Choix m´ ethodologiques

Au d´ebut de ce chapitre, nous avons d´ecrit les processus physiques conduisant aux m´elanges des donn´ees hyperspectrales. Ce m´elange est mod´elis´e par un mod`ele lin´eaire instantan´e (une justification pr´ecise de ce choix est disponible le chapitre 2 de [13]). La r´esolution du probl`eme mal pos´e de SAS passe par l’ajout d’hypoth`eses sp´ecifiques (ind´ependance des

sources, non n´egativit´e, parcimonie...) conduisant aux diff´erentes classes de m´ethodes de SAS. Nous ´etudions ces diff´erentes hypoth`eses pour les donn´ees consid´er´ees ici, ce qui nous permet de fixer le choix du mod`ele spectral ou spatial.

2.6.2.1 Classe de m´ethodes

Les m´ethodes bas´ees sur l’ICA n´ecessitent l’ind´ependance statistique des sources. Consid´e- rons tout d’abord le mod`ele de m´elange de sources spectrales Eq. (2.10). Les donn´ees IRS- Spitzer pr´esentent une forte corr´elation des sources spectrales due `a la nature chimique tr`es proche des diff´erentes populations de poussi`ere nomm´ees PAH+_{, PAH}0 _{et VSG (voir [16]}

pour plus de d´etails). Les donn´ees HIFI-Herschel pr´esentent ´egalement une forte corr´elation des sources spectrales due au fait que l’on observe une unique raie d’´emission, l’´etalement et le d´ecalage Doppler de cette raie ´etant recouvrante d’une source `a l’autre.

On consid`ere maintenant le mod`ele de m´elange de sources spatiales Eq. (2.11). Les donn´ees IRS-Spitzer dans cette configuration pr´esentent ´egalement une forte corr´elation des sources spatiales. La r´epartition des diff´erents grains de poussi`eres est directement li´ee `a l’intensit´e du rayonnement UV, et donc `a la distance `a l’´etoile (stratification du nuage de gaz). Ainsi les PAH+ _{sont abondants pr`es de l’´etoile et `a mesure que la distance `a l’´etoile augmente, on}

observe une augmentation progressive de l’abondance des PAH0 _{et une diminution progressive}

de l’abondance des PAH+. On observe le mˆeme ph´enom`ene en s’´eloignant davantage de l’´etoile avec l’apparition progressive des VSG conjointement `a la disparition progressive des PAH0_.

Les donn´ees HIFI-Herschel pr´esentent une corr´elation spatiale due, dans le cas de la Tˆete de Cheval, `a la proximit´e des pics d’´emission des deux sources spatiales pr´esentes dans les donn´ees. Dans le cas de NGC7023-NW, on observe ´egalement une corr´elation spatiale due `a la stratification des sources spatiales.

On en conclut que les m´ethodes bas´ees sur l’ICA ne sont pas adapt´ees pour ces donn´ees. Les donn´ees consid´er´ees ici sont non n´egatives de par leur nature physique (spectres d’´emission). Les m´ethodes bas´ees sur la NMF sont donc adapt´ees dans notre contexte. O. Bern´e et al. ont d´ej`a utilis´e les algorithmes de Lee et Seung [89] sur les donn´ees IRS-Spitzer [16] et pour l’´etude de la Tˆete de Cheval [15]. Nous proposerons d’´etendre ces applications dans le chapitre suivant.

En ce qui concerne les m´ethodes bas´ees sur la SCA, nous devons de nouveau distinguer les deux mod`eles spatial et spectral.

Dans le cas d’une approche spectrale Eq. (2.10), les donn´ees consid´er´ees ici ne sont pas conjointement parcimonieuse. Les diff´erentes populations de poussi`eres d´etect´ees dans les donn´ees IRS-Spitzer ont des raies d’´emissions situ´ees aux mˆeme longueurs d’onde et les donn´ees HIFI-Herschel pr´esentent la mˆeme caract´eristique par d´efinition (observation d’une raie d’´emission sp´ecifique qui sera d´ecal´ee par effet Doppler, les deux d´ecalages extrˆemes ´etant recouvrants). On ne peut donc pas identifier dans les trois jeux de donn´ees un intervalle de longueurs d’onde (et mˆeme une longueur d’onde) o`u une unique source est active.

Dans le cas d’une approche spatiale Eq. (2.11), l’hypoth`ese d’une parcimonie conjointe des sources spatiales et parfaitement justifi´ee. En effet, la stratification du nuage de gaz due `

r´egions de la n´ebuleuse (donn´ees IRS-Spitzer). Pour les donn´ees HIFI-Herschel, certaines r´egions des n´ebuleuses observ´ees peuvent ˆetre homog`ene en terme de dynamique (mouve- ment relatif par rapport a l’observateur) dˆu `a la configuration g´eom´etrique du trio ´etoile, surface du nuage de gaz et ligne de vis´ee de l’instrument. Ces portions du nuage de mati`ere ne contiennent qu’une unique source spatiale. Les m´ethodes SCA sont donc utilisables dans une configuration de sources spatiales. De plus, les donn´ees ´etant `a la fois non n´egatives et spatialement parcimonieuses, les m´ethodes g´eom´etriques peuvent ´egalement ˆetre adapt´ees dans cette ´etude.

Dans le chapitre suivant, nous quantifierons les diff´erentes propri´et´es de corr´elation et de parcimonie des sources.

2.6.2.2 Mod`ele de m´elange

Comme d´ecrit pr´ec´edemment, les donn´ees consid´er´ees sont non n´egatives et pr´esentent de la parcimonie conjointe spatiale. Afin d’exploiter cette derni`ere propri´et´e pour la d´ecomposition du cube de donn´ees, il est n´ecessaire de consid´erer les sources spatiales, et donc de mod´eliser le cube hyperspectrale suivant le mod`ele Eq. (2.11). Notons que les algorithmes standard de la NMF (i.e. sans contraintes suppl´ementaires sur les matrices A et/ou S) ´enonc´es dans la Section 1.4.2.2 sont insensibles aux choix du mod`ele spatial ou spectral. En effet, le passage d’un mod`ele `a l’autre se fait par transposition, et de mˆeme, on passe d’une ´equation de mise `

a jour `a l’autre par simple transposition.

Par souci de simplicit´e, nous utiliserons donc dans l’ensemble de ce manuscrit le mod`ele spatial. Pour ce mod`ele, une observation est une bande spectrale de l’image hyperspectrale et un ´echantillon est un pixel de cette bande spectrale. Une observation est le r´esultat d’un m´elange spectral de sources spatiales :

x(n, m) =

L

X

`=1

a(n, `) s(`, m) (2.15) On notera que l’indice n se r´ef`ere `a l’axe spectral de l’image hyperspectral, exprim´e en longueur d’onde pour les donn´ee Spitzer et en vitesse pour les donn´ees Herschel. L’indice m se r´ef`ere `a la position du pixel dans une bande spectrale vectoris´ee. En utilisant les notation usuelle de la SAS, ce mod`ele de m´elange s’´ecrit sous forme matricielle :

X = AS (2.16) o`<sub>u X ∈ R</sub>N ×M<sub>+</sub> est la matrice des donn´ees observ´ees (chaque ligne est une bande spectrale vectoris´ee et chaque colonne un spectre observ´<sub>e), A ∈ R</sub>N ×L<sub>+</sub> est la matrice de m´elange contenant les L spectres ´el´ementaires pr´esents dans les donn´<sub>ees et S ∈ R</sub>L×M<sub>+</sub> la matrice des sources spatiales (chaque ligne correspond `a une image source vectoris´ee).