3) Calcul de la dose

II-3-1) Cas d’un faisceau parallèle monoénergétique

Considérons sur la figue I-16 un parallélépipède d’épaisseur ∆x, de surface ∆S, de masse ∆m constitué d’un matériau de masse volumique ρ et un faisceau de N particules incidentes monoénergétiques d’énergie E. N particules incidentes énergie E N particules sortantes énergie E-∆E épaisseur ∆x surface ∆S

Figure I-16 : schéma illustrant un dépôt d’énergie ∆E dans un matériau d’épaisseur ∆x, de surface

∆S de masse volumique ρ par un faisceau de N particules irradiantes identiques monocinétiques d’énergie E et dont la trajectoire est linéaire.

D’après la relation (I-11) définissant la dose absorbée, on a D=(∆E_abs)_moyen ∆m, or ∆Eabs=N*∆E et ∆m=∆S*∆x*ρ. D’où en introduisant la fluence ϕ=N/S (nombre de particules irradiantes reçues par l’échantillon et par unité de surface) et le pouvoir d'arrêt massique :

ϕ ×       = ρ = massique , e dx dE SdX NdE D (I-12)

En exprimant le pouvoir d’arrêt massique en MeV.mg^-1.cm² et la fluence en cm^-2, la dose peut se calculer à partir de la formule suivante :

Chapitre 1 : interaction rayonnement – matière ________________________________________________________________________________________________ parallèle et monoénergétique (ceci implique qu’on néglige les fluctuations de pertes d’énergie autour de la valeur moyenne de perte d’énergie ∆E). Ce cas est particulièrement adapté au faisceau d’ions du GANIL. En revanche, pour les électrons, la formule (I-13) est incorrecte. En effet nous avons vu que les électrons sont des particules qui subissent de fortes déviations. De plus, contrairement aux ions, les fluctuations de pertes d’énergie sont importantes. En conséquence, pour calculer rigoureusement une dose pour des électrons incidents, il faudrait doublement intégrer la formule (I-14) en énergie et en angle solide. En pratique ces calculs sont impossibles et la simulation numérique, que nous présenterons, s’avère indispensable.

II-3-2) Calcul de la dose pour une irradiation aux électrons

Pour les raisons que nous avons précisées précédemment, nous avons utilisé un logiciel de calcul Monte-Carlo, PENELOPE (PENetration and Energy LOss of Positrons and Electrons in matter) dont il s’agit de décrire rapidement les caractéristiques principales.

a) Description sommaire de PENELOPE

PENELOPE est un code de calcul Monte-Carlo permettant de calculer les dépôts d’énergie dans la matière par les électrons, les positrons et les rayonnements électromagnétiques. Les énergies vont de 100 eV à 1 GeV pour les électrons et les positrons et de 1 keV à 1 GeV pour les photons. Les interactions de ces particules avec la matière sont prises en compte quantitativement par des modèles de sections efficaces adéquates dont l’aspect qualitatif a été décrit dans la première partie. La contribution très importante des particules secondaires émises (électrons et photons) est également prise en compte. La particularité de ce logiciel est d’être mixte. En effet, au-delà de quelques dizaines de keV, le nombre des interactions électron-matière à simuler serait rapidement beaucoup trop important et le temps de calcul beaucoup trop long. Pour s’affranchir de cela, PENELOPE utilise la théorie des diffusions multiples qui permet de réduire considérablement le temps de calcul tout en donnant des résultats corrects. Schématiquement (figure I-17), il s’agit entre deux interactions conduisant à un fort angle de diffusion (paramètre réglable par l’utilisateur) de réduire le nombre des interactions à faible angle de diffusion (les plus nombreuses) à une seule.

Chapitre 1 : interaction rayonnement – matière ________________________________________________________________________________________________ longueur τ Interactions à petits angles de diffusion Interactions à grand angle de diffusion

θ : tiré selon la loi de distribution G(θ, τ)

Figure I-17 : réduction du nombre d’interactions à calculer à partir de la théorie des diffusions multiples dans le logiciel PENELOPE [BAR.95].

