2.3 RATRAN
2.3.2 Calcul de la population des niveaux d’´energie : AMC
Le but de la premi`ere partie du code RATRAN, AMC (pour Accelerated Monte-Carlo) est de d´eterminer la population des niveaux d’´energie de la mol´ecule qu’on souhaite ´etudier `a partir du champ de radiation pr´esent dans chacune des cellules de la grille du mod`ele. Mˆeme si la plupart des informations qui suivent figurent d’ors-et-d´ej`a dans l’article de Hogerheijde et van der Tak (2000), il nous semble important d’en reporter ici les grandes lignes pour mieux cerner la fa¸con dont RATRAN traite ce probl`eme.
2.3.2.1 Transfert radiatif mol´eculaire
Tout d’abord, rappelons l’´equation du transfert radiatif de base : dIν
o`u Iν est l’intensit´e le long du chemin optique, αν le coefficient d’absorption et jν
l’´emissivit´e `a la fr´equence ν. Le code prend en compte le fait que ces deux derniers coefficients peuvent ˆetre scind´es en une composante provenant de la poussi`ere et une autre provenant du gaz mol´eculaire :
jν = jν,gas+ jν,dust (2.20)
αν = αν,gas+ αν,dust (2.21)
Il est `a noter que le code RATRAN ne prend pas en compte la diffusion, en la supposant n´egligeable aux longueurs d’onde plus grandes que celles de l’infrarouge moyen. Dans les Equations 2.20 et 2.21, la contribution venant de la poussi`ere peut ˆetre ais´ement obtenue `a partir des lois de Planck :
jν,dust = αν,dustBν(Tdust) (2.22)
αν,dust = κνρdust (2.23)
o`u κν est l’opacit´e de la poussi`ere en cm−2·g−1 et ρdust est la densit´e massique de poussi`ere. Suivant les instructions que l’utilisateur fournira au code, ce dernier pourra choisir entre les diff´erentes valeurs de κν issues des travaux de Ossenkopf et Henning (1994); Draine et Lee (1984) et Mathis et al. (1977).
Les contributions venant du gaz sont, quant `a elles, plus complexes. Elles sont li´ees `a l’´emission et `a l’absorption de photons entre niveaux d’´energie rotationnels de la mol´ecule ´etudi´ee. La diff´erence d’´energie ∆E entre deux niveaux correspond `a une fr´equence au repos ν0 pr´ecise et ´egale `a ∆E/h o`u h est la constante de Planck. Si on consid`ere un grand ensemble de mol´ecules, celles-ci vont peupler les diff´erents niveaux d’´energie en fonction du champ de radiation auquel elles sont soumises et des collisions avec les autres mol´ecules (principalement H2). En prenant le cas particulier de deux niveaux u et l peupl´es par nu et nl mol´ecules les coefficients d’´emission et d’absorption sont donn´es par :
jν,gas = hν0
4πnuAulφ(ν) (2.24)
αν,gas = hν0
4π (nlBlu− nuBul) φ(ν) (2.25)
Les coefficients d’Einstein Aul, Bluet Bul d´ecrivent la probabilit´e d’´emission spontan´ee, d’absorption ou d’´emission stimul´ee de photons entre les deux niveaux u et l (pour upper et lower, soit respectivement niveaux haut et bas). Ces coefficients d´ependent de la mol´ecule et doivent ˆetre introduits dans le code via un fichier externe. Le coefficient φ(ν) d´ecrit la distribution en fr´equence de l’´emission ou de l’absorption due `a l’´elargissement Doppler issu des mouvements turbulents des mol´ecules. Il s’agit d’une distribution gaussienne piqu´ee autour de ν0 :
φ(ν) = c bν0√πexp −c 2(ν − ν0)2 ν2 0b2 (2.26) (2.27) o`u c est la vitesse de la lumi`ere. On retrouve ici le param`etre b d´ecrit par le mot-cl´e db dans le fichier de description du mod`ele.
2.3. RATRAN 41 Le dernier facteur intervenant dans la population des niveaux d’´energie est l’en-semble des collisions entre les mol´ecules du gaz. Dans le milieu interstellaire le princi-pal collisionneur est l’hydrog`ene mol´eculaire H2. La collision d’une mol´ecule avec cette derni`ere est d´ecrite par les taux de collision Clu et Cul, qui traduisent la probabilit´e que la mol´ecule passe de l’´energie El`a Eu (et vice versa) apr`es une collision. En dehors de la nature mˆeme de la mol´ecule, ce taux d´epend principalement de la temp´erature et de la densit´e du milieu. Ces taux sont calcul´es ind´ependamment et regroup´es sous forme de base de donn´ees. En ce qui nous concerne, nous avons travaill´e avec la base du NASA-JPL5 (pour les coefficients d’Einstein uniquement) et avec les bases BASECOL6
et LAMDA7 (coefficients d’Einstein et taux de collisions).
