BI.1.1. Ecoulement de l’eau de surface dans le cours d’eau
La représentation complète des écoulements à surface libre en régime transitoire dans les trois dimensions est théoriquement obtenue par l’utilisation des équations de Navier-Stokes (Chow, 1964). Cependant, dans le cas des écoulements naturels, ces équations complexes ne peuvent pas être appliquées car elles nécessitent l’introduction de données difficilement accessibles dans la pratique et le recours à des moyens de calculs trop importants.
En hydraulique, les équations de Saint Venant en deux dimensions dans le plan horizontal (également appelées "shallow water equations" dans la littérature anglo-saxonne) sont souvent utilisées pour décrire les écoulements à surface libre dans les cours d’eau (Chow, 1964 ; Lencastre, 1995). Ces équations découlent de l'intégration verticale des équations de Navier- Stokes à trois dimensions dans le cas où la profondeur est faible par rapport à l’échelle horizontale de variation de la surface libre et de la vitesse. L’objectif de ce travail étant de modéliser les échanges à méso-échelle, les équations de Saint Venant en deux dimensions ont donc été choisies.
L’équation de continuité traduisant la conservation de la masse peut s’écrire: 0 y x q q h t x y Avec qx uH et qy vH (2.1)
dans laquelle t est la variable de temps, H (en m) est la profondeur du cours d'eau, h est le niveau de la surface libre (en m) par rapport 0 NGF (c’est à dire h=H+zfriv, où zfrivreprésente le fond du chenal, voir Figure 2.2), qx et qy sont les débits spécifiques sur les axes x et y (comme le modèle est intégré en 2D, ces deux variables s’expriment en m s2. 1), et u et v sont les vitesses respectives associées. Cette relation est accompagnée de deux autres équations (selon x et y) régissant l'équilibre des forces et des accélérations (équations de mouvement) :
( . / ) ( . / ) x y x x x x q q H q q q H F t x y
(2.2) ( . / ) ( . / ) y y x y y y q q q H q q H F t x y
(2.3)dans lesquelles Fx et Fy sont les composantes de force massique selon x et y qui rendent compte des effets de la rugosité et de la gravité. Lorsqu’on néglige les contraintes de Reynolds et les contraintes liées au vent, on peut écrire :
1/ 3 ² . x x n g q q h F gH x H
(2.4) 1/ 3 ² . y y n g q q h F gH y H
(2.5)où g est l’accélération gravitationnelle (m s2. 1), q est le module du débit par unité de largeur (m s2. 1) et n est le coefficient de frottement de Manning (comme le modèle est intégré en 2D, ce coefficient s'exprime en s m. 4 / 3).
La représentation des écoulements à l’aide de ces équations nécessite l’acceptation des hypothèses suivantes :
- la masse volumique de l’eau est constante ;
- il n'y a pas de flux d'eau sur la surface libre ; - la présence d'un fond imperméable ;
- les pertes de charge (turbulence, frottements) peuvent être représentées par un terme global : la force de résistance à l’écoulement. On évalue sa valeur par une formule de Chézy ou de Manning-Strickler (Lencastre, 1995).
BI.1.2. L’hydraulique en milieu poreux saturé
Les milieux poreux (sols et aquifères) sont des systèmes extrêmement complexes dans lesquels les trois phases naturelles sont présentes : la phase solide est représentée par les particules, la phase liquide par l’eau et la phase gazeuse par l’air. L’approche des hydrologues, centrée sur l’écoulement de l’eau, simplifie généralement la description du milieu poreux naturel : le squelette solide est considéré comme indéformable, seule compte la porosité connectée, constituée par l’arrangement des grains, siège de l’écoulement de l’eau et de l’air. Si le milieu comporte des vides interconnectés dans le sens de l'écoulement, on parlera d'un milieu continu. Le milieu poreux et le milieu finement fissuré sont continus par opposition aux milieux fissurés et karstiques, appelés milieux discontinus.
