Caractérisation électrique des conducteurs Cu/Nb-F II.9.1 Conductivité électrique : généralités

La conductivité électrique d’un matériau détermine sa capacité à laisser passer un courant électrique. Dans les métaux, le transport du courant se fait principalement par les électrons « libres ». En effet, dans un métal les électrons des couches extérieures peuvent se libérer du noyau atomique et se déplacer librement dans tout le volume du matériau. L’ensemble de ces électrons, qualifié de « gaz d’électrons », est caractérisé par un mouvement

Chapitre II : : Caractérisation des propriétés mécaniques et électriques

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de direction aléatoireoù les électrons se déplacent indépendamment les uns des autres de telle sorte que la distribution des vitesses électroniques soit nulle (_{v̅ =0). Cependant, par} application d’un champ électrique extérieur, on peut orienter le mouvement des électrons et avoir une vitesse moyenne non nulle et donc, donner naissance à un courant électrique. Plusieurs modèles dont ceux de Drude (théorie classique) et de Sommerfeld (théorie quantique) permettent la description de la conductivité électrique des porteurs de charge. Nous nous contentons ici de l’utilisation de la loi d’Ohm pour les calculs sur la conductivité électrique des conducteurs Cu/Nb-F.

𝛔𝐛𝐮𝐥𝐤 =_𝛒𝟏

𝐛𝐮𝐥𝐤 = 𝐧𝐞𝛍 (16)

Où µ, la mobilité des électrons, est reliée au temps de relaxation (la durée entre deux collisions) par : _{μ = τe m⁄ ; n, m et e étant respectivement la densité d’électrons libres, la} masse et la charge de l’électron. En supposant l’électron animé d’un mouvement uniforme de vitesse v, la distance _{ℓ parcourue pendant la durée 𝜏 est ℓ = τv .}

Cette distance, appelée « libre parcours moyen électronique » joue un rôle fondamental sur les propriétés électriques des métaux. L’expression de la conductivité électrique en fonction du libre parcours moyen électronique est donnée par :

𝛔𝐛𝐮𝐥𝐤 = 𝓵𝐧𝐞

𝟐

𝒎𝒗 (17)

Au niveau de la surface de Fermi, la vitesse moyenne des électrons peut être reliée au vecteur d’onde et en considérant la surface isotrope, le vecteur d’onde de Fermi peut être écrit en fonction de la densité des porteurs de charge (électrons libres) :

𝑲𝒇 = (𝟑𝛑𝟐𝐧)−𝟏/𝟑 (18)

Dans ces conditions, la conductivité électrique du matériau devient proportionnelle au libre parcours moyen des électrons :

𝛔𝐛𝐮𝐥𝐤

𝓵 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 (19)

Le temps de relaxation (_{τ) au niveau de la surface de Fermi pour un électron} correspond à la durée moyenne entre deux collisions. Selon la règle de Matthiessen, ces dernières peuvent avoir lieu avec les phonons (pseudo-particules associées aux vibrations du réseau cristallin), les impuretés présentes en solution dans le réseau cristallin et les défauts cristallins. Le temps de relaxation dépend donc de trois interactions :

𝟏 𝛕= 𝟏 𝛕𝐩𝐡𝐨𝐧𝐨𝐧𝐬+ 𝟏 𝛕𝐢𝐦𝐩𝐮𝐫𝐞𝐭é𝐬+ 𝟏 𝛕𝐝é𝐟𝐚𝐮𝐭𝐬 (20)

En introduisant le temps de relaxation dans la relation 17 et en utilisant la résistivité ρ (inverse de la conductivité), on aboutit à la relation :

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Seul le premier terme dépend de la température, puisque la fréquence de vibration des atomes dépend de la température ; les deux derniers sont constants et constituent la résistivité résiduelle ρ0 du matériau

𝛒𝐛𝐮𝐥𝐤(𝐓) = 𝝆𝟎+ 𝛒𝐩𝐡(𝐓) (23)

Dans son manuscrit de thèse [12]_{, L. Thilly a déterminé l’influence de la température et du} taux d’écrouissage sur le libre parcours moyen électronique par des calculs pour différentes températures (ρph (T)) et états microstructuraux (ρ0). Une partie de ses résultats, obtenus sur du cuivre, est répertoriée dans le tableau II.6.

