figure 4.8 - Voila ce qui apparaît à l’écran lors de l’ouverture du ficher donné aux élèves, au début de la séance

L’objectif principal de cette activité est donc de permettre le passage aux fonctions numériques. Il s’agit de construire et d’approfondir des correspondances sémiotiques entre les fonctions géométriques et les fonctions numériques dans Cabri ; de retrouver les signifiés de variable indépendante, dépendante, domaine, image et paramètre, sous une nouvelle forme. Dans le premier type de fonction, en fait, les variables sont généralement des points, le domaine et l’image une région du plan et la variabilité peut être saisie, dans Cabri, en termes de mouvement. En revanche, dans le deuxième type de fonction proposé, les variables sont des nombres, le domaine et l’image, un ensemble de nombres, et la variabilité est représentée dans Cabri par une variation des nombres dans une fenêtre douée de flèches.

6.1.2. Question 1

1a) Ouvrez le ficher de Cabri "UnRectangleBizarre.fig".

Explorez la situation donnée, en tenat en compte que les nombres initiaux 13 et 7, appelés respectivement s et l, représentent des mesures et que, par cela, doivent être considérés pris positifs ou nuls!

Quelle est la propriété géométrique cachée qui a été utilisée pour construire le rectangle APQR?

Les élèves n’ont jamais rencontré de fonctions numériques dans Cabri. Face au rectangle donné, nous nous attendons à ce que leur première réaction soit celle d’essayer de bouger directement les points donnés. Seulement dans un deuxième temps, le fait que toute la figure résiste et apparaisse figée, permettra de les amener à rechercher une manière différente de la modifier par une action sur les nombres correspondants. Si cela ne se produit pas, pour éviter tout blocage, nous nous attendons à ce que ce soit à l’enseignante de suggérer de prendre en compte ces nombres. Le « nota bene » en gras sur la nature des nombres à l’écran, peut aussi suggérer aux élèves que ceux-ci sont modifiables.

Il faut rappeler que, dans Cabri, pour pouvoir changer un nombre donné, il est nécessaire de se positionner avec le curseur sur le nombre et puis de double-cliquer : une fenêtre apparaît, avec sur le côté droit, deux petites flèches (nous avons appelé cet outil « Fenêtre des nombres »). L’on peut alors modifier le nombre soit en introduisant une valeur différente à l’intérieur de la fenêtre, soit en agissant sur les deux flèches (par incrément ou le décrément respectifs d’une unité de la valeur affichée). En outre, si l’on veut modifier le pas de l’incrément, dans Cabri, et par exemple, augmenter le nombre donné de 0,1 unités, il faut modifier l’écriture du nombre donné, en affichant aussi, par exemple, son premier chiffre décimal, et puis agir, à nouveau, sur l’une des deux petites flèches.

Figure 4.9 - Voici la fenêtre du nombre 13, telle comme elle apparaît aux élèves dès qu’ils y cliquent dessus

La « fenêtre des nombres » constitue un instrument de médiation sémiotique différent des ceux déjà rencontrés par les élèves et utile pour l’introduction du nouveau signe de variable numérique. En effet, elle conduit à saisir, dans Cabri, la variabilité d’une variable numérique donnée au sein d’un ensemble numérique particulier ; dans ce cas-ci, il s’agit de choisir les deux nombres, l et s, positifs avec

l<s. Dans notre expérimentation, cet instrument est mis étroitement en relation avec

le Déplacement. En fait, les élèves sont amenés à associer directement ces deux instruments : faire varier les nombres dans la fenêtre se présente comme une manière différente de bouger les points. Nous nous attendons ainsi à ce que la métaphore fondamentale du mouvement liée aux fonctions géométriques, puisse être récupérée et réinvestie aussi dans les fonctions numériques. Nous nous attendons aussi à ce que les deux signifiés de variable géométrique et de variable numérique puissent confluer dans le signifié général et plus complexe de variable tout court.

6.1.3. Question 2

2a) Y-a-t-il des « objets » que vous pouvez considérer comme des variables indépendantes ? Si, non, pourquoi ? Si oui, lesquels ?