La loi dynamique qui décrit l’écoulement dans le milieu saturé est la loi de Darcy. En milieu anisotrope, et pour un fluide incompressible, cette loi s’écrit :
.
q K gradH
(2.6)
avec q le flux d’eau qui traverse une section donnée par unité de temps (m.s-1), K le tenseur de conductivité hydraulique (m.s-1), et gradH le gradient de la charge hydraulique. La conductivité hydraulique représente la constante de proportionnalité entre le débit et le gradient hydraulique dans la loi de Darcy. Elle représente l’effet de la résistance à l’écoulement de l’eau dû aux forces de frottement. Lorsque le sol est homogène et anisotrope, les valeurs de la conductivité hydraulique dans un système référentiel Oxyz s'expriment par un tenseur d’ordre 2 symétrique :
xx xy xz yx yy yy zx zy zz K K K K K K K K K K (2.7)
Lorsque les directions principales d’anisotropie sont les mêmes que les axes du référentiel Oxyz, les termes Kij=Kji (i ≠ j) sont nuls et le tenseur de la conductivité hydraulique devient diagonal. Le Tableau 2.1 qui suit illustre la conductivité hydraulique de plusieurs matériaux en fonction de leur texture (De Marsily, 1981). La distinction entre le domaine perméable et imperméable est généralement fixée à 10-9m.s-1.
Tableau 2.1. Conductivités hydrauliques pour différents matériaux (d'après De Marsily,1981).
Texture Conductivité hydraulique (m.s-1)
Galets et graviers sans éléments fins 10-2 Sables non argileux et graviers 10-2à 10-5
Sables fins et argileux 10-5à 10-9
Argiles franches 10-9à 10-13
Les écoulements souterrains tridimensionnels en milieu poreux saturé, anisotrope et hétérogène, pour des aquifères libres, captifs ou mixtes peuvent s'écrire selon l’équation de diffusivité suivante (McDonald et Harbaugh, 1988) :
(Kxx h) (Kyy h) (Kzz h) W Ss h
x x y y z z t
(2.8)
Dans laquelle x, y et z sont les coordonnées cartésiennes alignées le long des axes principaux de la conductivité hydraulique Kxx, Kyy, Kzz, (m.s-1), h (m) est la charge hydraulique qui dépend des variables spatiales et temporelles (h = h(x,y,z,t)), W (s-1) est le flux (débit) par unité de volume prélevé (ou apporté) dans le milieu poreux qui dépend des variables spatiales et temporelles (W = W(x,y,z,t)), Ss (m-1) est le coefficient d’emmagasinement spécifique (Specific Storage) qui dépend généralement des variables spatiales (Ss = Ss(x,y,z)), t est le temps.
Pour un aquifère saturé isotropique, homogène et non confiné, l'hypothèse de Dupuit– Forchheimer permet de réduire les équations tridimensionnelles aux équations bidimensionnelles de Darcy-Dupuit données parEquation Chapter 2 Section 1 (Bear, 1972) :
. . d y d H d h q K H y (2.10) ( . . ) ( . . ) d d d H d H d r h h h K H K H q t x x y y (2.11)
où KH est la conductivité hydraulique (m.s-1), Hd (m) est la hauteur de l'aquifère, hd est le niveau de la surface libre par rapport au 0 NGF (i.e. hd=Hd+zf, zf est le niveau de la couche imperméable par rapport au 0 NGF), qxdet qyd (m s2. 1) sont les débits spécifiques le long des axes x et y, qr est le terme de recharge de l'aquifère (
1
.
m s ) et est la porosité (adimensionnelle).
BI.1.3. Couplage des écoulements
Deux systèmes d'équations distincts décrivent les écoulements dans le cours d'eau (Saint Venant) et dans les sédiments (Darcy-Dupuit). Pour résoudre le problème il faut donc trouver une méthode pour les coupler. Comme expliqué dans le Chapitre 1, il existe une multitude de possibilités pour coupler les écoulements de surface et les écoulements en milieu poreux. Pour ce travail, la méthode de couplage directe proposée par Vanderkwaak (1999) et Vanderkwaak et Loague (2001) a été choisie.
