Intéressons-nous plus particulièrement aux cas 0.35 < f /N < 0.4. On observe dans la fi-gure III.10 que l’onde secondaire 1 a une pulsation plus grande que f et que l’onde secondaire 2 a une pulsation plus petite que f. L’onde 2 sera alors une onde sous-inertielle et son existence n’est pas prise en compte dans notre modèle qui suppose que f < ωi< N pouri= (0,1,2). C’est aussi sur cette plage,0.35< f /N <0.4, que l’on observe une différence entre nos prévisions et les
t= 4T0 vecteurs d’onde sont indiqués correspondant au vecteur d’onde mesuré directement, k1,mes, et à celui trouvé grâce à ω1 et à la relation de dispersion,k1,disp. (Bas) Gradient vertical de densité,
∂zρ′, en fonction du temps pour un point situé 5 cm sous le générateur (indiqué par une étoile sur (a)) filtré àω0(g), ω1 (h),ω2 (i).
mesures expérimentales dans la figure III.9. L’erreur de prédiction sur le seuil d’apparition de la
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0
0.2 0.4 0.6 0.8
ω1> f, ω2> f ω1 > f, ω2< f
f /N ℓ1/m1
Valeurs mesurées directement
Valeurs calculées par la relation de dispersion
Figure III.12 – Rapport des nombres d’ondes ℓ1/m1 de l’onde secondaire 1 en fonction de la pulsation de f /N pour les ondes de la figure III.10. Ces rapports sont soit mesurés directement sur l’onde, soit calculés grâce à la mesure deω1/N et à la relation de dispersion. Le graphique est séparé en deux zones par une ligne pointillée. À gauche de cette ligne,ω2> f, le rapport mesuré et le rapport calculé sont égaux. À droite de cette ligne,ω2< f, les rapports sont différents, l’onde secondaire 1 ne respecte plus la relation de dispersion.
TRI pourrait donc être reliée à l’existence de ces ondes sous-inertielles.
Dans le cas particulierf /N= 0.396, des champs de gradients verticaux de densité expérimen-taux mesurés à différents instants sont présentés sur la figure III.11. Au début, l’onde plane se propage depuis le haut vers le bas (figure III.11(a)). Après quelques oscillations, des perturbations du champ d’onde apparaissent sous le générateur d’onde (figure III.11(b)). Ces perturbations se développent pour finir par atteindre une amplitude constante (figure III.11(c)). Ce comportement est similaire (même aux temps longs) à ce que l’on observe lorsqueω1 etω2sont plus grands quef (par exemple, figure III.3(c)). De plus les filtrages réalisés autour de la pulsation de l’onde mère et des deux pulsations des ondes secondaires (figure III.11(d), (e) et (f)) révèlent bien que chacun des champs associés possède une structure d’onde avec des longueurs d’onde bien définies. Des mesures expérimentales du gradient vertical de densité, ∂zρ′, en un point, prises 5 cm sous le générateur, et respectivement filtrées à ω0,ω1 etω2, sont montrées en figure III.11(g), (h) et (i). Ces mesures prouvent que le phénomène observé ne vient pas d’un régime transitoire, où les ondes secondaires pourraient être émises à l’allumage du générateur par exemple. Ces ondes sont présentes dans le régime stationnaire.
D’un point de vue théorique, l’existence de ces ondes sous-inertielles dans le cas de la TRI a été prédite pourω0 légèrement plus petit que2f par Younget al.(2008). La comparaison entre cette théorie et nos expériences n’est pas possible à cause de la viscosité et de la taille finie du faisceau d’onde qui sont des paramètres importants dans notre expérience et qui ne sont pas pris en compte dans cette théorie. Une explication possible pour l’apparition de ce type d’ondes sous-inertielles pourrait-être un mauvais alignement entre l’axe de rotation et la verticale. Mais, comme il est mentionné dans le chapitre I, cet alignement a été précisément contrôlé lors de la construction de la plateforme tournante PERPET et l’erreur maximum sur l’angle a été estimée à 0.1o, trop petit pour expliquer le phénomène observé.
