Th´eorie de Bragg-Gray appliqu´ee au diamant

Pour les faisceaux de photons de haute ´energie, la th´eorie de Bragg-Gray [157] permet de d´eterminer la dose dans l’eau `a partir de la dose dans l’air mesur´ee avec une cham-bre d’ionisation, par l’interm´ediaire du rapport des pouvoirs de ralentissement massiques moyens par collisions de l’eau et de l’air :

Deau =Dair La condition principale que doit respecter la cavit´e d’air est qu’elle ne doit pas perturber la fluence des ´electrons, ni leur distribution en ´energie. Cette condition est v´erifi´ee dans le cas d’une petite cavit´e, lorsque les dimensions de celle-ci sont tr`es petites devant le parcours des ´electrons dans la cavit´e.

Pour calculer le rapport des pouvoirs de ralentissement massiques moyens par colli-sions, on utilise la fluence diff´erentielle en ´energie des ´electrons primaires dans l’eau ΦE

selon l’´equation suivante :

La th´eorie de Bragg-Gray ignore l’effet des ´electrons secondaires δ. La th´eorie de Spencer-Attix est une modification de cette premi`ere th´eorie qui prend en compte cette fois-ci les ´electrons secondaires [158]. Dans ce cas, le rapport des pouvoirs de ralentisse-ments massiques moyens par collisions est d´efini par la formule suivante et prendra la

V.2 Etude des dimensions du diamant

Dans ce cas, ΦE est la fluence de tous les ´electrons, primaires et secondaires. ^L_ρ^∆ est le pouvoir de ralentissement massique par collisions restreint, d´efini comme ´etant la perte d’´energie par unit´e de longueur uniquement pour les collisions dans lesquelles le transfert d’´energie est inf´erieur `a une ´energie ∆. La valeur de ∆ est choisie de mani`ere `a ce qu’un

´electron poss´edant cette ´energie parcourt une distance proche des dimensions de la cavit´e.

Ces valeurs de ^L_ρ^∆ sont donn´ees dans le rapport ICRU n˚37 [159], pour certains mat´eriaux, pour des valeurs de ∆ = 100 keV, 10 keV et 1 keV. La th´eorie de Spencer-Attix s’´ecrit alors : La condition de Bragg-Gray stipulant que la cavit´e d’air ne doit pas perturber la fluence des ´electrons est encore n´ecessaire pour la th´eorie de Spencer-Attix.

Dans cette ´etude, nous utilisons la th´eorie de Spencer-Attix, ´etant donn´e que les fichiers de sortie du code PENELOPE nous donnent la fluence en ´energie de tous les ´electrons, primaires et secondaires. Le but de ce travail est de v´erifier l’application de cette th´eorie dans le cas d’une sph`ere de diamant. Pour cela, les rapports Feau,diam = _D^Deau

diam sont cal-cul´es, avec Ddiam la dose absorb´ee dans la sph`ere de diamant et Deau la dose absorb´ee dans la sph`ere d’eau de mˆeme diam`etre. Ces doses dans l’eau et dans le diamant ont

´et´e calcul´ees dans le paragraphe pr´ec´edent pour diff´erentes tailles de champs et diff´erents diam`etres de sph`ere. Les rapports Feau,diam vont ensuite ˆetre compar´es `a

L∆

ρ

eau diam. Les rapports Feau,diam sont repr´esent´es sur la Figure V.6 pour diff´erentes tailles de champs et pour les diff´erents diam`etres de sph`ere ´etudi´es pr´ec´edemment. Ces r´esultats sont

´egalement indiqu´es dans le TableauV.4et montrent que le rapport Feau,diam est constant avec la taille du faisceau pour des champs sup´erieurs `a 2 × 2 cm<sup>2</sup>. En dessous de cette taille de champ, la valeur deFeau,diam diminue rapidement avec la taille de champ, et ceci d’autant plus rapidement que le diam`etre de la sph`ere est ´elev´e. Ce r´esultat est comparable

`a celui obtenu par Fenwick et al. [156] pour un diamant de g´eom´etrie cylindrique, de 0,26 mm d’´epaisseur et de 2,3 mm de diam`etre. En effet, pour ce diamant plac´e `a 5 cm de profondeur dans l’eau, dans un faisceau de 15 MV, Fenwick et al. [156] ont trouv´e Feau,diam de l’ordre de 1,06 pour un champ de 0,5× 0,5 cm² et de 1,15 pour un champ de 10 ×10 cm².