2b) Y-a-t-il des « objets » que vous pouvez considérer comme des variables dépendantes ? Si, non, pourquoi ? Si oui, lesquels ?

2c) Quelles fonctions pouvez-vous définir ?

2d) Enregistrez votre construction avec le nom RECT suivi par vos prénoms.

La deuxième question demande aux élèves d’établir un premier niveau de correspondance sémiotiques : d’une part, ils doivent identifier dans les nombres affichés à l’écran, qu’ils peuvent modifier, des variables indépendantes et de paramètres, d’autres part, dans d’autres nombres (ainsi que dans les points correspondants), affichés par les élèves eux-mêmes, modifiés indirectement, les variables dépendantes. En se fondant sur ce qui change et ce qui ne change pas (critère V), sur le changement conditionné d’une variable par rapport à l’autre

(critère VI) et sur la dissymétrie entre variable indépendante et dépendante (critère

VII), les élèves doivent donc réinterpréter les signifiés de variation, de variable et, par

conséquent, de fonction, pour l’étendre au cas des fonctions numériques.

La question 2c) focalise l’attention des élèves sur la pluralité et la nature différentes des objets en jeu. Nous nous attendons à ce que les élèves identifient et indiquent des fonctions purement numériques (comme celles qui à l ou s associent le périmètre ou le demi-périmètre du rectangle), et des fonctions « mixtes », c’est-à-dire en partie numériques et partie géométriques (comme celles qui à l ou s associent respectivement les segments [AP] ou [AM], ou qui aux segments [AP] et [AM], associent le périmètre ou le demi-périmètre du rectangle).

Dans tout les cas il s’agit de questions ouvertes, à discuter lors de la discussion collective correspondante. Nous faisons l’hypothèse que les échanges dialogiques entre binômes et les réponses écrites permettent une structuration et une explicitation des signifiés personnels élaborés et peuvent constituer le fondement sur lequel bâtir les signifiés mathématiques culturels visés.

6.1.4. Question 3

3a) En vous aidant avec les outils de Cabri, complétez le tableau suivant : reportez pour des valeurs déterminées choisies pour la mesure de la longueur de [AP]41, les valeurs correspondants de l’aire du rectangle APQR.

Longueur de [AP] Aire rectangle APQR

3b) Observez le tableau que vous avez construit, qu’est-ce que pouvez-vous dire de l’aire du rectangle APQR lorsque la longueur de [AP] varie de 0 à la longueur de [AM] ?

La question 3a) vise à l’introduction d’une fonction numérique précise : celle qui à la mesure du segment [AP], associe l’aire du rectangle APQR. En outre, elle permet d’introduire un certain type de représentation d’une fonction numérique : celle par le tableau de valeurs.

En revanche, la question 3b) permet d’introduire le problème des propriétés et des limites de ce type de représentation. En fait, d’une part, par l’observation du tableau, les élèves peuvent se rendre compte de la symétrie de la fonction représentée : en augmentant la mesure du segment [AP], l’aire associée augmente puis diminue de façon symétrique. D’autre part, nous nous attendons à que les élèves choisissent, au moins au début, d’augmenter la mesure du segment [AP], à chaque pas, d’une unité. Ainsi, ce type de représentation ne permettrait pas d’identifier la valeur de la variable correspondant au maximum ; au contraire, l’aire semble augmenter, puis se stabiliser autour d’une valeur (42 cm² pour la longueur de [AP] égale à 6 et à 7) et, enfin, diminuer.

41 Pour abréger, lors de cette rédaction, nous utiliserons simplement « longueur de [AP] » au lieu de « mesure de la longueur de [AP] ». En revanche, l’enseignant prêtera beaucoup d’attention à souligner, au moins au début, cette distinction.

6.1.5. Question 4

4a) Soit l la longueur du segment [AP] et soit s la longueur du segment [AM], exprimez par une formule, l’aire du rectangle APQR.

4b) Est-il possible de considérer l’aire du rectangle APQR comme une fonction ? Si oui, quelle pourrait être sa définition ? Si no, pourquoi ?

