Axe de l’application aux cas g´eologique

Le troisi`eme et dernier axe de cette th`ese est une application du mod`ele `a des cas g´eologiques. Il consiste `a confronter les comportements pr´edits par notre mod`ele avec ceux observ´es sur les super-volcans.

Dans un premier temps, nous nous sommes focalis´es sur le volcan Uturuncu en Bolive, figure1.9. Dans cette r´egion, le soul`evement continu d’une zone de 40 km de rayon centr´e sur le volcan Uturuncu est observ´e depuis 25 ans (Lau et al., 2018). Plus r´ecemment, la pr´esence d’un faible affaissement l’ordre de 1 mm.an−1autour de la zone de soul`evement a ´et´e d´etect´e parFialko and Pearse (2012). Trois m´ecanismes ont ´et´e propos´es pour ex- pliquer la pr´esence d’un soul`evement circulaire simultan´ement bord´e par un affaissement (Fialko and Pearse, 2012; Henderson and Pritchard, 2013). Ce faible affaissement au- tour d’une zone de soul`evement est similaire `a la r´eponse ´elastique d’une plaque lors de sa d´eformation. Nous avons donc utilis´e notre mod`ele pour r´ealiser une inversion des donn´ees publi´ees par Henderson and Pritchard (2017). Il est effectivement possible de reproduire une zone de soul`evement bord´e par un affaissement similaire `a celles qui ont ´et´e publi´ees. Cette partie est d´evelopp´ee dans la premi`ere partie du chapitre5page120.

Ensuite, nous avons regard´e les grands syst`emes siliciques plus en g´en´eral. Pour cela, comme cela a d´ej`a ´et´e discut´e `a la section pr´ec´edente, nous nous sommes int´eress´es `a 5 grands syst`emes siliciques qui sont largement document´es : Le Yellowstone au ´Etats- Unis, les Champs Phl´egr´een en Italie, le Santorin en Gr`ece, le Toba en Indon´esie et le Taupo en Nouvelle-Z´elande. Les profondeurs de stockage avant ´eruption et les profon- deurs de la transition fragile-ductile, issues de la litt´erature, ont ´et´e compil´ees mettant en ´evidence une similitude entre les deux.

des super-´eruptions dans le pass´e et qui ont abouti `a la formation de caldeira. Pour cela, nous avons d’abord ´etabli o`u se formeraient les limites d’une caldeira selon notre mod`ele. De cette mani`ere, nous avons pu relier, dans le cas de notre mod`ele, la taille d’une caldeira en surface `a celle de la chambre magmatique qui l’a produite. Ensuite, `a l’aide d’une compilation des volumes de magma ´emis et de la taille des caldeiras produite, publi´ee par

Caricchi et al.(2014), nous sommes remont´e `a la forme que devrait prendre la chambre magmatique dans notre mod`ele pour respect´e le volume ´emis et la taille de la caldeira qui a ´et´e form´ee. La forme des chambres dans le cas de notre mod`ele a un rapport d’aspect similaire `a ceux qui ont ´et´e d´etermin´es pour ces ´eruptions. Finalement, nous avons calcul´e le champ de contrainte produit dans la plaque avec notre mod`ele et nous avons v´erifi´e qu’il ´etait suffisant pour provoquer la fracturation de la croˆute et le d´eclenchement potentiel d’une ´eruption. Notre r´esultat le plus important est qu’un mod`ele de plaque pr´evoit la formation de failles circulaires au-dessus de la chambre magmatique lorsque la flottabilit´e de celle-ci devient importante. Cette partie est d´evelopp´ee dans la deuxi`eme partie du chapitre5page147.

FIGURE1.9 – Photo du volcan Uturuncu, Bolivie.“Ceky” via Wikimedia Commons, licence : CC BY-SA 3.0.

CHAPITRE

2

Mise en place d’un mod`ele th´eorique pour mod´eliser le

stockage d’un magma silicique `a l’interface ductile fragile dans

la croˆute

Comme d´ecrit pr´ec´edemment, la physique du stockage suppos´e peut ˆetre r´esum´ee par un liquide avec une flottabilit´e positive stock´e sous une plaque ´elastique, comme illustr´ee ci-dessous par la figure2.1. Le liquide avec une flottabilit´e positive vient remplir une to- pographie pr´eexistante dans le bas de la plaque. Cette variation d’´epaisseur a une forme convexe vers le haut.

