IV.2.1 Calcul de l’insertion de réactivité
L’insertion de réactivité dépend de la détente de l’hélium qui a été modélisée sur le plan thermohydraulique. Cet aspect sera discuté dans la partie V.1. La dépressurisation donne une évolution de masse volumique d’hélium en fonction du temps. La relation entre masse volumique d’hélium dans les barres et réactivité extérieure insérée dans le cœur peut être obtenue à partir de mesures expérimentales ou par calcul. À ce stade, le moyen le plus précis d’établir cette relation est un métamodèle réalisé avec URANIE [57] à partir de résultats de calculs TRIPOLI4 au cours de la thèse [15].
D’après la théorie des perturbations [3], abordée brièvement au cours du chapitre II, la va- riation de réactivité dans le cœur à la suite d’une modification de section efficace macroscopique
d’absorption δΣa peut s’écrire, dans une approximation à un groupe d’énergie : δr = − t cœurδΣaΦ2(−→r)d3r t cœurνΣfΦ2(−→r)d3r (IV.2)
On peut l’interpréter de la manière suivante. Considérons un cas où la section efficace d’ab- sorption est divisée par n. Le nombre de neutrons survivant à l’absorption au niveau des barres transitoires est donc multiplié par n, et de ce fait ce nouveau flux produit statistiquement n fois plus de fissions dans le combustible. On a donc une réactivité qui évolue selon le produit du flux et de l’importance des neutrons constituant ce flux (appelé flux adjoint). La réactivité est donc multipliée dans notre cas par n2, ce qui explique la dépendance de la réactivité en flux
au carré. La variation de réactivité dans le volume élémentaire dxdydz peut donc s’écrire (en supposant des variations infinitésimales) :
dr = − dΣaFxy2 Fz2
t
cœurνΣfFxy2 Fz2dxdydz
(IV.3) Or, le métamodèle calcule une variation de réactivité sur l’ensemble du cœur correspondant à une variation dΣaHe dépendant de la variation de masse volumique d’hélium dans les barres :
drTRIPOLI= −t dΣaHe
cœurνΣfFxy2 Fz2dxdydz
(IV.4)
En remarquant que dΣaHe est nul en dehors des barres transitoires, on calcule donc la réactivité
extérieure à l’instant t à partir du métamodèle :
rext= Z t 0 1 H Z H 0 drTRIPOLI(t 0)F2 zdz ! (IV.5)
Cette équation est implémentée dans une subroutine UTIL, appelant le métamodèle, et non directement dans les sources de CATHARE, car reproduisant un phénomène spécifique à CABRI (insertion de réactivité par dépressurisation). Le métamodèle calcule la réactivité extérieure à partir de la densité d’hélium dans chaque maille axiale de chaque barre, et l’intègre sur tout le volume des barres transitoires en la pondérant avant par le profil axial de puissance au carré1.
IV.2.2 Calcul de la réactivité des barres de contrôle
La chute des barres de contrôle dans le cœur est assimilée à la chute d’un solide verticalement dans de l’eau. Le système étudié est donc la grappe d’absorbants. Le bilan des forces se résume au poids des barres et à la poussée d’Archimède (en fin de course, l’accélération est compensée par un amortisseur non modélisé). Les BCS sont entièrement immergées dès l’instant initial. Leur volume est noté V , leur masse m. D’après la seconde loi de Newton :
m−→g − ρfV −→g = m−→a (IV.6)
On remonte donc à l’équation du mouvement de la barre donnant sa cote SELSYN zBCS(t)
en intégrant deux fois cette équation projetée sur l’axe vertical. La cote SELSYN est prise par rapport au bas du cœur.
zBCS(t) = −1 2 1 − ρf V m gt2+ zBCS0 (IV.7)
Où zBCS0 est la cote à l’instant initial. On peut écrire l’équation de la manière suivante, si ρBCS
est la masse volumique des barres :
1. Dans les faits, le gradient axial de masse volumique dans les barres sera très faible. Le profil au carré étant normalisé, l’intégrale sur [0; H] dans l’équation (IV.5) se simplifie, donnantrext≈
Rt
0drTRIPOLI(t 0
zBCS(t) = −12 1 − ρf ρBCS gt2+ zBCS0 (IV.8)
La cote est ainsi mise à jour dès l’instant de chute des BCS dans le métamodèle de réactivité extérieure présenté précédemment. Cela permet de prendre en compte la chute des barres dans l’évolution de réactivité extérieure dans le cœur.
