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3.a Importance de l’effet de taille finie

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Dans le cas des ondes planes infinies, nous avons montré que le seuil d’instabilité augmentait continuellement avec le paramètre de Coriolis f /N. D’un point de vue océanique, cela signifie que les ondes gravito-inertielles à l’équateur seraient plus sujettes à la TRI que des ondes à de plus hautes latitudes, car la pulsation de Coriolis dépend de la latitudef = 2ΩEarthsinη avecη la lati-tude. Mais cela ne correspond pas aux observations océaniques existantes, que ce soit dans le cas de simulations numériques (MacKinnon, 2005; MacKinnonet al., 2013b) ou bien d’études in situ (MacKinnon et al., 2013a) qui mettent en lumière l’existence d’une latitude critique àf =ω0/2 où la TRI est fortement renforcée.

De plus, les expériences (a) et (b) présentées dans la figure III.3 montrent que la TRI appa-raît seulement lorsque la rotation est suffisamment forte, tous les autres paramètres étant gardés identiques. Les prédictions faîtes dans la partie précédente ne sont pas à même d’expliquer ce comportement et montrent même que la rotation semble empêcher l’apparition de la TRI. La dif-férence majeure entre l’expérience et la théorie est dans la forme des faisceaux considérés. Dans la

n

Figure III.7 – (a) Schéma de l’interaction résonante triadique, soulignant l’existence d’une zone d’interaction de largeur W correspondant à la largeur du faisceau de l’onde mère. (b) Profil transverse typique de l’amplitude d’une onde en fonction de la distance transverse η normalisée par la longueur d’ondeλ, extrait de la transformée de Hilbert de l’onde de la figure III.3(a).

théorie, ils sont infiniment larges, alors que dans l’expérience, ils ont une largeur finie. L’effet de taille finie pour des ondes purement gravitaires (f = 0) a été étudié théoriquement par Karimi et Akylas (2014). Des expériences sur ce phénomène ont aussi été menées par Bourget et al.(2014), qui a proposé un modèle simple pour prendre en compte cet effet de largeur finie du faisceau.

La théorie de Karimi et Akylas (2014) et le modèle de Bourget et al. (2014) sont basés sur la même idée: l’interaction triadique doit être suffisamment forte pendant le temps limité où les per-turbations subharmoniques se superposent à l’onde primaire. Le processus est schématisé dans la figure III.7(a), où l’on voit les ondes secondaires s’éloigner de la région d’interaction de largeur W avec une vitesse égale à la projection de leur vitesse de groupe sur la direction n =k00, perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde primaire.

3.b Modèle

Dans l’approche de Bourgetet al.(2014), l’évolution de l’amplitude des ondes secondaires est dictée par la vitesse à laquelle ces ondes quittent la région d’interaction qui est |vg,i·n|. Par la suite, nous appellerons cette vitesse le taux d’advection. Ce taux peut être calculé comme le rapport de la vitesse de sortie des ondes divisé par la largeur W du faisceau d’onde primaire. Les équations d’amplitude (III.38) et (III.39) des ondes secondaires deviennent alors:

Ψ˙1=I1Ψ0Ψ2−1

L’existence de la rotation change le temps que passent les ondes secondaires dans le faisceau de deux façons différentes. D’une part, lorsque f augmente, la vitesse de groupe varie, et devient même nulle lorsquef =ω. D’autre part, la direction de propagation des ondes change, puisqu’elle dépend directement de la valeur de f; si les deux ondes étaient colinéaires alors l’onde secondaire ne quitterait jamais l’onde primaire. À l’inverse, lorsque la vitesse de groupe des ondes secondaires vg,(1,2)n’est pas parallèle àvg,0, ou autrement dit lorsquevg,(1,2)n’est pas perpendiculaire àk0, les ondes secondaires vont quitter le faisceau primaire. Les équations (III.46) et (III.47), permettent

de calculer un taux de croissance modifié, Σ, pour une onde primaire de largeur finie, de la même façon que cela a été fait pourσdans le cas des ondes planes infinies:

Σ =−1

En prenant en compte les valeurs expérimentales typiques,I1I20|2 est le terme dominant dans la racine de cette équation, ainsi on peut faire l’approxiamtion:

Σ =σ− 1

4W(|vg,1·n|+|vg,2·n|) +O(ν2κ41,2) +O |vg,1,2·n|2 W

!

