Champ total et polarisabilité statique de la sphère . 21

→_p : −−−→p_sphère = n4

3πR3−→_p = N−^→p (N est le nombre total de dipôles dans la sphère). On a donc égalité entre le moment dipolaire total −^→p_tot introduit par l’équation (1.4) et le dipôle que représente la sphère −−−→p_sphère.

Cela n’avait rien d’évident. Ce résultat est lié à la symétrie sphérique et ne se géné-ralise pas à d’autres géométries.

Bilan :

On a démontré que le champ dépolarisant créé par une sphère uniformément po-larisée est uniforme à l’intérieur de la sphère et vaut ^−−→E_dep(M)in = −^−→P

30. Tandis qu’à l’extérieur de la sphère, le champ dépolarisant^−−→E_dep(M)out est celui d’un unique dipôle électrostatique −−−→psphère relié à la polarisation par −−−→psphère = 4

3πR³−→

P.

1.1.2.4 Champ total et polarisabilité statique de la sphère

D’après la partie précédente 1.1.2.3, la sphère diélectrique étant assimilable à un unique dipôle, nous souhaitons pouvoir exprimer sa polarisabilité statique α_sphère(ω = 0). La définition de la polarisabilité de la sphère à partir de −−−→p_sphère et du champ excitateur ^−−→Einc est la suivante :

−−−→

p_sphère = αsphère(ω = 0)^−−→E_inc (1.18)

Nous souhaitons avoir une expression de αsphère(ω = 0) en fonction d’une grandeur macroscopique mesurable comme la susceptibilité diélectrique χe ou la permittivité diélectrique r. Ces deux grandeurs sont définies par rapport au champ total ^−−→E_tot. Ce dernier est la somme du champ incident ^−−→E_inc et du champ dépolarisant^−−→E_dep. La définition de la susceptibilité et de la permittivité diélectrique prend alors la forme suivante : − → P = 0χ_e−−→ E_tot= 0  _r−1−−→

E_tot avec ^−−→E_tot =^−−→E_inc+^−−→E_dep (1.19) Avec χe et r qui sont des scalaires dès lors que le milieu est isotrope (ce que nous supposons ici d’après 1.1.2.1). D’après (1.7) et (1.19) nous pouvons exprimer le champ total à l’intérieur de la sphère ^−−→E_tot de deux manières :

−−→ E_tot =^−−→E_inc− − → P 30 = − → P ₀χ_e (1.20)

D’où l’on déduit l’expression de la polarisation ^−→P : − → P = 0 3χe 3 + χe −−→ E_inc (1.21)

D’après (1.17) et (1.21) on en déduit le dipôle représentant la sphère −−−→p_sphère en fonction du champ extérieur :

−−−→ p_sphère = ⁴₃πR³−→ P = 4πR3₀ ^χe 3 + χe −−→ E_inc = 4πR3₀^r−1 _r+ 2 −−→ E_inc (1.22) On en déduit en identifiant avec (1.18), la polarisabilité statique de la sphère :

α_sphère(ω = 0) = 4πR3₀^r−1

_r+ 2 ^(1.23)

En reportant (1.21) dans (1.20) on trouve aussi le champ total à l’intérieur de la sphère. Le champ total à l’extérieur de la sphère se détermine en égalisant (1.15) et (1.16) :        −−→ E_tot,in = 3 r+2 −−→ E_inc −−→ E_tot,out = ^−−→E_inc+ 1 4π0r3 [3−^→u_r(−^→u_r.−−−→p_sphère) − −−−→p_sphère] (1.24) La permittivité diélectrique apparaissant dans les formules ci-dessus est la permit-tivité statique : r = r(ω = 0). Dans le cas où le milieu environnant n’est pas le vide mais un milieu non absorbant de permittivité diélectrique m, il est possible de reprendre la démarche précédente pour trouver les deux résultats qui remplacent (1.23) et (1.24) : α_sphère(ω = 0) = 4πR3₀_m ^r− _m r+ 2m (1.25)        −−→ E_tot,in = 3m r+2m −−→ E_inc −−→ E_tot,out = ^−−→E_inc+ 1 4π0mr3 [3−^→u_r(−^→u_r.−−−→p_sphère) − −−−→p_sphère] (1.26) Nous ne nous intéresserons pas dans la suite au cas où le milieu environnant n’est pas le vide ; on rappelle que de toute manière, les formules démontrées dans le vide se transposent facilement au cas d’un milieu de permittivité diélectrique m.