2.3.2.2 Equilibre statistique des populations de niveau´
Lorsque l’´equilibre statistique est atteint, la population de chaque niveau d’´energie ne varie pas dans le temps. Si on prend un ´etat d’´energie El, le nombre de mol´ecules quittant cet ´etat doit ˆetre ´egal au nombre de mol´ecules qui le rejoignent. Le nombre de mol´ecule qui quittent, par seconde, le niveau El par ´emission spontan´ee vers un niveau d’´energie inf´erieur est :
nl
X
k<l
Alk (2.28)
Elles peuvent aussi le quitter par ´emission stimul´ee : nl
X
k6=l
BlkJν (2.29)
ou apr`es une collision :
nl
X
k6=l
Clk (2.30)
Ici Jν repr´esente l’intensit´e sp´ecifique moyenne `a la fr´equence ν. Nous reviendrons plus tard sur ce terme qui est `a la base du d´eroulement du code. Le raisonnement tenu pr´ec´edemment peut ˆetre ´etendu pour les mol´ecules qui atteignent le niveau l en provenance d’un niveau quelconque k. Cependant on doit bien faire attention `a ce que le terme nk rentre dans la somme. La conservation du nombre de mol´ecule peut donc ˆetre traduite au final par :
nl " X k<l Alk+X k6=l (Blk,νJν + Clk) # =X k>l nkAkl+X k6=l nk(Bkl,νJν + Ckl) (2.31)
Cette ´equation peut ˆetre facilement mise sous forme matricielle et ˆetre r´esolue par un syst`eme d’inversion de matrice. Cependant, mˆeme si les coefficients d’Einstein peuvent ˆetre connus `a l’avance, ce n’est pas du tout le cas de l’intensit´e sp´ecifique moyenne Jν pr´esent dans la cellule. En effet, le champ de radiation moyen d´epend lui-mˆeme de l’´emission mol´eculaire `a travers jν,gas, et donc de la population des niveaux d’´energie mol´eculaires. Nous sommes ici en pr´esence d’un syst`eme.
5
NASA Jet Propulsion Laboratory – Molecular Spectroscopy : http ://spec.jpl.nasa.gov/
6
Catalogue en ligne disponible `a : http ://basecol.obspm.fr/
7
Leiden Atomic and Molecular Database – mise en forme adapt´ee `a RATRAN : http ://www.strw.leidenuniv.nl/ moldata/
2.3.2.3 R´esolution du syst`eme, m´ethode de Monte-Carlo
Un des algorithmes possibles permettant de r´esoudre ce syst`eme consiste `a it´erer `a partir d’un ensemble de populations initial. On consid`ere que le syst`eme est r´esolu si, entre deux it´erations i et i + 1, la moyenne des variations des populations est inf´erieure `a un crit`ere de convergence pr´ed´efini ε :
1 N N X k=1 (nk,i− nk,i+1) < ε (2.32) `
A chaque it´eration l’intensit´e sp´ecifique moyenne Jν =R IνdΩ/4π dans une cellule est ´evalu´e en prenant N photons venant depuis l’infini8 jusqu’`a cette cellule. Une bonne m´ethode d’´evaluation de Jν consiste `a choisir une distribution al´eatoire des orientations de chacun de ces photons, soit une m´ethode dite de Monte-Carlo. Le code fait alors un calcul de transfert radiatif direct sur chacune de ces lignes de vis´ee afin de d´eterminer Jν.
Pour optimiser la convergence de cette m´ethode, qui peut ˆetre particuli`erement longue dans le cas de mod`eles optiquement tr`es ´epais, le code RATRAN effectue son calcul en deux temps :
– d’abord Jν est d´etermin´e `a N constant, pour converger vers `a une premi`ere sta-bilit´e de la population des niveaux d’´energie dans l’ensemble du mod`ele,
– ensuite la valeur de Jν est affin´ee en multipliant N par deux dans les cellules o`u le crit`ere de convergence n’a pas ´et´e atteint, jusqu’`a ce qu’il le soit dans chacune d’elle.
2.3.2.4 Param`etres d’entr´ee
Le code AMC est pilot´e `a partir d’un fichier d’entr´ee principal unique qui contient toutes les instructions n´ecessaires aux calculs de la population des niveaux d’´energie d´ecrits pr´ec´edemment. Le code se lance avec le nom de ce fichier comme unique argu-ment (par exemple > amc fichier.inp). Les instructions font r´ef´erence `a des mots-cl´es pr´ecis, s´epar´es des param`etres correspondants par le signe « = » (cf. Figure 2.3 et Table 2.3).
Une fois que AMC a fini de calculer les populations des niveaux d’´energie dans chacune des cellules, celles-ci sont report´ees dans un fichier de sortie (fichier .pop) qui pourra ˆetre utilis´e par le code SKY de RATRAN permettant de recr´eer des cubes de donn´ees comparables `a de v´eritables observations (apr`es un traitement ad´equat).