La question 4 permet d’aborder un nouveau type de représentation d’une fonction numérique : celle obtenue au moyen de l’écriture algébrique.

Ainsi, nous nous attendons à ce que, lors de la discussion relative, par l’analyse des cas-limites, l’enseignante puisse mettre en évidence des propriétés de ce type de représentation : par exemple, elle peut montrer que, en observant l’expression algébrique Aire(APQR)= l*(s-l), il devient évident que l’aire s’annule, non seulement pour l=0, mais aussi pour l=s.

En particulier, la question 4b) requiert des élèves de réinvestir et expliciter ce qu’ils ont compris des fonctions, en le mettant en œuvre, pour la première fois, sur une fonction numérique particulière. En fait, non seulement ils doivent expliciter comment il est possible de considérer l’aire comme une fonction, mais aussi, en demandant quelle pourrait être la définition d’une telle fonction, ils doivent exhiber tous les éléments retenus nécessaires pour l’identifier.

Comme dans le cas des autres questions posées, cette dernière est conçue de manière assez ouverte, afin de fournir des éléments de discussion lors du moment de bilan collectif.

7. Troisième partie

La troisième partie est constituée exclusivement de discussions collectives qui s’articulent autour des cinq questions principales :

1. donner une définition de fonctions équivalentes 2. donner une définition de fonction géométrique

3. donner une définition de fonction géométrique à une seule variable indépendante

4. donner une définition de fonction numérique

5. donner une définition de fonction numérique à une seule variable indépendante

L’enseignante pose ces questions, en demandant d’abord d’y réfléchir à la maison et d’écrire un rapport individuel. Ensuite elle demande aux élèves d’en discuter et de trouver une position commune et partagée.

Les trois premières questions sont posées après les deux premières activités et sont reprises après la troisième activité de la première partie. Les deux autres questions se situent après la deuxième partie, c’est-à-dire après l’introduction des fonctions numériques.

En particulier, la première question est posée dans le but de susciter l’exigence chez les élèves de définir par eux-mêmes les fonctions géométriques. En fait, pour convenir sur ce qu’on doit pouvoir considérer comme fonctions équivalentes, il faut d’abord se mettre d’accord sur ce qu’on considère comme fonction. Dans le cas où cette nécessité ne se manifeste pas, l’enseignante peut soulever directement la deuxième question.

L’objectif final donné aux élèves est celui d’élaborer et de raffiner une définition de fonction, qui peut trouver une forme stable par un consensus de la classe entière,

mais qui peut aussi être revisitée et ajustée tout au long de séquence expérimentale, lorsque les élèves en envisagent l’opportunité.

Le travail d’élaboration d’une définition est un travail proprement sémiotique : il s’agit d’expliciter les signifiés personnels élaborés au cours des activités et de produire des signes susceptibles d’être accueillis, partagés, modifiés et puis acceptés collectivement. Ce type de travail est propre à toute discussion mathématique, non seulement à celles qui ont par objectif de parvenir à une définition socialement partagée et mathématiquement consistante. Cependant ce travail acquiert, lors de la production d’une définition, une importance particulière, liée au statut culturel que ce type d’énoncé revêt à la fois dans le contexte scolaire, dans la perception des élèves et dans les mathématiques. Etant donné l’ampleur de notre expérimentation, nous n’approfondirons pas l’analyse a priori de cette deuxième partie de l’expérimentation. D’une part, ce choix est dû au fait que nous avons décidé de centrer notre attention sur d’autres types de discussions collectives, qui portent sur le début du processus de médiation sémiotique déclanché par deux médiateurs sémiotiques, Cabri et le texte d’Euler. D’autre part, cette partie présente des singularités importantes liées à l’activité de construction de définitions en mathématique et mérite l’approfondissement de problématiques spécifiques, qui ne trouvent pas un espace suffisant dans cette thèse. Néanmoins, en ce qui concerne l’analyse a priori de cette partie, nous estimons que la méthodologie d’analyse développée pour les deux autres discussions collectives pourra constituer une base adéquate sur laquelle développer une analyse appropriée.