L’approche choisie avec l’utilisation du code numérique FLAMAR [e.g. Burov et al., 2014], permet l’étude du comportement mécanique d’un milieu stratifié visco-élasto-plastique face à différentes conditions de chargements. Dans un premier temps, les points essentiels de la formulation de FLAMAR décrit son principe de fonctionnement.
FLAMAR est un code hybride élément-fini et différence-finies, caractérisé par un système de coordonnées Cartésien en 2D [Burov et al., 2001 ; Le Pourhiet et al., 2004 ; Burov et Yamato, 2008]. Il est basé sur les algorithmes numériques FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua) [Cundall, 1989] et PARAVOZ [Poliakov et al., 1993]. Les détails du développement numérique peuvent être trouvés dans Burov et Yamato [2008], Burov et al. [2001, 2014a], Le Pourhiet et al. [2004], Yamato et al [2006] et Huet [2010]. Comme toutes les méthodes différences-finies, FLAMAR transforme les équations différentielles partielles originales en systèmes d’équations algébriques avec des inconnues sur les nœuds de la grille. La solution du système d’équations dépend des conditions aux limites imposées au milieu modélisé. FLAMAR utilise une formulation explicite des systèmes d’équations ; l’avantage est qu’elle permet d’obtenir un algorithme de solution relativement simple. Le désavantage est qu’elle nécessite de diviser les calculs en un très grand nombre de pas de temps pour s’assurer d’une solution numériquement stable. Pour réduire les temps de calculs, FLAMAR adapte automatiquement le pas de temps au cours du calcul [Cundall, 1989 ; Poliakov et al., 1993]. Un des objectifs sous-jacents est donc de vérifier si l’outil FLAMAR est adapté pour traiter des problèmes de mécaniques à l’échelle des bassins sédimentaires. En effet, nous avons pu voir au cours du Chapitre 2 que les problématiques de mécanique entre les échelles lithosphériques et bassins sédimentaires sont très différentes. Dans FLAMAR, les relations entre contraintes et déformations sont calculées en 2D, avec une évaluation du comportement dans la troisième dimension. FLAMAR résout simultanément, dans une formulation Lagrangienne : (1) l’équation de Newton de la dynamique (Eq. (A1)), (2) les équations décrivant le comportement visco-elasto-plastique (Eq. (A2)), (4) l’équation du transport de la chaleur (Eq. (A3)).
𝜌𝜌𝑑𝑑𝑈𝑈𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝜕𝜕𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑚𝑚 (A1) 𝑑𝑑𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹(𝜎𝜎, 𝑢𝑢, 𝑣𝑣, ∇𝑣𝑣, … , 𝑅𝑅, … ) (A2) 𝜌𝜌𝐶𝐶𝑝𝑝�𝜕𝜕𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝑢𝑢∇T� − ∇(k∇T) − Hr− Ha− frac ∗ σII𝜕𝜕𝜀𝜀𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜕𝜕𝜕𝜕 � (A3)
182 où u, σ, g, k sont respectivement les termes de la vitesse, des contraintes, de l’accélération de la gravité et de la conductivité thermique. Les termes t, ρ, Cp, T, Hr, Ha, α, frac ∗ σII𝜕𝜕𝜀𝜀𝐼𝐼𝐼𝐼
𝜕𝜕𝜕𝜕
� désigne respectivement le temps, la densité, la chaleur spécifique, la production de chaleur interne, le terme de chauffage adiabatique, le coefficient d’expansion thermique et le terme de « shear heating ». Les termes 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕� ,𝑑𝑑𝜎𝜎 𝑑𝑑𝜕𝜕� , F sont respectivement une dérivée du temps, une dérivée de Jaumann et une dérivée fonctionnelle. Le shear heating résulte de la conversion de l’énergie mécanique en chaleur durant la déformation [Thielmann et Kaus, 2012]. Ce phénomène est négligé dans cette étude, en l’absence de données d’observations directes dans les bassins sédimentaires [e.g. Burov et al., 2014a]. On peut noter également que le terme inertiel (le premier paramètre de l’équation A(1)) est également négligeable pour des applications géodynamiques [e.g. Cundall, 1989 ; Poliakov et al., 1993 ; Burov et
al., 2014a].
La Figure 5.17 détaille les étapes suivies par FLAMAR pour passer d’un pas de temps t à un t+1. Pour résumer, le schéma numérique possède une logique en trois partie [Le Pourhiet, 2004 ; Huet, 2010]:
(1) Le calcul des phénomènes diffusifs comme l’érosion, la diffusion et la production thermique (2) L’incrémentation de la déformation à partir du champ de vitesse du pas de temps précédent (3) La mise à jour des contraintes thermiques et mécaniques, qui produisent un état de contrainte
sur lequel les conditions aux limites mécaniques sont appliquées.
Les forces qui s’exercent sur chacun des nœuds du modèle sont calculées à partir du nouvel état de contraintes mécaniques et des forces de volumes. L’équation de la dynamique A1 est ensuite résolue, ce qui permet la définition d‘un nouveau champ de vitesse.
