Application de notre mod`ele au cas de l’Uturuncu

Les points de la figure 4 de Henderson and Pritchard (2017) ont ´et´e r´ecup´er´es de mani`ere `a r´ealiser une inversion. Ils correspondent `a la moyenne des d´eformations issues de plusieurs passages de satellite entre 1992 et 2010. Cette p´eriode correspond au maxi- mum de d´eplacement mesur´e. Depuis 2010, le soul`evement a tendance `a ralentir (Lau et al.,2018). Bien qu’il s’agisse d’une vitesse de d´eformations, nous allons dans un pre- mier temps consid´erer qu’il s’agit d’une d´eformation statique. Ces points sont invers´es pour d´eterminer les param`etres a et T de la source gaussienne qui permettent de repro- duire au mieux les d´eformations observ´ees. Le param`etre a correspond `a la demi-largeur de la gaussienne et le param`etre T `a sa hauteur maximale. Comme pour l’inversion des donn´ees exp´erimentales au chapitre4, la fonction scipy. optimize. curve fit() du langage Python a ´et´e utilis´ee.

Les r´esultats du chapitre3 ont montr´e que lorsque a est grand, la demi-largeur de la d´eformation ´etait la mˆeme que celle de la d´eformation. Au contraire, lorsque a est petit, la demi-largeur de la d´eformation peut ˆetre 7 fois plus grande que celle de la source. La demi-largeur approximative des donn´ees est de 21,4 km `a gauche et 23 km `a droite. La demi-largeur des donn´ees qui a ´et´e choisie est donc 22,2 ± 0,8 km. Les bornes pour l’inversion du param`etre a sont donc 1 km, pour la limite inf´erieure, et 30 km, pour la limite sup´erieure. Ces valeurs encadrent l’estimation qu’il est possible de faire grˆace aux r´esultats du chapitre3 de mani`ere `a garder une marge d’erreur sur cette estimation. Les r´esultats du chapitre3ont ´egalement montr´e que le maximum de soul`evement ´etait entre ≈ρc−ρup

ρc−ρm et 0,01

ρc−ρup

ρ c, ρm et ρup sont respectivement les masses volumiques de la croˆute, du magma et du

milieu au-dessus de la plaque. Le maximum de soul`evement annuel issu des donn´ees deHenderson and Pritchard (2017) est de 9,1.10−3 m. De mani`ere `a garder une marge d’erreur, nous avons choisi comme borne pour l’inversion du param`etre T 0 et 0,6 m.

5.1.7.1 Gamme de valeur des param`etres physiques pour l’application du mod`ele

Pour rester coh´erent avec notre mod`ele, qui place z = 0 `a la surface de la plaque, toutes les profondeurs report´ees ici sont relatives `a la surface de la plaque ´elastique et donc `a l’altitude moyenne de l’Altiplano Puna. Certains auteurs donnent les profondeurs par rapport au niveau moyen des mers. Lorsqu’elles ont ´et´e utilis´ees, les profondeurs pu- bli´ees ont ´et´e corrig´ees de l’altitude moyenne du plateau. Cette altitude moyenne est de 4000 m autour de l’Uturuncu (Muir et al.,2014).

En se basant sur des donn´ees magn´etot´elluriques et des donn´ees de p´etrologie exp´eri- mentale, Laumonier et al. (2017) montrent qu’il pourrait y avoir jusqu’`a 10wt.% d’eau dissoute dans le magma contenue dans l’APMB. Ce qui lors de l’exolution de cette eau sous forme de bulle dans le magma peut fortement diminuer la masse volumique de l’en- semble du corps magmatique stock´e sous la plaque.

