Chapitre 4 Cadre de modélisation M-THIS basé sur le formalisme EPC
5.5 Cadre d’analyse d’un réseau Net-THIS
Nous allons présenter dans cette section une méthode d’analyse, qualitative et quantitative, permettant d’analyser n’importe quel réseau Net-THIS. Nous proposons dans un premier temps une procédure de renumérotation de l’ensemble des transitions appartenant à un réseau Net-THIS dans le but de vérifier certaines propriétés qualitatives telles que le blocage/non blocage du réseau. Pour ce qui est de l'analyse quantitative, nous proposons une approche basée sur l'algèbre (max, +). Plus précisément, nous vérifions des propriétés quantitatives telles que le respect d'une date cible (date de début d'une activité de soins par exemple) pour terminer enfin par une évaluation des performances quantitatives telles que les temps de cycle moyens.
5.5.1 Vérification de propriétés qualitatives
Sur la base des propriétés 1-4 présentées en 5.2, nous pouvons affirmer qu’un réseau Net-THIS possède toutes les propriétés qualitatives désirées si et seulement si le réseau est acyclique. Pour vérifier cela, nous proposons un algorithme permettant de renuméroter l'ensemble des transitions d’un réseau Net-THIS, en faisant en sorte que l'index d’une transition soit plus petit que l'index de chacune des transitions qui la précèdent.
Algorithme 2. Renumérotation des transitions d’un réseau Net-THIS
Etape 1. Initialisation : T = ensemble de transitions, pred(t) = Ensemble de transitions précédant immédiatement la transition t, n = 1;
Etape 3. Si t* n’existe pas, alors Fin de la procédure et toutes les transitions de T sont des transitions mortes ;
Etape 4. Si t* existe, alors étiqueter t L(t*) = n et enlever t* de T et pred(t) ; Etape 5. Si T ≠ Ø, alors n ← n+1 et aller à l’étape 2.
Etape 6. Si T = Ø, alors Net-THIS est acyclique.
5.5.2 Equations d’évolution issues de l’algèbre (max, +)
Etant donné que Net-THIS est un graphe d’événements, les dates de début de tir St et de fin de tir Ct
de n’importe quelle transition peuvent être déterminées par deux équations d’évolution issues de l’algèbre (max, +) comme suit :
' '
max
,
t t t pred tS
C
t
(1) ,
t tC
S
t
t
(2)Avec S1 = 0 et pred(t) = ensemble des transitions précédant immédiatement t.
Les équations d’évolution (1) et (2) peuvent être calculées, pour tout réseau Net-THIS acyclique, dans l'ordre de numérotation de transition de l'Algorithme 2.
Les deux principaux avantages de l'approche que nous proposons par rapport à l'approche habituelle qui repose sur la simulation à événements discrets sont d'abord une meilleure évolutivité, mais surtout un temps de calcul extrêmement réduit. En effet en appliquant l'approche basée sur l'algèbre (max, +), la simulation est réalisée en calculant instantanément toutes les dates de tir des transitions, tandis que la simulation à événements discrets exige de calculer tous les événements se produisant pendant la simulation.
5.5.3 Analyse du pire des cas
Cette sous-section tend à répondre à des questions telles que « est-ce qu’une transition t débute ou termine toujours à une date cible d* ? ». Pour ce faire, nous considérons un réseau Net-THIS avec un
intervalle de temps associé à chaque transition t. Nous appellerons ce type de réseau Interval Net-THIS. Définition 7 (Interval Net-THIS): Un réseau Interval Net-THIS est un couple (THIS, INT) où THIS est un Net-THIS net et INTt = [at, bt] est un intervalle de temps associé à toute transition t.
Pour tout Interval Net-THIS, soit ESt and ECt (LSt and LCt) les dates au plus tôt (au plus tard) de
début et de fin de tir pour une transition t. A partir des équations (1) and (2), St and Ct sont non
décroissants dans les temps de tir de transition θ(t). Par conséquent, ESt and ECt peuvent être
déterminés par le bais de l’algèbre (max, +), grâce aux équations d’évolution (1)-(2) avec θ(t) = at.
Un outil d’analyse des SITS basé sur une nouvelle classe de réseaux de Petri 101
Par conséquent, une transition t commence (s'achève) toujours avant une date cible d* si et
seulement si d* ≥ LS
t (d* ≥ LCt).