Le mod`ele pr´esent´e ici est le r´esultat de modifications et de corrections successives en lien avec ceux des exp´eriences. Pour pr´esenter le mod`ele final, il est n´ecessaire de prendre un peu d’avance et de consid´erer l’un des r´esultats, qui est que le liquide ne peut pas former un stockage statique sous une plaque d’´epaisseur constante. Il est donc n´ecessaire d’avoir une plaque d’´epaisseur variable comme illustr´ee sur la figure2.1a. La discussion d´etaill´ee de ce r´esultat se trouve dans la partie4.3.4page87.

ρup ρc

;

;

₀

=

0−

exp

2

BDT

(

,

=0)

ρ

z

r

Tl

al

Cro ̂ute ( elastique)

̂ir (fluide)

Cro ̂ute (ductile=fluide)́agma (fluide)

FIGURE2.1 – Repr´esentation sch´ematique du stockage suppos´e. Le d´eplacement vertical uzest exag´er´e. BDT : Brittle Ductile Transition (transition fragile-ductile). Les principaux

param`etres physiques sont illustr´es sur la figure : ρup la masse volumique du milieux au-

dessus de la plaque, ρdown celle de celui en dessous, ρc celle de la plaque, ρm celle du

magma stock´e sous la plaque, E le module de Young de la plaque, ν son coefficient de Poisson, H0 l’´epaisseur maximum de la plaque, Hr son ´epaisseur en un point r donn´e, Tl

la hauteur maximale du liquide sous la plaque, alsa demi-largeur.

2.1

Introduction

Il est important de rappeler `a ce stade que le but de ce travail n’´etait pas seulement d’exploiter les caract´eristiques d’un stockage de magma `a l’interface ductile fragile, mais en premier lieu de v´erifier si cette hypoth`ese est plausible. L’accent a donc ´et´e mis sur le stade o`u la chambre magmatique est form´ee, apr`es la mise en place du magma et apr`es la relaxation des contraintes dans le milieu du bas. Au premier ordre, le milieu du bas est donc consid´er´e comme fluide et non comme visco´elastique. Outre le fait que certaines ´etudes aient d´ej`a d´ecrit la remont´ee d’un diapir dans un milieu ductile, son ralentissement et son arrˆet `a la transition fragile-ductile (Burov et al.,2003) ; ce choix permet de v´erifier si une chambre form´ee `a cette interface rh´eologique est capable de reproduire les signaux observ´es en surface. Cela permet ´egalement de v´erifier si une chambre form´ee dans ces conditions est capable de provoquer des ´eruptions avec un volume et une caldeira de taille comparable `a celles qui ont ´et´e observ´ees. Ce mod`ele peut donc se r´esumer `a un mod`ele de d´eformation de plaque. Pour d´ecrire la d´eformation d’une plaque ´elastique sous l’effet de la pouss´ee d’un liquide avec une flottabilit´e positive, nous avons adapt´e `a ce probl`eme un mod`ele pr´eexistant. Il s’agit celui deMelosh(1976,1978).

culi`erement aux mascons lunaires. ”Mascon” est un anglicisme qui provient de la concen- tration de mass concentration (concentration de masse), ce sont des zones `a la surface des plan`etes qui ont une forte anomalie gravim´etrique positive. Dans le cas des mascons lunaires, il y a aussi une r´epartition concentrique de failles autour de cette zone [Me- losh1978]. L’origine de ces anomalies de masse sur la lune est toujours d´ebattue [Mon- tesi2013,Barenbaum2019], n´eanmoins,Melosh (1976) explique leurs formations par le faite que des d´epressions peu profondes `a la surface de la lune aient ´et´e remplies par des coul´ees de lave basaltique, telles qu’illustr´ees sur la figure2.2. Ces coul´ees remplissent des d´epressions et provoquent la d´eformation et la fracturation de la croˆute lunaire. ´Etant plus denses que la croˆute lunaire et non compens´ees isostatiquement, ces coul´ees pour- raient ˆetre responsables des anomalies de gravim´etrie observ´ees.Melosh(1976) impute l’origine des d´epressions `a la surface de la lune `a des impacts de m´et´eorites. Ici, peu im- porte si son hypoth`ese est juste, le point important est que la source de la d´eformation dans son mod`ele est un fluide qui a initialement rempli une d´epression dans la plaque ´elastique, puis qui s’est solidifi´e. Ce m´ecanisme est similaire `a celui que nous supposons pour un stockage au niveau de la transition fragile-ductile, o`u le magma vient remplir une topographie `a la base de la plaque ´elastique. Plus que la similitude de g´eom´etrie vi- sible grˆace `a la comparaison entre la figure2.1 et 2.2, le mod`ele de Melosh a une autre caract´eristique qui le rend int´eressant pour le cas que nous ´etudions ici.

