Calcul de la longueur de diusion

Maintenant que nous avons atteint une très grande précision dans la modélisation du potentiel de l'état 15_Σ+

g, nous pouvons nous attaquer au coeur du problème. Une approche

semi-classique permettant de décrire facilement la relation entre la longueur de diusion et le potentiel moléculaire a été présentée au paragraphe 2.1.3. Bien qu'elle donne de très bons résultats, nous allons utiliser ici une approche complètement quantique basée sur la relation

2.11. Un calcul des longueurs de diusion décrivant les interactions entre diérents isotopes de l'hélium métastable sera également présenté.

2.6.1 Approche quantique

Cette méthode est celle utilisée pour le calcul de la longueur de diusion dans les travaux [47] et [13].

Le décalage de phase, δ0 pour la diusion des ondes s est calculé à des énergies de l'ordre

du nano-Hartree soit directement à partir de la forme asymptotique, soit grâce à l'identité tan δ0 = 2m ~2k ˆ ∞ 0 sin(kr)V (R)R(R)dr (2.69)

où V(R) est le potentiel et R(R) la partie radiale de la solution de l'équation de Schrö- dinger avec la normalisation

lim

R→∞R(R) = sin(kR) + tan δ0cos(kR) (2.70)

Les deux résultats coïncident avec au moins 7 chires signicatifs. Les diérentes valeurs obtenues pour tan δ0/k sont ensuite ajustées et extrapolées vers l'énergie nulle pour donner

une valeur de la longueur de diusion, comme montré sur la gure 2.7.

L'approche semi-classique, présentée dans le paragraphe 2.1.3, donne également des ré- sultats très corrects et parfaitement comparables.

2.6.2 Longueur de diusion de

He

L'estimation de la longueur de diusion entre deux atomes d'hélium 4 métastable à gran- dement évoluée depuis 2001. Des méthodes théoriques et expérimentales se sont développées parallèlement en vue de sa détermination ( voir tableau 2.15).

Les premières estimations expérimentales ([11, 12]) étaient largement insusantes (pré- cision de l'ordre de 50%), c'est ce qui motiva la recherche d'une approche théorique. Les premiers calculs furent eectués par Gadéa et al. [13, 48] à partir des potentiels ab initio obtenus avec les base B, C et D présentées au paragraphe 2.2.3. Ces estimations étaient assez imprécises et avaient une incertitude dicile à évaluer. Le calcul eectué par Przybytek et Jeziorski en 2005 [32] (présenté au paragraphe 2.2.4) donne a = 7.64 ± 0.20 nm. C'est une valeur très précise en comparaison avec les données fournies par les autres approches théo- riques et expérimentales de l'époque. Ils ont ainsi montré que l'énergie de dissociation était fortement sous-estimée ce qui entraînait une sur-estimation de la longueur de diusion.

Tab. 2.15: Estimations expérimentales et théoriques de la longueur de diusion de 4_He∗ _(en nm). Déterminations théoriques Gadéa et al., 2002, [13] 15.4 Dickinson et al., 2004, [48] 12.2+0.0 −4.2 Przybytek et al., 2005, [32] 7.64 ± 0.20 Ce travail 7.53 Déterminations expérimentales

Robert et al. (Groupe d'Orsay), 2001, [11] 20 ± 10

Pereira Dos Santos et al. (Groupe de Paris), 2001, [12] 16 ± 8

Seidelin et al. (Groupe d'Orsay), 2004, [49] 11.3+2.5

−1.0

Tol et al., 2004, [50] 10 ± 5

Kim et al., (Groupe de Paris), 2005, [51] 7.2 ± 0.6

Moal et al. (Groupe de Paris), 2006, [52] 7.512 ± 0.005

Fig. 2.7: Méthode d'extrapolation de la longueur de diusion : on calcule les valeurs tanδ0/k

pour les faibles valeurs de k et on extrapole les résultats vers l'énergie nulle an d'avoir la valeur de a. 8.6 8.4 8.2 8.0 7.8 7.6 a=7.53 7.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 a (nm) E (nano-Hartree) fit tan δ₀/k

Cette valeur est en bon accord avec celle obtenue par l'expérience de Kim et al . en 2005 [51] avec a = 7.2 ± 0.6 nm. Puis l'expérience faite par Moal et al. en 2006 [52] fournit une nouvelle estimation avec cette fois une incertitude extrêmement faible (a = 7.512 ± 0.005 nm), bien plus précise que le meilleur calcul théorique.

Ce travail de thèse débuta peu avant la publication des résultats de Przybytek et Je- ziorski, il a donc été nécessaire d'adapter la précision des calculs à l'amélioration continuelle des résultats. A ce jour, notre meilleur approche donne une longueur de diusion de 7.53 nm. Le potentiel utilisé est celui présenté dans le paragraphe 2.5.4. L'incertitude est délicate à déterminer, cependant peu d'approximations ont été faites. La partie répulsive du potentiel décrite par une forme analytique pourrait engendrer une légère sous-estimation de l'intégrale d'action (et donc une sur-estimation de a). Il peut également y avoir encore une légère incer- titude sur les corrections adiabatiques et relativistes qui sont ici supposées se compenser à la dissociation, ce qui n'est pas forcément le cas pour tous les points de la courbe de potentiel. La valeur de a obtenue est légèrement supérieure à la meilleure mesure expérimentale ce qui conrmerait bien la légère sur-estimation due à la mauvaise description de la partie répulsive.