IV.2.3 Calcul de l’apport en réactivité des contre-réactions
IV.2.3.1 Expression des contre-réactions
Les variations de géométrie dans le cœur (issues de l’activation des modèles de thermo- mécanique), de températures et donc des propriétés de chaque milieu contribuant à l’apport d’anti-réactivité dans le cœur, voire des coefficients d’anti-réactivité, nécessitent un calcul des réactivités par méthode différentielle :
rCR(t) =
Z t
0 δrCR =
Z t
0 ACR(t
0)(Y(t0) − Y(t0−dt0)) (IV.9)
Où ACRest le coefficient d’anti-réactivité et Y2est le champ scalaire (température, densité etc.)
gouvernant l’insertion de réactivité due à la contre-réaction. On calcule alors ces contributions, dans chaque maille radiale de chaque maille axiale et dans chaque assemblage combustible, conformément aux équations (II.90), (II.97), et (II.95). Les contributions de l’assemblage i s’écrivent alors : δrdopi = n(i) nt Fxydop(i) nz X iz=1 Fzdop(i) nr X ir=1 Adop q Tef f(t,iz,ir) − q Tef f(t − dt,iz,ir) V m Vi δrdili = n(i) nt Fxydil(i) nz X iz=1 Fzdil(i) Amod βl (1 − α) 2πrge(t,iz)drge c2− πrg2e(t,iz) δrmodi = n(i) nt Fxymod(i) nz X iz=1 Fzmod(i) Amod ρlβl ((1 − α(t,iz))dρl−dαρl(t,iz)) (IV.10a) (IV.10b) (IV.10c)
Avec δrdopi, δrdili et δrmodi sont respectivement les contre-réactions liées à l’effet Doppler,
la dilatation des matériaux et les effets modérateur3 (cf. chapitre II). n(i) est le nombre de
crayons dans l’assemblage i, ntle nombre total de crayons dans le cœur. nz est le nombre total
de mailles axiales, et nr le nombre de mailles radiales. Des facteurs de forme de contre-réactions
apparaissent : FxyCR et FzCR. La raison de leur existence est la même que celle menant à la
pondération de l’insertion de réactivité (cf. §IV.2.1). Leur expression sera détaillée par la suite. Les contributions de chaque assemblage sont ensuite intégrées sur tout le cœur.
R
emarque :Ces équations n’existaient pas en l’état dans CATHARE. Les développements qui ont été faits dans PALANTIR sont donc les suivants :
— utilisation d’une méthode différentielle pour le calcul des contre-réactions ; — ajout de la contre-réaction de dilatation de gaine ;
2. Prononcer “Yod” 3. dilatation et vaporisation
— calcul de l’anti-réactivité Doppler par maille radiale (dans CATHARE, le calcul se faisait sur la base d’une température moyenne dans la pastille) ;
— application des facteurs de forme de contre-réaction.
IV.2.3.2 Valeur des coefficients d’anti-réactivité
Comme vu précédemment, les coefficients d’anti-réactivité peuvent être variables, dépendant de la quantité d’absorbants dans le cœur, de la température des différents milieux etc. Le coefficient modérateur Amod a pour valeur [55] :
Amod= −2 · 0,1172 · Tpiscine+ 0,109 pcm/K (IV.11)
Où Tpiscine est la température de la piscine de CABRI en °C.
Le coefficient d’anti-réactivité Doppler présente des variations importantes en fonction de la température du combustible et de la quantité d’absorbants. Une valeur usuellement retenue pour ce coefficient est -103 pcm/K1/2. En réalité, ce coefficient varie de plus de 10 % sur les
gammes de température de combustible de CABRI. Un métamodèle a alors été développé afin de capturer ces variations [15]. Le calcul de l’anti-réactivité Doppler peut donc se faire selon plusieurs options dans PALANTIR : à coefficient constant ou avec le métamodèle, reproduisant la variation du coefficient.
IV.2.3.3 Calcul des facteurs de forme de contre-réaction
Le calcul des contre-réactions est pondéré par des facteurs de forme, FxyCR et FzCR, qu’on
appellera respectivement “nappe” et “profil” de contre-réaction. Leur nécessité apparait dans la théorie des perturbations rappelée en eq. (IV.2). La démonstration de l’expression des nappe et profil de Doppler a été réalisée en annexe D. Cette démonstration s’appuie sur la théorie des perturbations à un groupe d’énergie (monocinétique), pour un milieu faiblement absorbant et un réacteur à eau légère. Elle cherche donc à faire le lien entre variation de section efficace d’absorption de l’238U et variation de température du combustible, et à partir de là en déduire
l’expression de l’anti-réactivité Doppler. Pour cela, elle utilise l’expression de l’intégrale effective calculée pour un réacteur à eau, issue de [4].
Cette démonstration donne les conclusions suivantes :
Fzdop = F 2 z Fxydop = F 2 xy (IV.12a) (IV.12b)
De surcroît, elle permet d’obtenir une valeur analytique du coefficient d’anti-réactivité Doppler de -139 pcm/K1/2, proche de celle calculée pour CABRI : -103 pcm/K1/2, ce qui suggère que
les approximations réalisées dans l’analyse présente en annexe D restent cohérentes avec le cas de CABRI4.
Concernant les autres contre-réactions, la démonstration n’a pas été réalisée. Étant donné la faible importance avérée de ces contre-réactions (cf. chapitre III), leur influence sera très négli- geable. Il est cependant d’usage de les prendre également proportionnels au carré des facteurs de forme de flux.