Pour comprendre l’apparition des ondes sous-inertielles, nous nous sommes intéressés au
rap-port des nombres d’ondesℓ1/m1 qui peut être calculé par la relation de dispersion:
ℓ1
m1
=
sω12−f2
N2−ω21. (III.50)
D’un autre côté, on peut également mesurer cette quantité par la méthode décrite dans le cha-pitre II d’ajustement de la phase. La figure III.12 montre ces deux estimations de la même quantité pour les expériences de la figure III.11. Par exemple sur la figure III.11(e), qui correspond à l’onde secondaire 1 de l’expérience à f /N = 0.396 de la figure III.10, on voit que les deux vecteurs, celui mesuré et celui calculé, ne sont pas alignés.1 Ces deux estimations, sur l’onde secondaire 1, sont identiques tant que l’onde secondaire 2 reste sur-inertielle. Dès que cette dernière devient sous-inertielle, les deux estimations ne sont plus en accord, la relation de dispersion n’est plus vérifiée pour l’onde secondaire 1. Pour l’onde secondaire 2, ω2 < f < N ce qui est contraire à la relation de dispersion. Pour pallier ce problème, une solution naïve est d’utiliser des vecteurs d’ondes complexes au lieu de vecteurs d’ondes réels. Introduire ces vecteurs complexes modifie la relation de dispersion, ce qui pourrait expliquer l’écart observé sur la figure III.12. L’introduction de vecteurs d’ondes complexes donnerait aux ondes une structure ondulatoire dans une direction (partie réelle des vecteurs d’onde) et une direction dans laquelle l’onde s’atténuerait (partie ima-ginaire des vecteurs d’onde). Mais alors un certain nombre de questions restent en suspens. Que deviennent les conditions de résonance? Comment est fixée la partie imaginaire des vecteurs d’onde?
Pour éclaircir ces résultats, nous avons collaboré avec Triantaphyllos Akylas et Hussain Ka-rimi. Au cous de sa thèse, H. Karimi a réalisé une étude théorique de la TRI pour des faisceaux de taille finie (Karimi et Akylas, 2014). Dans un second temps, il a ajouté l’influence de la rotation à cette même théorie (Karimi et Akylas, 2017). Celle-ci suppose notamment que le fluide est très faiblement visqueux et que les ondes secondaires sont de pulsations proches de ω0/2, ce qui n’est pas tout à fait le cas dans nos conditions expérimentales. Cependant, en introduisant nos para-mètres expérimentaux dans leur théorie, ils trouvent que l’onde associée au spectre àf /N= 0.396 de la figure III.11 est instable avec des ondes filles à ω1 = 0.5 et ω2 = 0.3 et des vecteurs d’onde secondaires à peu près deux fois plus grands que le vecteur d’onde de l’onde mère. Ces résultats sont très encourageants car les pulsations secondaires sont proches des pulsations observées expé-rimentalement (figure III.11) et ils prévoient l’existence d’une onde secondaire sous-inertielle, ce qui semble confirmer que ce que l’on observe n’est pas un artefact mais bien de la TRI. Cepen-dant, compte tenu des différences entre leurs hypothèses et les paramètres expérimentaux, cela ne permet pas de confirmer de manière certaine nos résultats. Leur analyse concorde également avec nos observations sur le paramètre clef qu’est la taille du faisceau de l’onde primaire sur le seuil d’apparition de la TRI ainsi que sur l’existence des ondes sous-inertielles. Pour se rapprocher de ce cadre théorique, une solution serait de mener les mêmes expériences sur la plateforme Coriolis. Les longueurs d’onde que l’on peut atteindre sur ce dispositif (Gostiaux, 2006) permettent de diminuer l’atténuation visqueuse d’un facteur 30 par rapport à nos expériences.
1. Par la relation de dispersion, on ne peut pas obtenir le module du vecteur mais uniquement sa direction. Sur la figure III.11(e), le module dek1,dispest choisi arbitrairement.