Nous nous intéressons dans cette partie aux contraintes institutionnelles qui régissent le cours de DM. Cette analyse vise à déterminer la manière dont les enseignants peuvent comprendre et interpréter les instructions officielles, sans étudier pour l’instant la manière dont ils le font réellement.
Comme nous l’avons précisé précédemment, le cours de DM vise exclusivement le développement des compétences34 des élèves en résolution de problèmes. Les enseignants ne doivent cependant
33Ceci s’explique par le fait que ce cours n’est donné que dans le canton de Genève alors que le PER s’applique à tous les cantons de Suisse romande.
34Nous utilisons le terme de compétences puisqu’il s’agit du terme utilisé dans les instructions curriculaires.
La mise en avant de la notion de compétences a donné lieu à de nombreux débats. Nous choisissons volontairement de
104 pas empiéter sur les cours ordinaires de mathématiques. Dans le document cantonal on peut lire que ce cours
ne doit pas reprendre des contenus des progressions qui concernent l’ensemble des élèves de 10e, section LS - ni anticiper sur ceux de 11e. Ainsi il serait opportun d’aborder dans cette période des activités provenant d’un domaine différent de celui étudié en même temps dans le cours de base.
(DIP, 2012, p. 18)
L’intention est donc de développer des savoirs, des compétences annexes à ceux qui sont travaillés dans les cours ordinaires. Notons que l’on peut alors se demander comment le travail sur la résolution de problèmes est investi dans les cours ordinaires de mathématiques, du fait de l’existence d’un cours indépendant, centré sur cette thématique. Il peut, de plus, paraître paradoxal de proposer un cours qui insiste sur des objectifs pourtant clairement énoncés dans le PER pour les mathématiques et de ne pas le proposer à tous les élèves. Nous ne détaillons pas plus avant ces réflexions et retenons que les enseignants doivent choisir des problèmes ne mettant pas en jeu des notions ou des concepts mathématiques qui sont nouveaux pour les élèves.
Le document cantonal propose un modèle de résolution de problèmes, à la lecture duquel apparait l’influence du travail de Pólya (1965), et qui suppose que la résolution d’un problème est constituée d’une suite d’étapes :
1. Appropriation de l’énoncé : « comprendre le problème pour en identifier le but » […]
2. Traitement des données : « concevoir un plan », puis « mettre le plan à exécution » et « revenir sur la solution » […]
3. Communication des recherches et du résultat : « mettre en forme les résultats pour que quiconque puisse comprendre le travail effectué » […]. (Département de l’Instruction Publique, de la culture et du sport, 2012, p. 21)
Il convient alors de se demander avec quelle intention ce modèle est proposé : s’agit-il d’outiller les enseignants pour qu’ils puissent aider les élèves lors de la résolution de problèmes ou est-il attendu qu’ils enseignent explicitement ce schéma de résolution aux élèves ? Il semble que la présentation de ce modèle vise en fait un double public : les enseignants et les élèves. D’une part,
ne pas développer davantage ces éléments dans notre thèse. Nous considérons pour notre part, à la suite de Allal (1999), que les compétences ne s’opposent pas ou ne se substituent pas aux savoirs appris par l’élève mais qu’elles désignent l’organisation de ces savoirs en un système fonctionnel.
dans le document cantonal chacune de ces étapes est identifiée et suivie d’indications à destination des enseignants. Ces indications sont de différentes natures :
- pédagogiques :
Lors de cette étape, l’enseignant-e doit s’assurer que tou-te-s les élèves sont entré-e-s dans la problématique, c’est-à-dire qu’ils et elles sont capables de se construire une représentation correcte des données, des contraintes et du but à atteindre. Le cas échéant, il ou elle répond aux questions, reformule - ou fait reformuler - l’énoncé. (DIP, 2012, p. 21)
- mais aussi organisationnelles, relatives aux modalités de travail :
[Cette étape] peut être partagée en un temps - relativement court - de recherche individuelle, suivi d’un deuxième temps de travail en groupe. […] Le travail en groupe permet d’éviter le découragement de certain-e-s élèves, de stimuler la confrontation d’idées entre élèves, et d’apprendre aux élèves à collaborer, à s’écouter, à défendre leur point de vue, à respecter l’avis de l’autre. (DIP, 2012, p. 21) D’autre part, il est fait référence, en introduction de la présentation des étapes du modèle, à l’aide-mémoire des élèves (Corminboeuf et al., 2011) dans lequel se trouve une partie consacrée à la « résolution de problème ». Le modèle de résolution en trois étapes y est repris et on trouve des indications relatives à chacune d’elles, à destination des élèves. En ce qui concerne par exemple l’étape « 2. Traitement des données », une brève description de l’étape est donnée aux élèves et des questions sont proposées dans le but de les guider dans sa mise en œuvre: « déterminer une stratégie de recherche et élaborer les procédures nécessaires à sa mise en œuvre : quelles seront les étapes de la résolution ? Quels outils mathématiques va-t-on pouvoir utiliser ? Dans quel ordre ? Etc. » Cette organisation n’est, là encore, pas sans rappeler les heuristiques proposées par Pólya (cf. partie A. Chapitre II. 1.2. ) et les questions et suggestions que ce dernier conseille de se poser et d’expérimenter pour avancer dans la résolution d’un problème. Mais si Pólya destine ces questions et suggestions d’actions, à la fois à l’enseignant qui souhaite aider un élève dans la recherche de la solution d’un problème et à l’élève lui-même, avec l’idée, in fine, de permettre à l’élève de résoudre seul des problèmes, elles sont ici destinées exclusivement à une appropriation par l’élève lui-même.