Ces formules ont été démontrées en déterminant l’expression du champ dépolarisant. La "ruse" consistant à assimiler la densité surfacique de charges à la somme de deux densités volumiques de charges permet de ne pas faire appel à résolution de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques qui est en général invoquée dans les livres [172,177,178] (résolution qui n’en reste pas moins très élégante). Les résultats obtenus par les deux méthodes sont identiques.

1.1.3 Diffusion par une petite sphère : la théorie de

Rayleigh-Debye

1.1.3.1 Introduction Le cadre

toujours placée dans le vide mais est cette fois excitée par une onde plane progressive harmonique polarisée rectilignement de la forme ^−−→E_inc(x, t) = E0ei(kx−ωt)−→_u

z (champ incident).

Hypothèses

L’hypothèse importante de la théorie de Rayleigh-Debye est de supposer que la sphère est très petite devant la longueur d’onde du champ incident. On a donc 2R  λ (où λ est la longueur d’onde dans la sphère) comme représenté schématiquement figure 1.4(a). Dans le domaine du visible λ ∼ 400 nm, donc cette hypothèse est bien vérifiée pour des sphères de rayon R  200 nm.

(a) (b)

Figure 1.4 – Sur les particules très petites devant la longueur d’onde, le champ est environ uniforme à un instant t0 (a). Sur des particules d’une taille comparable à la longueur d’onde, le champ n’est pas uniforme à un instant t0 (b). Le disque jaune représente une sphère de rayon R dans le plan (x, z).

Dans cette hypothèse on peut ré-écrire le champ extérieur que voit la sphère sous la forme suivante (on prend le centre de la sphère comme origine des x) :

−−→

E_inc(x, t) = E0e^i(kx−ωt)−→_u

z ' E₀e^−iωt−→_u

z =^−−→E_inc(t) (1.27) Cette hypothèse est appelée l’approximation quasi-statique (notée AQS dans la suite) puisque dans ce cadre il n’y a pas d’effet de propagation du champ. Les nanoparticules ne voient pas les variations spatiales du champ et voient donc un champ uniforme (par contre elles voient les variations temporelles en e−iωt).

L’autre hypothèse de la théorie de Rayleigh-Debye est de ne considérer que l’effet du champ électrique. L’effet du champ magnétique est négligé car le milieu est non magnétique et car l’amplitude du champ magnétique dans le vide est |^−→E |

c (de sorte que la force magnétique de Lorentz est négligeable devant la force électrique de Lo-rentz pour des particules chargées non relativistes).

Dans le cadre de ces deux hypothèses, nous sommes ramenés au problème élec-trostatique d’une sphère diélectrique homogène, linéaire et isotrope dans un champ

électrostatique homogène. On va donc pouvoir reprendre les résultats établis en élec-trostatique section 1.1.2 ; pour prendre en compte les variations temporelles en e−iωt

du champ incident on multipliera les résultats de l’électrostatique par e−iωt pour l’expression des champs.

Schéma et notations

Le schéma de la section 1.1.2 figure 1.2 est toujours valable mais à un instant t0. La différence conceptuelle est que le schéma évolue au cours du temps puisque toutes les grandeurs vectorielles : ^−−→Einc, ^−−→Edep et ^−→P oscillent harmoniquement en e−iωt (i.e. elles oscillent de manière sinusoïdale à la pulsation ω).