La théorie des diffusions multiples donne en effet la loi de probabilité G(θ,τ) d’avoir une diffusion d’angle θ entre deux interactions distantes spatialement de τ. La combinaison avec une autre loi de probabilité concernant cette fois, non plus les angles de diffusion mais les pertes d’énergie, permet d’avoir dans un temps de calcul raisonnable la distribution spatiale des dépôts d’énergie correcte ainsi que d’autres grandeurs comme, par exemple, le spectre de distribution en énergie déposée. L’utilisateur a ainsi, suivant l’énergie de la particule incidente, la possibilité d’ajuster le degré de détail de description de la trajectoire de la particule, ce qui permet de travailler dans des temps raisonnables tout en ayant une bonne précision sur les résultats de la simulation.

b) Calcul de doses à partir de PENELOPE

PENELOPE dispose de deux programmes principaux : dans le premier, PENLAYER, la géométrie possible est uniquement constituée de plans infinis parallèles. L’utilisateur définit donc successivement les couches de matériaux qui vont être traversées ainsi que leur épaisseur. Le logiciel donne, entre autre, comme résultat, la variation du pouvoir d’arrêt dans chaque matériau en fonction de leur épaisseur, avec un certain pas. Dans le second programme, PENDOSES, la géométrie est définie analytiquement par l’utilisateur à partir de quadriques (plans, cylindres, sphères). On peut ainsi parvenir à modéliser des géométries compliquées, ce qui n’était pas possible pour le programme PENLAYER. En contrepartie, les résultats fournis par PENLAYER concernant

Chapitre 1 : interaction rayonnement – matière ________________________________________________________________________________________________ Il faut cependant avoir à l’esprit que les calculs de dose, et en particulier des profils de dose (c’est à dire la dose en fonction de l’épaisseur du matériau), dans les deux programmes peuvent conduire à des résultats différents. En effet nous avons vu que les électrons subissent, contrairement aux ions, un très grand nombre de diffusions dans la matière. Il en résulte une différence entre le calcul de la dose pour une succession de plans infinis d’épaisseurs données et une succession de plans de surfaces (non infinis) et d’épaisseurs données. Le schéma de la figure I-18 éclaire cette distinction.

Plan 2 Surface S2 Plan 1 Surface S1 Plan 2 Plan 1 D O S E D O S E EPAISSEUR EPAISSEUR plans infinis (1) calcul programme PENLAYER plans surface S1 et S2 (2)

calcul programme PENDOSES Figure I-18 : origine des différences observées dans le calcul des doses avec le logiciel PENELOPE. Le schéma (1) correspond à une succession de plans infinis (géométrie PENLAYER) tandis que le schéma (2) à des plans de surface S1 et S2 (géométrie définie dans PENDOSES).

Cette figure présente deux exemples de modélisation de couches de matériaux identiques mais l’une avec des plans infinis et l’autre avec des plans de surface S1 et S2, ce ne qui correspondrait évidemment plus à une situation expérimentale. A la sortie de la première couche, les électrons

Chapitre 1 : interaction rayonnement – matière ________________________________________________________________________________________________ transmis sont fortement diffusés ce qui entraîne une dissymétrie entre la géométrie (1) et la géométrie (2). En effet pour cette dernière, seule une partie des électrons atteint l’échantillon, ceux ayant les angles de diffusion les plus faibles. Pour la géométrie (1) au contraire le plan étant infini, tous les électrons transmis à n’importe quel angle de diffusion sont à comptabiliser. Or les électrons ayant le plus fort angle de diffusion contribuent à augmenter le dépôt d’énergie en surface. La géométrie (2) induit donc un profil de dépôt d’énergie différent de celui de la géométrie plane infinie et ceci uniquement à cause de la forte diffusion subie par les électrons.

En conclusion, il vaut donc mieux modéliser les géométries de manière la plus réaliste possible, c’est à dire avec le programme PENDOSES. Dans ce cas, on peut alors calculer très simplement les dépôts d’énergie en fonction de l’épaisseur du matériau traversé. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que cela peut conduire à des dépôts d’énergie hétérogènes.