Dans le cadre de cette thèse, les équations de Saint Venant et de Darcy-Dupuit en 2D horizontale sont couplées en imposant la continuité des niveaux d'eau (Eq. 2.12) et des flux (Eq. 2.13) sur la limite entre les deux domaines modélisés.
d
H H (2.12)
x x y y xd x yd y
q n q n q n q n (2.13)
Le modèle hydraulique couplé résultant calcule 3 variables inconnues pour chaque domaine (i.e. 6 variables en tout) : le niveau de la surface libre et les deux débits spécifiques selon les axes x et y. Nous discuterons de certaines limites de ces conditions dans les prochains chapitres de ce mémoire.
BI.1.4. Résolution numérique
Généralités sur la méthode des éléments finis
La résolution du problème étudié ici implique des équations aux dérivées partielles (EDP) pour les écoulements de surface et les écoulements souterrains. Dans le cas d'EDP ou de géométries simples, il existe parfois des solutions analytiques qui permettent de trouver une solution exacte au problème posé. Toutefois, dans les cas de géométries et équations plus complexes, il est impossible de trouver de telles solutions. Il est donc indispensable d'utiliser des méthodes approchées de résolution, telle la méthode des éléments finis.
D'une manière générale, la méthode des éléments finis peut être considérée comme une méthode d'approximation nodale par sous-domaine, chaque sous-domaine étant considéré comme élément fini. Cette technique de calcul numérique consiste à discrétiser le domaine étudié en sous-ensembles appelés éléments, connectés entre eux par des nœuds. Si les éléments finis sont généralement de forme triangulaire ou rectangulaire, des formes plus complexes sont également possibles (Figure 2.3). Leur ensemble forme ce que l'on appelle le maillage. Plus le maillage est "serré", plus la solution que l'on obtient par la méthode des éléments finis sera précise et proche de la "vraie" solution de l'EDP.
Mis à part le concept d'éléments finis, la formulation du problème est obtenue à partir de l'expression intégrale de l'EDP que l'on veut résoudre et de la méthode d'approximation choisie. Il existe également plusieurs classes de méthodes de résolution (solveur direct, solveur itératif...). Dans le cadre de cette thèse, les résolutions numériques ont été réalisées à l'aide du logiciel COMSOL Multiphysics et des outils associés.
Figure 2.3. Exemples de discrétisation spatiale A) du bassin de la rivière Altamaha à base d'éléments
finis quadrangulaires (extrait de Gunduz et Aral, 2005) et B) des domaines modélisés (colonne d'eau et fond poreux) par Cardenas et Wilson (2007) à base d'éléments finis triangulaires à l'aide du logicielCOMSOL Multiphysics.
Le logiciel COMSOL Multiphysics
COMSOL Multiphysics est un environnement de résolution de systèmes d'EDP couplées (langage de type Matlab) qui inclut une interface de type CAO, un mailleur, plusieurs types de solveurs, des outils de post-traitement, et qui permet une définition relativement libre des équations et de la physique du système. Ce logiciel présente plusieurs intérêts dans le cadre de ce travail de thèse.
- Il est particulièrement adapté à l'étude de systèmes couplés multiphysiques. Plusieurs exemples de couplage d'écoulements entre un milieu libre et un milieu poreux sont notamment disponibles dans la bibliothèque de modèles et les résultats obtenus par Cardenas et Wilson (2007) démontrent l'utilité de ce logiciel pour l'étude de la zone hyporhéique.
- L'interface de CAO permet d'entrer rapidement et de modifier la géométrie du système à modéliser.
A. B.
Colonne d'eau
- Plusieurs équations de mécanique des fluides sont préprogrammées dans le logiciel (modèle turbulent, Brinkman, Navier-Stokes, Darcy...) et peuvent permettre de faire des tests préalables sur le fonctionnement du système et le couplage des équations.
- Lorsqu'elle n'est pas disponible dans la bibliothèque de modèle, toute EDP (de type équation de conservation) peut être programmée et utilisée sous COMSOL.
- Plusieurs solveurs différents sont disponibles pour les problèmes stationnaires ou transitoires, linéaires ou non linéaires...
Les équations de Saint Venant et de Darcy-Dupuit retenues pour cette thèse n'étant pas proposées par le logiciel, nous les avons programmées à partir d'EDP de forme générale.