2.6.3 Longueur de diusion d'autres isotopes de He

Ces calculs de longueur de diusion ont pu facilement être étendus aux autres isotopes de l'hélium [48]. La diusion de 3_He∗ _{pur présente un intérêt important pour l'étude de gaz}

de Fermi dégénérés (voir par exemple [53]). De plus l'étude des collisions entre diérents isotopes, 3_He∗₋4_He∗ _{joue un rôle important pour le refroidissement de} 3_He∗ _par 4_He∗_.

Potentiels utilisés

Un premier calcul de ces longueurs de diusion a été eectué en 2004 par Dickinson et al. [48]. La méthode employée utilise les mêmes bases et les mêmes approches de calcul que celles décrites au paragraphe 2.2.3. Trois potentiels diérents ont été utilisés an de déterminer des limites supérieures et inférieures aux longueurs de diusion.

Le premier (potentiel I) est obtenu à partir d'un calcul MRCI à 12 orbitales actives combiné à la base D pour des séparations inter-atomique R < 23 a0; pour les distances

supérieures une forme analytique utilisant les coecients de dispersion C6, C8 et C10 est

employée [26].

Le second (potentiel II) est obtenu par un calcul CCSD(T) adjoint aussi à la base D. La procédure employée est la même que précédemment. Cette approche donnant un puits moins profond d'environ 3 cm−1 _{par rapport au potentiel I, on s'attend à obtenir une intégrale}

d'action plus faible et donc de plus grandes valeurs des longueurs de diusion.

Enn le potentiel III avait été développé an de constituer une limite basse pour a. Il avait été estimé que le meilleur potentiel possible ne diérerait pas plus du potentiel I que

celui-ci ne dière du calcul MRCI utilisant la base C. Par conséquent, le potentiel III est déni par 2VD _{− V}C où VD est obtenu à partir de la base D et VC de la base C.

Ici, nous avons employé le potentiel calculé avec un grand MRCI et la base H pour les valeurs de R comprises entre 7.2 a0et 30 a0et le potentiel analytique de Przybytek et Jeziorski

pour R < 7.2 a0. Pour les distances supérieures à 30 a0, une forme analytique utilisant les

coecients de dispersion est employée. Première étude semi-classique.

La longueur de diusion semi-classique est déterminée à partir de l'intégrale d'action Φ, dénie par (2.33). La valeur de Φ nous permet de déterminer le nombre total de niveaux ro-vibrationnels par la relation (2.34). On introduit n−m_Φpour les valeurs de Φ, µ

n−m pour

les masses réduites et n−m_{a pour les longueurs de diusions correspondant aux diusions} n_He∗₋m_He∗_{(n, m = 3, 4). Les intégrales d'action peuvent être facilement reliées entre elles}

à partir de la relation (2.33) : 4−4_{Φ = 14.717π d'après (2.34)} ⇒ 3−3_{Φ = 14.717π}r µ3−3 µ4−4 = 12.776π ⇒ 3−3_aSC _{= 4.86nm} De même 3−4 Φ = 14.717πr µ3−4 µ4−4 = 13.644π ⇒ 3−4_aSC _{= 30.23nm}

On voit tout de suite en utilisant la relation (2.34) que alors que le potentiel 4_He∗ ₋4

He∗_{comportait 15 niveaux ro-vibrationnels, il n'y en a plus que 13 pour le potentiel}3_He∗₋3_He∗

et 14 pour3_He∗₋4_He∗_{. Dans ce dernier cas, le 14}me_{niveau est très faiblement lié et les premiers}

calculs eectués avec les potentiels I et II ne détectaient pas sa présence. Notons également que toutes les longueurs de diusion étudiées sont largement positives.

Calcul quantique des longueurs de diusion

Le calcul est le même que celui présenté au paragraphe 2.6.1. Il sut juste de remplacer, dans les paramètres d'entrée du code utilisé, la masse réduite µ4−4 par celle correspondant à

Les valeurs quantiques et semi-classiques des longueurs de diusion, pour chaque cas, obtenues avec les potentiels I, II, III et IV sont répertoriées dans le tableau 2.16.

Tab. 2.16: Longueurs de diusion (en nm) calculées selon les approximations quantiques (Q) ou semi-classiques (SC), pour diérentes combinaisons de masse.

4-4 3-4 3-3 Potentiel Q SC Q SC Q SC I 12.17 12.44 -25.86 -27.84 6.01 5.98 II 16.52 17.23 -14.07 -14.58 6.67 6.62 III 8.06 8.11 45.77 42.06 4.98 5.00 IV 7.53 7.64 27.70 30.21 4.81 4.86

Il apparaît alors que toutes les longueurs de diusion calculées avec les potentiels I, II et III sont largement sur-estimées. Le potentiel exact n'était alors pas supposé aussi profond. La valeur obtenue avec le potentiel IV pour la longueur de diusion3−4_{aconrme la présence d'un}

14me _{niveau ro-vibrationnel. Bien que moins importante que prévue celle-ci reste largement}

positive