Une procédure de remaillage automatique intervient chaque fois qu’une maille devient trop déformée, ce qui autorise de grands déplacements et de grandes déformations. Pour réduire la fréquence de remaillage et donc limiter au maximum la diffusion numérique, le critère de remaillage est imposé par un angle critique, qui est défini suivant les cas entre 1 et 5°. D’un point de vue pratique, plus l’angle est fort, plus le remaillage sera fréquent, et donc moins la solution sera acceptable. A l’inverse, la stabilité et la rapidité du code peuvent être fortement réduites par un angle trop faible.
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Figure 5.17 – Schéma numérique de la méthode de calcul FLAMAR [Le Pourhiet, 2004]
Les lois rhéologiques utilisées dans FLAMAR sont élastiques, plastiques frictionnelles et visqueuse et sont traitées explicitement et en série (voir chapitre 2). Pour chaque maille, FLAMAR calcule l’état de contrainte pour une rhéologie de type Maxwell (visco-élastique) puis pour une rhéologie élasto-plastique. L’état de contrainte correspondant à la plus faible contrainte déviatorique est affectée à la maille.
Le comportement élastique est exprimé par la loi de Hooke (Eq. (A5)) :
𝜎𝜎𝑚𝑚𝜕𝜕= λδijεij+ 2Gεij (A5)
où λ et G sont les constantes de Lamé et δ l’opérateur de Kronecker.
Le comportement plastique frictionnel s’exprime par un critère de Mohr-Coulomb, non associatif et sans dilatance (Eq. (A6)):
𝜏𝜏 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝜎𝜎𝑛𝑛𝜕𝜕𝑡𝑡𝑡𝑡φ (A6)
où τ est la contrainte cisaillante, σn la contrainte normale qui prend en compte à la fois la pression des roches et des fluides, Co la cohésion et φ l’angle de friction interne de la roche. FLAMAR permet de modéliser les phénomènes d’adoucissement par une loi linéaire modifiant la cohésion et/ou l’angle de frottement .
184 Le comportement ductile-visqueux est celui d’un fluide non-Newtonien. Le mécanisme utilisé correspond à un fluage par dislocation, qui fait varier la viscosité effective de la roche en fonction de la température et de la contrainte différentielle (Eq. (A7)) [e.g. Turcotte et Schubert, 2015]. :
έ𝑑𝑑= 𝐴𝐴(𝜎𝜎1− 𝜎𝜎3)𝑛𝑛e (−𝑄𝑄 𝑅𝑅𝑅𝑅� ) (A7)
La viscosité effective est définie comme (Eq. (A8)):
𝜇𝜇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = έ(1−n) n⁄ A−1 n⁄ e (−𝑄𝑄 𝑅𝑅𝑅𝑅� ) (A8)
où A est une constante du matériel, Q est l’énergie d’activation, R la constante des gaz parfaits et n un exposant puissance.
Dans le cas où la déformation est triaxiale, on a :
𝜇𝜇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = έIId (1−n)/n∗ (A∗)−1 n⁄ ∗ e (−𝑄𝑄 𝑅𝑅𝑅𝑅� ) (A9)
où έIId = (invII�έij�)1/2 est le taux de déformation effectif et A∗= 1 2� A. 3(n+1)/2 une constante du matériel.
Les processus d’érosions et de sédimentations sont simulés par le biais d’une équation de diffusion. L’élévation topographique h de la surface libre le long de l’axe x est calculée en utilisant le modèle classique de Culling qui est fonction du coefficient de diffusion kero (Eq. (A10)) :
𝜕𝜕2𝑚𝑚
𝜕𝜕𝑑𝑑2= 𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝜕𝜕𝜕𝜕𝑚𝑚2ℎ2 (A10)
Cette formulation est théoriquement bien adaptée pour représenter les sédiments deltaïques, assez représentatifs des bassins d’avant-pays [Yamato et al, 2007]. Bien évidemment, les processus de surfaces sont infiniment plus complexes en milieu naturel, et de nombreuses techniques permettent de les modéliser de manière plus conforme à la réalité [voir notamment Graveleau et al., 2012 ; Fillon et
al., 2013; Ueda et al., 2015]. Cependant une simple loi de diffusion linéaire en 2D permet de simuler en une première approximation les effets de l’érosion et de la sédimentation sur l’équilibre mécanique et thermique du système.
D’un point de vue pratique, la méthodologie utilisée pour travailler avec un outil de modélisation thermo-mécanique comme FLAMAR est composé de trois étapes :
(1) La paramétrisation du modèle, dans laquelle la résolution spatiale, les types de conditions aux limites et leurs valeurs sont définies. Classiquement, c’est un travail qui s’effectue par essai-erreur au travers de tests paramétriques, l’objectif étant de déterminer si les propriétés utilisées reproduisent le comportement ou les géométries attendues.
185 (2) Le calcul ; D’un point de vue pratique, le temps de calcul s’accroit très rapidement avec l’augmentation de la résolution du modèle et la complexité des processus à modéliser. La solution est de faire des « hypothèses compromis » pour simplifier les conditions aux limites et les processus simulés, afin de rendre le temps de calcul acceptable tout en limitant la perte de résolution du modèle. A titre d’exemple, les modélisations les plus simples présentées dans ce travail ont duré quelques dizaines de minutes, tandis que les plus complexes ont facilement atteints plusieurs semaines.
(3) Le « post-processing », c’est-à-dire la visualisation des résultats qui s’effectue de manière externe en utilisant des scripts MATLAB.