0 20 40 60 80 100 1,00

1,05 1,10 1,15 1,20

F eau,diam

Côté du champ carré (mm)

Sphère diamètre 2 mm Sphère diamètre 1 mm Sphère diamètre 0,5 mm

Figure V.6 – Rapport Feau,diam = _D^D_diam^eau calcul´e par MC pour diff´erentes tailles de champs et diff´erents diam`etres de sph`ere.

Taille de champ (cm²) Feau,diam= _D^D_diam^eau

Sph`ere diam`etre 2 mm Sph`ere diam`etre 1 mm Sph`ere diam`etre 0,5 mm

0,5 ×0,5 1,025±0,007 1,070±0,015 1,137±0,019

2 ×2 1,136±0,012 1,153±0,019 1,146±0,020

5 ×5 1,149±0,006 1,148±0,009 1,155±0,018

10 ×10 1,144±0,019 1,145±0,010 1,157±0,021

Tableau V.4 – Valeurs du rapportFeau,diam= _D^D_diam^eau calcul´e par MC pour diff´erentes tailles de champs et diff´erents diam`etres de sph`ere.

Le rapport

L∆

ρ

eau

diam de la th´eorie de Spencer-Attix est ensuite d´etermin´e en appli-quant la Formule (V.3). Cette formule n´ecessite dans un premier temps le calcul des spectres en ´energie des ´electrons traversant la sph`ere. Ceci est r´ealis´e `a l’aide du code PENELOPE. Dans un second temps, il faut ´egalement connaˆıtre les pouvoirs de ralen-tissements massiques restreints du diamant et de l’eau. Le rapport ICRU n˚37 fournit les valeurs de ^L_ρ^∆ de diff´erents mat´eriaux pour des valeurs maximales de ∆ = 100 keV, ce qui restreint l’´etude `a la sph`ere de 0,5 mm de diam`etre. En effet, les ´electrons ayant une ´energie de 100 keV ont un parcours dans le diamant de l’ordre de 0,5 mm. Pour les

V.2 Etude des dimensions du diamant sph`eres de 1 mm et 2 mm de diam`etre, des valeurs de ^L_ρ^∆ pour ∆ = 140 keV et 215 keV respectivement seraient n´ecessaires.

Ensuite, le rapport ICRU n˚37 ne fournit aucune donn´ee pour le diamant mais unique-ment les valeurs de ^L_ρ^∆ pour le graphite. La Figure V.7 pr´esente les pouvoirs de ralen-tissement massiques par collisions des ´electrons ^Scol_ρ pour le diamant et le graphite, ainsi que les valeurs de ^L_ρ^∆ pour le graphite issus du rapport ICRU n˚37 pour ∆ = 100 keV, en fonction de l’´energie des ´electrons. Ce dernier est diff´erent du pouvoir de ralentissement non restreint du graphite uniquement sur une gamme d’´energie o`u ^Scol_ρ du diamant et du graphite sont ´equivalents. Ainsi, les donn´ees du rapport ICRU n˚37 pour le graphite peuvent ˆetre appliqu´ees au mat´eriau diamant pour le calcul de ^L_ρ^∆ du diamant.

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

10⁶ 10⁷

diamant graphite

graphite, restreint pour = 100 keV

S col/ (eV.g-1 .cm2 )

Energie des électrons (MeV)

Figure V.7 –Comparaison des pouvoirs de ralentissement massiques par collisions des ´electrons pour le diamant et le graphite (donn´ees du code PENELOPE), ainsi que les valeurs de ^L_ρ^∆ pour le graphite issues du rapport ICRU n˚37 pour ∆ = 100 keV.

Le Tableau V.5 pr´esente les valeurs de

L∆

ρ

eau

diam et de Feau,diam calcul´ees par MC pour diff´erentes tailles de champs, dans le cas de la sph`ere de 0,5 mm de diam`etre. Ce tableau permet de montrer que la th´eorie de Spencer-Attix est valable pour cette petite sph`ere de diamant aux incertitudes statistiques pr`es, pour les tailles de champs variant de 0,5 × 0,5 cm² `a 10 × 10 cm².