Jay et al.(2012) ´estiment la profondeur de la transition fragile-ductile, H0, entre 4,5

et 12,5 km. Pour cela, ils se basent `a la fois sur la localisation des s´eismes au niveau de l’Uturuncu, mais ´egalement sur des donn´ees de flux de chaleur qui ont ´et´e mesur´ees au niveau de l’Altiplano.Henderson and Pritchard (2017) r´esument dans leur figure 15 le module de Young, le coefficient de Poisson et la masse volumique de la croˆute qui ont ´et´e d´etermin´es grˆace aux donn´ees sismiques. Les masses volumiques consid´er´ees par Hen- derson and Pritchard (2017) pour le haut de la croˆute sont entre 2400 et 2600 kg.m−3. Or,Fialko and Pearse (2012) utilise une masse volumique pour la croˆute allant jusqu’`a 2800 kg.m−3. Ils supposent ´egalement un contraste de densit´e entre le magma et le milieu environnant de 400 kg.m−3.

En r´esum´e, l’ensemble des valeurs des param`etres physiques donn´ees dans la litt´erature comportent une grande variabilit´e. Le tableau5.1 r´esume toutes les gammes de valeurs entre lesquelles les param`etres physiques pourraient varier. De mani`ere `a explorer toutes les gammes de valeurs utilis´ees par d’autres auteurs, nous allons utiliser les nombres sans dimension de notre probl`eme.

TABLE 5.1 – Comparaison des gammes de valeur que peuvent prendre les diff´erents pa- ram`etres dans le cas du volcan Uturuncu.

Param`etre Notation (unit´e) Gamme de valeurs

Plaque ´elastique

Coefficient de Poisson1 ν 0,25 `a 0,3

Module de Young2 E (Pa) 10.109 `a 62.109

´

Epaisseur maximale3 H0(m) 4,5.103 `a 12,5.103

Poids4 ρc− ρup (kg.m−3) 2400 `a 2800

Source de la d´eformation

Flottabilit´e dans la plaque5 ρc− ρm(kg.m−3) 200 `a 400

1 (Fialko and Pearse,2012;Henderson and Pritchard,2017).

2 (Henderson and Pritchard,2017).

3 (Jay et al.,2012;Henderson and Pritchard,2017).

4 (Fialko and Pearse,2012;Henderson and Pritchard,2017).

5 (Fialko and Pearse,2012).

5.1.7.2 Nombres sans dimension utilis´es pour tester la variabilit´e des param`etres physiques

Il est ressorti de l’adimensionnement fait au chapitre2que le probl`eme peut ˆetre d´ecrit par quatre nombres sans dimension. De mani`ere `a repr´esenter la variation des r´esultats de l’inversion en fonction de la variation possible des param`etres physiques, deux de ces quatre nombres sans dimension vont ˆetre utilis´es.

Le premier est

β2=

g(ρc− ρm)T

2G , (5.1)

avec g l’acc´el´eration de la pesanteur, ρc la masse volumique de la croˆute, ρm celle du

magma, T la hauteur maximale de liquide et G le module de cisaillement de la plaque tel que

G= E

2(1 + ν) .

o`u E est le module de Young de la plaque et ν son coefficient de Poisson. Le second est

H₀0 = H0

a , (5.2)

avec H0l’´epaisseur maximale de la plaque et a la demi-largeur de la gaussienne qui d´ecrit

Le nombre sans dimension β2 repr´esente le rapport entre la flottabilit´e du fluide et

la rigidit´e de la plaque. Lorsque β2 est grand, la flottabilit´e du fluide est forte devant la

rigidit´e de la plaque, et inversement lorsque β2est petit.

Le nombre sans dimension H₀0 quant `a lui quantifie la mani`ere dont la charge est ap- pliqu´ee au bas de la plaque. Lorsque H₀0 tend vers +∞ la charge est appliqu´ee sous la plaque selon un point source.

L’expression de β2 (5.1) contient le param`etre T et celle de H₀0 (5.2) contient a. Or

ces deux param`etres a et T correspondent `a la g´eom´etrie de la source. Ce sont eux que nous cherchons `a d´eterminer grˆace `a l’inversion des d´eformations observ´ees en surface. Il n’est donc pas possible de connaˆıtre a priori les valeurs de β2et H₀0 dans le cas de l’Utu-

runcu. De mani`ere `a repr´esenter les r´esultats de l’inversion en fonction de la variabilit´e des param`etres, les r´esultats seront repr´esent´es en fonction de aH₀0 = H0et de β2T−1.