FIGURE 2.2 – Sur ce sch´ema, Melosh pr´esente la g´eom´etrie suppos´ee de la charge qui d´eforme la croˆute lunaire ainsi que les param`etres importants pour son mod`ele.Illustration tir´ee du papier deMelosh(1978).

Dans son papier, Melosh (1978) utilise la r´epartition des failles autour de ces mas- cons pour d´eterminer l’´epaisseur de la croˆute ´elastique sur la lune. Ne connaissant pas l’´epaisseur de la plaque il utilise donc un mod`ele de d´eformation de plaque qui est va-

lable pour des plaques fines et des plaques ´epaisses. Dans le cas que nous ´etudions, il est difficile `a dire a priori si le stockage se place dans le cas des plaques fines ou non. Il est donc particuli`erement utile d’utiliser ´egalement un mod`ele qui ne n´ecessite pas cette approximation de plaque fine.

En adaptant le mod`ele deMelosh(1978) nous supposons que nous avons comme dans le mod`ele d’origine :

— Une plaque homog`ene, isotrope et ´elastique, — Une sym´etrie axiale,

— Une ´elasticit´e lin´eaire.

Cependant, contrairement `aMelosh(1978) nous supposons que nous avons une plaque d’´epaisseur variable. Melosh (1976) consid´erait une plaque d’´epaisseur variable, mais l’effet de la variation d’´epaisseur ´etant n´egligeable, il a par la suite consid´er´e une plaque d’´epaisseur constante. Cette modification entraˆıne une restriction dans l’usage de ce mod`ele qui est discut´e en d´etail dans la suite de ce chapitre.

Pour la r´esolution des ´equations, certaines propri´et´es des fonctions de Bessel de premi`ere esp`ece, Jν(x) illustr´ees par la figure2.3, ainsi que des fonctions hyperboliques, cosh(x)et

sinh(x), ont ´et´e utilis´e. Elles sont r´esum´ees dans les deux m´emos ci-dessous.

D´efinitions g´en´erales : ∂ Jν(ζ x) ∂ x = ζ h ν ζ xJν(ζ x) − Jν +1(ζ x) i J−ν(ζ x) = (−1)νJν(ζ x)

o`u ν est l’ordre de la fonction et ζ une constante

D’o`u : ∂ J0(ζ x) ∂ x = −ζ J1(ζ x) ∂ J1(ζ x) ∂ x = ζ h J0(ζ x) −J1(ζ x)_{ζ x} i

M´emo de math´ematique 2.1 : fonctions de Bessel

D´efinitions g´en´erales : cosh(−x) = cosh(x) sinh(−x) = − sinh(x) d sinh(x) dx = cosh(x) d cosh(x) dx = sinh(x) cosh2(x) − sinh2(x) = 1

D’o`u : R∞ 0 Cst x cosh(ζ x)dx = Cst x sinh(ζ x) ζ − Cst cosh(ζ x) ζ2 R∞ 0 ∂Cst x sinh(ζ x)dx = Cst x cosh(ζ x) ζ − Cst sinh(ζ x) ζ2 0 5 10 x −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Jν(x) a Variation de l'ordre J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) 0 5 10 x b Bessel d'ordre 0 J0(0.5 x) J0(x) J0(2 x) 0 5 10 x c Bessel d'ordre 1 J1(0.5 x) J1(x) J1(2 x)

FIGURE 2.3 – Illustration de la fonction de Bessel. a, repr´esentation de la forme de la fonction de Bessel de premi`ere esp`ece pour les ordres 0 `a 3. Seuls les ordres 0 et 1, repr´esent´es en trait plein, sont utilis´es dans note mod`ele. b et c, dans les deux cas, plus le coefficient devant x dans la fonction de Bessel est grand, plus la longueur d’onde de la fonction est petite.