5.5.4 Temps de cycle moyen
Cette sous-section traite de l'évaluation de performance moyenne d’un Net-THIS possédant des temps de tir (ou durées d'activité) aléatoires. Pour ce faire, nous considérons un autre type de Net-THIS appelé Stochastic Net-THIS.
Définition 8 (Stochastic Net-THIS) : un réseau Stochastic Net-THIS est un couple (THIS, G) où THIS est un Net-THIS et Gt(x) est la fonction de distribution de probabilité pour le temps de tir d’une
transition.
Nous nous intéressons principalement à la date de fin de tir d'une transition puits. Pour cela, nous utilisons les équations d'évolution (1)-(2) de l’algèbre (max, +) afin de calculer la date de début de tir E[St] et de fin de tir E[Ct] de toutes les transitions t. Cela peut être évalué par le biais d'une variable
indépendante et identiquement distribuée pour les durées de tir, comme suit :
1 ˆ t t S S
(3)
1 ˆ t t C C
(4)Où St(ω) et Ct(ω) sont les dates de début et de fin de tir de la transition t dans le scénario ω. St(ω) et
Ct(ω) peuvent être calculés par le biais des équations d’évolution (1)-(2) de l’algèbre (max, +) avec θ(t)
= θ(t, ω). Les intervalles de confiance des indicateurs ci-dessus peuvent être déterminés par des techniques habituelles, telles que la loi t-student.
5.5.5 Fiabilité des dates de prise en charge des patients
Nous allons dans ce qui suit nous intéresser à l'évaluation de la fiabilité des dates de prises en charge en ce qui concerne les activités de consultations, de concertations pluridisciplinaires et de soins. La question nécessairement posée est la suivante : « quelle est la probabilité que toutes les informations médicales requises soient disponibles au moment d'une prise en charge prévue à la date d*? ».
Pour cela, nous utilisons un réseau Stochastique Net-THIS et calculons la probabilité suivante :
*
ˆ 1
t P St d St St
(5)Qui peut être calculée par simulation Monte Carlo comme suit :
*
1 ˆt 1 St d
(6)5.5.6. Implémentation du module « Analyse/Simulation » dans l’outil EVAL-THIS
Afin d’automatiser l’analyse des SITS, nous avons implémenté le module « Analyse/Simulation » qui permet d’évaluer la performance de n’importe quel SITS. Ce module prend en entrée un réseau Net- THIS et donne en sortie quatre indicateurs de performance (KPI) pour chaque Net-THIS simulé. Rappelons qu’un réseau Net-THIS décrit le fonctionnement d’un SITS dans le cadre de la prise en charge d’une sous-classe de patients.
Le module « Analyse/Simulation » permet comme son nom l’indique d’analyser qualitativement et quantitativement (par le biais de la simulation) un réseau Net-THIS comme suit :
(i) Vérification de propriétés qualitatives : telle que présentée en 5.5.1.
(ii) Evaluation de performance : sur la base de ce qui a été présenté dans la section précédente (de 5.5.2 à 5.5.5) l’outil d’évaluation de performance que nous proposons calcule automatiquement les indicateurs de performance suivant :
o Temps de cycle moyen (KPI1) : représente la durée moyenne d’un parcours de soins,
c.à.d. le temps qui s’écoule entre le moment où le patient est pris en charge au sein du territoire de santé et le moment où sa prise en charge s’achève (guérison, changement de territoire de santé ou décès).
o Pourcentage des patients pris en charge à temps (KPI2) : cet indicateur est calculé,
activité par activité, pour chacune des activités de santé de type consultation, concertation pluridisciplinaire ou soins.
o Pourcentage des patients pris en charge avec un retard (KPI3) : tout comme le
précédent, cet indicateur est calculé pour les activités de santé de type consultation, concertation ou soins.
o Retard moyen par activité de consultation/concertation pluridisciplinaire ou soins (KPI4) : calculé sur la base des patients n’ayant pas été pris en charge à temps.
Chacun de ces quatre indicateurs est calculé dans le pire des cas et dans le cas aléatoire.
Par ailleurs, l’outil EVAL-THIS que nous avons développé est open source : il peut être déployé sur n’importe quelle machine permettant d’exécuter un programme écrit en langage C. Ce qui constitue un avantage supplémentaire par rapport aux programmes de simulation qui sont développés à l’aide de logiciels de simulation commerciaux (ARENA, AnyLogic, etc.) et dont l’exploitation nécessite l’acquisition d’une licence qui peut être onéreuse.
Un outil d’analyse des SITS basé sur une nouvelle classe de réseaux de Petri 103