BI.1.5. Application du modèle hydraulique
Une fois les équations entrées sous le logiciel COMSOL Multiphysics, elles peuvent être appliquées à tout système dont on veut étudier le fonctionnement. Les particularités de chaque cas d'étude sont précisées par le biais de la géométrie, des pas de temps et d'espace, des conditions aux limites, et des grandeurs physiques caractéristiques du système étudié. Tous ces éléments étant présentés en détail dans les prochains chapitres pour chaque site étudié, les paragraphes suivants reprennent rapidement les grandes étapes du processus de modélisation.
Définition du problème
La première étape de la modélisation consiste à numériser les limites du cours d’eau et de l'aquifère en 2 dimensions. Pour cela, des cartes topographiques au 1:25000 ont été scannées (Figure 2.4.A) puis importées sous le logiciel MapInfo Professional® version 6.5 ou sous le logiciel ArcGis. Les polylignes correspondant aux limites des domaines sont numérisées et le fichier vecteur résultant est sauvé au format dxf reconnu par le logiciel COMSOL Multiphysics (Figure 2.4.B).
Figure 2.4. A) Carte d'un des sites modélisés pendant cette thèse (la rivière Spree près de
Freienbrink) et B) image de la géométrie numérisée et importée sous COMSOL Multiphysics (voir
Chapitre 3).
Les limites du chenal sont généralement assez simples à identifier sur une carte. Les limites de l'aquifère sont plus difficiles à fixer, en particulier son extension longitudinale le long du cours d'eau car aucune physique (terrain imperméable...) ne vient généralement isoler de manière claire chaque domaine d'étude. Il est donc indispensable de bien connaître le système et la réalité du terrain pour délimiter l'aquifère et imposer des conditions aux limites assez réalistes pour chaque site.
Résolution numérique
Les résolutions spatiale et temporelle sont très importantes pour la stabilité des calculs, mais aussi pour une résolution précise des équations d'écoulements de surface et souterrains. Les pas d’espace doivent être suffisamment petits pour tenir compte de la présence de singularités géométriques mais également assez grands pour ne pas entraîner des temps de calcul trop longs. J'ai pu constater, à partir de plusieurs simulations, que si les pas d’espaces sont trop variables, des instabilités apparaissent en particulier dans le cours d'eau. Il a donc été choisi de garder un maillage à base d'éléments finis triangulaires de taille assez homogène par sous-domaine. Le modèle de Saint Venant posant également quelques problèmes d'instabilité
A. B.
(formation "d'ondes"), le maillage du cours d'eau a été réalisé plus finement que celui de l'aquifère (Figure 2.5).
Figure 2.5. Image du maillage utilisé pour les simulations sur le site de Monbéqui (Garonne, cf. Chapitre 3). Le maillage complet est composé de 46694 éléments finis triangulaires.
Pour limiter ces problèmes de propagation d'ondes, un terme de viscosité artificielle νart(m².s-
1
) a été ajouté au terme de viscosité cinématique de l'eau (COMSOL Multiphysics User's guide, 2006) :
. .
art tuneVphasel
(2.14)
avec tune le paramètre que l'utilisateur peut modifier (adimensionnel), l la taille locale des élémements finis (m) et Vphase (m.s-1) la vitesse maximum de propagation des ondes dans le cours d'eau qui s'écrit :
phase V q gH (2.15) Garonne Limites de l'aquifère N 500m
Les pas de temps doivent être suffisamment petits pour pouvoir prendre en compte les variations des conditions aux limites et pour simuler les variations rapides de l’écoulement qui peuvent se produire dans le cours d'eau. Les solveurs temporels proposés dans COMSOL Multiphysics ont la particularité d'être itératifs. Cela signifie que la taille des pas de temps s'adapte en fonction de la convergence du calcul et de l'estimation des erreurs locales. Si la tolérance sur les erreurs relative et absolue est dépassée, le solveur choisit automatiquement un pas de temps plus petit. Les erreurs absolues et relatives sont fixées par l'utilisateur qui détermine ainsi la limite tolérable d'erreur estimée sur chaque pas de temps. Les pas de temps sont ainsi suffisamment petits pour prendre en compte les changements de débit dans le cours d'eau et l'aquifère, tout en étant suffisamment grands pour limiter le temps de calcul. Pour les calculs stationnaires par exemple, les premiers pas de temps sont inférieurs à une seconde et augmentent jusqu'à plusieurs heures lorsqu'on se rapproche de l'état d'équilibre.