Taille de champ (cm²)

Tableau V.5 – V´erification de la th´eorie de Spencer-Attix dans le cas d’une sph`ere de diamant de 0,5 mm de diam`etre, pour diff´erentes tailles de champs, `a l’aide des simulations MC.

Fenwick et al. [156] ont observ´e avec un diamant de 0,26 mm d’´epaisseur et de 2,3 mm de diam`etre, un ´ecart `a cette th´eorie de Spencer-Attix dans le cas des mini-faisceaux.

Ils ont alors modifi´e cette th´eorie pour les conditions de manque d’´equilibre ´electronique lat´eral. Pour cela, ils ont introduit des facteurs correctifsFp etFf lpour prendre en compte respectivement l’effet de la densit´e et la diff´erence de fluence des ´electrons dans la sph`ere de diamant et la sph`ere d’eau. La th´eorie de la cavit´e s’´ecrit alors de la mani`ere suivante :

Deau

Ces facteurs ´evalu´es par MC sont proches de 1 pour des tailles de champs sup´erieures

`a 2 × 2 cm<sup>2</sup>, d’apr`es le travail de Fenwick et al. [156] ; on retrouve alors la th´eorie de Spencer-Attix. Dans le cas du diamant, Pf l reste proche de 1 pour les tailles de champs inf´erieures `a 2 × 2 cm<sup>2</sup>, alors que Pp peut atteindre une valeur proche de 0,90 pour un champ de 0,5 ×0,5 cm<sup>2</sup> dans le cas de la g´eom´etrie du diamant mod´elis´ee par ces auteurs (cylindre de 0,26 mm d’´epaisseur et de 2,3 mm de diam`etre). Pour obtenir une valeur de Pp proche de 1, Fenwick et al. indiquent qu’il faut diminuer les dimensions du diamant.

Dans notre ´etude, le volume du diamant est diminu´ee par rapport `a celui de leur travail, ce qui permet d’avoir une influence de la densit´e du diamant sur la dose plus faible et donc cela permet de v´erifier la th´eorie de Spencer-Attix.

Ces r´esultats montrent ´egalement que le rapport

L∆

ρ

eau

diam ne varie pratiquement pas avec la taille de champ, comme l’ont montr´e Fenwick et al. [156]. Ainsi, l’approximation faite dans les protocoles de dosim´etrie, qui consiste `a ne pas prendre en compte ces rapports pour les mesures de FOC (paragrapheI.4.3.1du Chapitre 1), peut ˆetre appliqu´ee avec le dosim`etre diamant `a condition de v´erifier la th´eorie de Spencer-Attix pour toutes les tailles de champs et donc de pr´esenter un petit volume de d´etection.

V.2 Etude des dimensions du diamant

V.2.2 Etude de la g´ eom´ etrie r´ eelle du diamant

Les paragraphes pr´ec´edents ont montr´e qu’une sph`ere de diamant de 0,5 mm de diam`etre permettait `a la fois de ne pas surestimer le FOC en mini-faisceaux et de ne pas s’´eloigner de la th´eorie de la cavit´e. Cependant, le volume r´eel n’est pas d´efini par une sph`ere. Une ´etude `a partir des simulations MC est donc r´ealis´ee pour d´eterminer l’influence des dimensions r´eelles du diamant sur les mesures de FOC, de distributions de dose et sur la d´ependance en ´energie de la r´eponse du d´etecteur. La d´ependance de la r´eponse avec le d´ebit de dose n’est pas ´etudi´ee dans cette partie, ´etant donn´e que les simulations MC ne permettent pas d’acc´eder `a cette information.

Dans cette partie, les dimensions lat´erales et l’´epaisseur du diamant sont modifi´ees mais les dimensions des ´electrodes qui d´elimitent le volume sensible sont toujours de 1 mm de cˆot´e comme le recommande DIADOMI. Pour les simulations MC, l’orientation du diamant dans le faisceau est celle choisie dans le Chapitre 4, c’est-`a-dire verticale avec son ´epaisseur orient´ee dans la direction x. De plus, seule la g´eom´etrie du diamant est mod´elis´ee dans cette partie, aucun autre ´el´ement du dosim`etre n’est pris en compte dans ces simulations.