T(K) _{ρ (µΩ.cm)} Cu-OFHC recuit _{ℓ (nm) ρ (µΩ.cm)} Cu-OFHC RA=60% _{ℓ (nm)} Cu-OFHC RA=99,98% _{ρ (µΩ.cm) ℓ (nm)}

10 0,001 66000 0,01 6600 0,05 1320

63 0,08 825 0,12 550 0,16 412,5

77 0.2 330 0,22 300 0,25 264

273 1,54 42,8 1,58 41,8 1,64 40,2

Tableau II. 6 : Libre parcours moyen à différentes températures, pour des états structuraux différents du cuivre [12]. II.9.1.1- influence des défauts cristallins sur la conductivité électrique

L’apparition des défauts dans la périodicité du réseau cristallographique d’un métal accroît la diffusion des électrons libres et provoque une diminution du libre parcours moyen électronique, donc une diminution de la conductivité. Dans cette section, inspirée essentiellement de [12], nous allons aborder l’influence des dislocations et des effets de taille sur la conductivité électrique des conducteurs composites Cu/Nb-F.

 Influence des dislocations

En considérant que seul le cœur des dislocations participe à la diffusion des électrons, le calcul du tenseur de conductivité à 0K créé par une ligne de dislocation de longueur β par unité de volume, effectué dans le cas d’une surface de Fermi sphérique fermée, donne l’accroissement de la résistivité Δρ engendré par une densité de dislocations aléatoirement réparties :

𝚫𝛒 = 𝟖ћ𝛀𝟎

𝟑𝐞𝟐_𝐧𝟎𝛃 (24)

Ω0 et n0 étant respectivement le volume de la cellule primitive et le nombre de porteurs contenus dans ce dernier.

En remplaçant l’accroissement de la résistivité par son expression en fonction de la mobilité des électrons en présence des dislocations, on obtient :

μ𝛃 = 𝟑𝐞_𝟖ћ= 𝟓, 𝟕𝟎. 𝟏𝟎𝟏𝟒_𝐕−𝟏_𝐬−𝟏 ₍₂₅₎ Dans le cas du cuivre _{: Ω0} = 12 Å3 _{; n}

0 = 1, on trouve l’expression suivante pour la résistivité par unité de dislocation :

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𝚫𝛒

𝛃 = 𝟏, 𝟑. 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝛀. 𝐜𝐦𝟑 (26)

Ce résultat a été confirmé par les mesures directes de densités effectuées en MET : 𝚫𝛒

𝛃 = 𝟏, 𝟑 ± 𝟎, 𝟏. 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝛀. 𝐜𝐦𝟑 (27)  Effet de taille

D’après le tableau I, à basse température, lorsque l’influence des phonons devient négligeable, le libre parcours moyen ℓCu est plus grand que le micromètre ; à 10K par

exemple, il est de 66µm et 1,32µm pour du cuivre avec des taux d’écrouissages de 60% et 99.98% respectivement. Si certaines dimensions de l’échantillon sont inférieures à ℓCu (cas

des films minces ou des fils fins), le libre parcours moyen électronique est limité par la distance entre les bords de l’échantillon ; un effet de taille apparaît alors en apportant une composante supplémentaire dans la diffusion des électrons.

Ainsi, pour un fil de diamètre δ, la résolution du modèle de Dingle9 _{donne les} expressions suivantes de la conductivité _{σ en fonction de la conductivité 𝛔𝐛𝐮𝐥𝐤} du même matériau massif : a) Pour δ < 0,46ℓ, _𝛔𝛔 𝐛𝐮𝐥𝐤 = 𝛅 𝓵− 𝟑 𝟖( 𝛅 𝓵)𝟐[𝐥𝐧 ( 𝓵 𝛅) + 𝟏, 𝟎𝟓𝟗] (28) b) Pour δ ϵ [0,46ℓ; 3ℓ [, _𝛔𝛔 𝐛𝐮𝐥𝐤 = [𝟏 + 𝓵 𝛅]−𝟏 (29) c) Pour δ ≥ 3ℓ, _𝛔𝛔 𝐛𝐮𝐥𝐤 = 𝟏 − 𝟑 𝟒 𝓵 𝛅 (30)

On remarque que la relation 28 tend vers zéro lorsque le diamètre du fil devient infiniment mince ; ce qui se traduit par l’effet de taille par diffusion des électrons aux interfaces très proches. Alors que la relation 30 tend vers 1 lorsque le diamètre du fil devient très supérieur au libre parcours moyen électronique, on retrouve alors la conductivité du matériau massif. Il est intéressant de noter que l’on peut considérer, d’après les équations 28, 29 et 30 qu’un effet de taille se fait sentir tant que les zones conductrices sont plus petites que trois fois le libre parcours moyen électronique.