A chaque pas de temps, des systèmes linéaires doivent être résolus. Pour cela, le solveur direct de système linéaire UMFPACK (Davis, 2004) a principalement été utilisé. D'autres solveurs sont également disponibles sous réserve de modification du code comme le solveur PARDISO (si on dispose d'une machine multi-processeur) et divers algorithmes itératifs qui pourraient s'avérer intéressants si on augmente sensiblement le nombre de mailles.
Les données d’entrée
2SWEM nécessite des données d'entrées assez simples : les limites du cours d'eau et de l'aquifère en deux dimensions, l'élévation de la couche imperméable sous le système (voir Figure 2.2), la conductivité hydraulique et la porosité des sédiments, et le coefficient de frottement de Manning dans le cours d'eau.
Dans les sédiments présentant une composition hétérogène, la porosité varie généralement moins que la conductivité hydraulique qui peut varier fortement sur de courtes distances (Cardenas et al., 2004). Pour les simulations hydrauliques sur les 2 sites qui suivent dans le Chapitre 3, une porosité moyenne estimée sur les secteurs modélisés a été utilisée. Pour la conductivité hydraulique, deux cas se sont présentés. Soit des données disponibles au niveau du site ont pu être entrées sous COMSOL Multiphysics. Soit aucune donnée n'était disponible et une valeur moyenne de conductivité a donc été utilisée. Concernant l'élévation de la couche imperméable, sa valeur a été moyennée en fonction des pentes longitudinales et latérales
estimées sur chaque secteur modélisé. Enfin, un coefficient de Manning moyen a été estimé pour chaque cours d'eau modélisé en fonction des connaissances sur le système.
Conditions aux limites
Quatre grands groupes de conditions aux limites sont nécessaires pour faire fonctionner le modèle (Figure 2.6) : conditions amont et aval pour le cours d'eau, conditions amont et aval pour l'aquifère, conditions latérales pour l'aquifère et interface entre le cours d'eau et l'aquifère.
Figure 2.6. Schéma des conditions aux limites.
Pour la condition hydraulique amont du cours d'eau, le débit Q(t) est généralement utilisé. Cependant, cette variable restant difficilement accessible directement in situ, une condition limite amont en H(t) (évolution de la cote de la surface libre en fonction du temps) a été utilisée lors de nos simulations. Cette condition est très intéressante du point de vue applicatif
Limite amont cours d'eau
C o u rs d 'e a u Aquifère Aquifère
Limite aval du cours d'eau
Limite amont aquifère Limite aval aquifère
au niveau de la limite amont des cours d'eau modélisés. Toutefois, le code a été adapté en vue de permettre l’exploitation de données amont en débit ou en cote. Pour la condition aval, une hauteur constante ou variable peut être imposée.
Au niveau de l'interface entre cours d'eau et aquifère, des conditions de continuité des hauteurs d'eau et des flux ont été fixées, comme expliqué dans le paragraphe BI.1.3.
Enfin, pour les conditions amont, aval et latérales de l'aquifère, plusieurs possibilités peuvent être exploitées : débit, flux, hauteur, écoulement nul... Le choix de ces conditions dépendant en grande partie des connaissances hydrogéologiques acquises sur chaque site, elles seront détaillées lors de la présentation des sites dans la Partie C.
Conditions initiales
L'objectif du module hydraulique étant de simuler les interactions dynamiques entre cours d'eau et aquifère, la quasi totalité des simulations ont été faites en régime transitoire (débit variable imposé sur la condition amont du cours d'eau). Les conditions initiales pour ces simulations transitoires ont toutefois été obtenues à partir de simulations stationnaires pour des conditions d'écoulement moyennes. Ces simulations stationnaires ont été l'occasion de vérifier la pertinence des conditions aux limites mais aussi de vérifier que le modèle était bien conservatif (i.e., sans perte de masse).