La figure V.6 montre que la forme du champ de vitesse et l’amplification résultante sont très sensibles à la fréquence de forçage de l’onde. Pour caractériser ce phénomène, nous avons mesuré le facteur d’amplificationqde l’onde en fonction de sa pulsation. Ces mesures sont reportées dans la figure V.7. On observe un facteur d’amplification maximal enω0= 0.93rad·s−1qui correspond à la figure V.6(b), pour laquellezT =zF. Cette valeur est très localisée en pulsation. L’annulation de la vitesse de groupe va donc avoir un effet important sur l’amplification de la vitesse verticale mais sur une gamme restreinte de pulsation. Dans le paragraphe suivant, nous allons discuter plus en détail de la forme de la courbe d’amplification et de son évolution avec l’amplitude du forçage.
Influence de l’amplitude du forçage
Avant de comparer les courbes d’amplification à différentes amplitude de forçage, nous allons discuter d’une autre mesure de l’amplification et de l’adimensionnement de certains paramètres.
0.8 0.85 0.9 0.95 1 0
10 20 30
ω0
q
Figure V.7 – Facteur d’amplification q pour une amplitude de forçage a = 0.5 mm. Notons que la vitesse typique mesurée sous le générateurvgen= 0.025cm·s−1 varie peu avec la pulsation de forçage ω0. En effet, dans le chapitre II, nous avons vu que sur cette gamme de pulsations, l’efficacité évolue peu. Cette évolution est négligeable par rapport aux variations devgen mesurées pour une même expérience (entre 0.02 et 0.03 cm·s−1).
La mesure directe du facteur d’amplification q est très bruitée. En effet, sur la figure V.7, on observe par exemple que q est multiplié par 2 lorsque l’on passe de ω0 = 0.81 rad·s−1 à ω0 = 0.82 rad·s−1, ce qui ne semble pas très raisonnable par rapport au modèle d’amplification présenté précédemment. Pour minimiser ce bruit, nous allons évaluer cette amplification d’une autre manière. Pour cela, nous réalisons un diagramme temps-fréquence,Sz(ω, t), moyenné sur une zone de 3.6×3.6 cm2 centré sur le maximum de vitesse. Nous utilisons ensuite la valeur Sz(ω0, t), moyennée sur les 100 dernières secondes de l’enregistrement,hSz(ω0)i, pour estimer l’amplification de la vitesse verticale. Puis, nous normalisons la valeur ainsi obtenue par sa valeur moyenne, Sz∗, hors du pic d’amplification. Finalement nous utiliserons la racine de cette valeur afin d’obtenir une valeur proportionnelle à la vitesse verticale et non pas à son carré.
Les pulsations ont quant à elles été renormalisées par la pulsation correspondant au maximum d’amplification, ωmax. D’une série d’expériences à amplitude fixée à une autre série, la valeur de cette pulsation optimale change. En effet, entre ces deux séries, il faut sortir le générateur, le dé-monter et régler les cames, le réinstaller puis refaire une stratification. Comme il est impossible de refaire deux fois exactement la même stratification non-linéaire et que, comme nous l’avons vu précédemment, le phénomène d’amplification est très sensible à la pulsation, on a un décalage de la pulsation optimale d’une série d’expériences à une autre. Dans les expériences menées on a observé un décalage de 5% deωmaxau maximum.
Ces mesures adimensionnées sont présentées dans la figure V.8 pour différentes amplitudes de forçagea. Pour les points correspondants àa= 0.5mm, on observe que les mesures hors résonance possèdent des valeurs d’amplification normalisée toutes au voisinage de 1. Cela est cohérent avec les figures V.5(a) et (c), où on remarque que l’amplification enzF due à la focalisation géométrique ne dépend pas de la pulsation de l’onde ω0. Les courbes d’amplification ont la même forme pour toutes les amplitudesa. On peut notamment observer que la largeur relative du pic est à peu près constante et vaut environ 1%. Cependant, la valeur de l’amplification maximale est affectée par l’amplitude du forçage. Pour un forçage faible, on obtient une plus forte amplification que pour un forçage plus élevé. Nous verrons par la suite que ce sont les non-linéarités présentes aux plus grandes amplitudes qui sont responsables de cette saturation de l’amplification.
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 0.5
1 1.5 2 2.5
ω0/ωmax (hSz(ω0,t)i/S∗ z)1/2
a=0.5 mm a=1.0 mm a=2.0 mm a=4.0 mm
Figure V.8 – Mesures de la composante spectrale Sz(ω0, t), moyennée temporellement sur les 100 dernières secondes de l’acquisition, pour différentes valeurs de pulsation de forçageω0et pour 4 amplitudes a du générateur. Pour renormaliser les mesures, les pulsations ont été adimension-nées par ωmax, la pulsation correspondant au pic pour chaque amplitude de forçage. Sz(ω0, t)est adimensionné par sa valeur moyenne hors du pic, Sz∗. Notons que les grandeurs représentées en abscisse sont la racine dehSz(ω0, t)i/Sz∗ afin de pouvoir les comparer à celles de la figure V.7. En effet, d’après l’équation (III.6),Sz(ω0, t)est proportionnel àv2z.
Évolution temporelle
Nous avons pour le moment étudié la valeur moyenne de l’amplification sur les 100 dernières secondes. Nous allons maintenant voir comment cette amplification dépend du temps pour les ex-périences des figures V.6 et V.7 correspondant à un forçage à a = 0.5 mm. Le champ de vitesse verticale a été enregistré pendant 10 minutes etSz(ω0, t)est représenté sur la figure V.9, en fonc-tion du temps adimensionné par la période de l’ondet/T0. Lorsque que l’on se place àω06=ωmax, Sz(ω, t)atteint une valeur quasi-stationnaire après quelques dizaines de périodes.
Cependant, pour la pulsation correspondant à l’amplification maximale, ωmax, ce temps est bien plus long. Il est même supérieur à la durée d’enregistrement. Après les 10 minutes d’expé-rience, le plateau d’amplification n’est toujours pas atteint. Ainsi, le champ de vitesse verticale de la figure V.6 ne correspond qu’à une situation transitoire et l’amplification en ωmax de la fi-gure V.8 est a priori sous-évaluée. Cette dynamique différente, pour ω0=ωmax, par rapport aux autres pulsations, est vraisemblablement liée à l’annulation de la vitesse de groupe enzF =zT. Le temps caractéristique associé à l’arrivée de l’onde et donc à l’amplification devient alors beaucoup plus long. On remarque également une différence entre l’amplitude du plateau de la courbe bleue correspondant àω0= 0.80rad·s−1 et de la courbe verte correspondant àω0= 1.00rad·s−1. Cela s’explique par le champ de vitesse verticale qui a une valeur proche de son maximum sur une plus grande zone pour ω0 = 1.00 rad·s−1 que pour ω0 = 0.80 rad·s−1 (voir figure V.6), ce qui fait augmenterSz(ω0, t), lors de la moyenne spatiale.
En conclusion, les mesures expérimentales montrent que le maximum d’amplification est atteint lorsque zF =zT, ce qui correspond à la situation où la vitesse verticale de l’onde est maximum lorsque sa vitesse de groupe s’annule. En corollaire, ce maximum correspond aussi au moment où le temps caractéristique d’établissement du maximum de vitesse verticale est le plus long. La prochaine partie se concentre sur l’apparition d’instabilités lorsque ω0 = ωmax pour différentes amplitudes de forçage.
0 10 20 30 40 50 60 70 0
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