. (III.49)

Un faisceau va donc être considéré comme large quand sa largeur W est grande devant une lon-gueur d’onde. Dans ce cas, on retrouve bienΣ =σ. Pour se donner une idée de la largeur typique des faisceaux dans nos expériences, la figure III.7(b) montre le profil typique d’un faisceau mesuré perpendiculairement à la direction de propagation. La largeur effective du faisceau est comprise entre1.5λet3λ.

L’importance relative du taux d’advection de chaque onde secondaire,1/4W|vg,i·n|, vis-à-vis du taux de croissance, σ, est tracée sur la figure III.8 en fonction de f /ω0. En se basant sur la figure III.7(b), la largeur choisie pour le faisceau est W = 2λ. Des faibles valeurs de ce rapport indiqueront des cas où la taille finie n’est pas un paramètre limitant pour l’instabilité, car dans ce cas, les ondes secondaires resteront suffisamment longtemps dans le faisceau primaire. D’après les données de la figure III.8(a), qui n’a été tracé avec les paramètres typiques des expériences, on constate que le terme d’advection ne soit pas dominant (ce qui justifie d’ailleurs l’approxima-tion au premier ordre faite dans l’équal’approxima-tion (III.49)), mais qu’il n’est pas négligeable. De plus, on observe l’existence d’une plage de f /ω0 où la TRI est plus susceptible d’apparaître. Sur la plage 0 < f /ω0 < 0.45, σmax est relativement constant (voir encart de la figure III.8(a)), mais, sur la plage 0.35 < f /ω0 < 0.45le temps d’interaction est plus grand (taux d’advection petit), ce qui favorise l’instabilité.

La figure III.8(b) montre le même rapport mais pour des ondes gravito-inertielles typiques des océans (caractéristiques extraites de Sun et Pinkel (2013) et Gayen et Sarkar (2013)). Dans ce cas, le taux d’advection est dominant et la plage de f /ω0 favorisant la TRI est grossièrement réduite à une seule valeur proche def /ω0= 0.5. Dans l’océan, les faisceaux d’ondes peuvent être extrêmement étroits (Coleet al., 2009; Johnstonet al., 2011; Lien et Gregg, 2001). Dans ces cas, on peut faire la supposition que l’effet de taille finie est primordial et que la TRI n’apparaîtra que dans le cas le plus favorable,i.e.f ≃ω0/2d’après la figure III.8(b). Ce résultat est en accord avec l’existence de la TRI à une latitude critique correspondant à f = ω0/2 et non pas à l’équateur.

MacKinnon (2005) évoque le ralentissement de la vitesse de groupe pour expliquer cette latitude.

Cependant l’étude que nous avons présentée explique clairement l’influence de la rotation sur cette vitesse pour toute une plage de valeurs def et pour deux cas à deux échelles différentes.

Le modèle présenté dans cette partie montre que la TRI est favorisée pour certaines valeurs du paramètre de Coriolis. Nous allons maintenant nous intéresser aux expériences et voir si l’on peut retrouver cette caractéristique sur l’instabilité.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

(1 4|vg,i.n|/2λ)/σmax Onde 1 Onde 2 Total

(1 4|vg,i.n|/2λ)/σmax Onde 1 Onde 2 Total

FigureIII.8– Rapport entre le taux d’advection des ondes secondaires hors du faisceau de l’onde primaire et le maximum du taux de croissance de l’instabilité, en fonction def /ω0. Ce rapport est tracé séparément pour chacune des ondes secondaires ainsi que pour la somme des taux d’advection, ce qui permet de comparer les deux termes de l’équation (III.49): 14(|vg,1·n|+|vg,2·n|)/2λσmax. Encart: Maximum du taux de croissanceσmax(normalisé par le taux de croissance maximal àf = 0, σ0). Deux ensembles de paramètres sont considérés; (a) Cas expérimental [ω0/N = 0.8, ℓ0 = 80 m−1et Re= 188]. (b) Cas océanique, où les paramètres sont tirés de Sun et Pinkel (2013) et Gayen et Sarkar (2013) [ω0/N = 0.1,ℓ0= 6.3·10−2 m−1et Re= 3.9·105].

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