D’après les documents obtenus dans le cadre de la première partie de notre deuxième étude (cf. partie B.), ainsi que des différents échanges que nous avons pu avoir avec des enseignants du cours de DM, il semble que ce modèle de résolution de problèmes en trois parties est fréquemment utilisé comme un outil à destination des élèves. De nombreux enseignants proposent, voire imposent, ce modèle aux élèves comme un guide visant à structurer la présentation de leur recherche. Dans le document écrit qu’ils rendent à l’enseignant à la fin de leur recherche, les élèves organisent leurs propos selon ces trois étapes. Ils commencent ainsi leur récit par une partie « 1. Appropriation de l’énoncé ». Or même si l’intention de Pólya pour cette première étape est d’indiquer qu’il faut commencer lors de la résolution d’un problème par se
106 questionner sur l’inconnue, les données et les conditions de celui-ci, force est de constater que les élèves ne donnent bien souvent à voir qu’une reformulation de l’énoncé. Or la reformulation de l’énoncé ne permet en rien d’assurer que l’élève a bien compris les relations entre les données du problème, des contraintes (même si cela n’assure par ailleurs en rien la réussite). Comme le met en avant Radford (1996), cette reformulation ne rend souvent compte que de ce que l’énoncé dit textuellement. La difficulté que rencontrent les élèves à rendre compte dans une partie indépendante de la résolution du problème à proprement dite, de leur compréhension du problème peut s’expliquer par le fait que la compréhension du problème peut être considérée davantage comme un processus que comme une étape de résolution. « La compréhension d'un problème n'est pas quelque chose qui se fait en une "étape" (la première étape de la résolution), suite à laquelle l'élève a ou n'a pas cette compréhension » (Radford, 1996, p. 26). Opérer une distinction nette entre les différentes étapes de résolution d’un problème semble donc difficile, notamment parce qu’il « est faux de vouloir différencier compréhension et plan de résolution: en effet, ces deux éléments se trouvent entremêlés dans le processus de résolution d'un problème » (Radford, 1996, p. 27).
Par ailleurs, cette première étape d’appropriation de l’énoncé est parfois interprétée comme une phase au sein de laquelle il convient de représenter graphiquement le problème.
Comme nous l’avons évoqué plus haut (cf. Partie A. Chapitre II. 1.2. , pour Julo (1994, 2002), la représentation du problème constitue une part importante de l’activité mentale mise en œuvre lors de la résolution du problème. Concernant les connaissances qui interviennent dans la construction de la représentation du problème, Julo indique en particulier que
intuitivement, on pense d’abord à celles qui permettent de modéliser le problème et, tout spécialement, à celles qui permettent de le “ traduire ” éventuellement sous une forme graphique (dessin, diagramme, tableau, ...). En fait, il est probable que cette sorte de connaissances n’a pas de fonction particulière dans la mise en place de la représentation mentale du problème (en revanche ce rôle devient souvent déterminant pour rendre opérationnelle la représentation). (Julo, 2002, p.
42)
Il semble important de noter que la représentation que l’on se fait du problème à traiter ne se réduit pas à une représentation graphique et que ce processus
débute avec les premières informations concernant le problème (dont certaines sont antérieures à l’énoncé lui-même : le contexte scolaire ou le genre d’ouvrage dans lequel il est proposé par exemple) et se poursuit jusqu’au moment où on cesse de “ penser ” au problème. (Julo, 2002, p. 42)
Dans les faits, la deuxième étape de la résolution (Traitement des données) est souvent réservée à l’exposé des calculs effectués, accompagné des explications, schémas, tableaux correspondants.
Dans la dernière étape (Communication des recherches et du résultat), les élèves concluent généralement en présentant la solution qu’ils proposent pour le problème traité. Cette dernière
partie semble cependant difficilement isolable des deux autres puisqu’elle porte justement sur l’exposé de la démarche de résolution.
Cette troisième et dernière étape du modèle de résolution d’un problème proposé par le document cantonal et qui n’apparait pas dans celui proposé par Pólya, est consacrée à la communication des recherches et du résultat. Cette étape est au cœur du dispositif de travail choisi par les Présidents de Groupe (PG)35 pour assurer l’évaluation certificative du cours de DM, la narration de recherche (Bonafé et al., 2002; Sauter, 1998). Nous y revenons dans la section 3.5.
de ce chapitre.
Au-delà de l’intention globale de développer les compétences des élèves en résolution de problèmes, on ne trouve pas, dans le document de liaison, d’objectifs d’apprentissage spécifiques associés au cours de DM. Les indications se limitent à des considérations générales comme « […]
découvrir et systématiser des méthodes de recherche de problème. En particulier, le but est de placer l’élève dans une situation d’apprentissage où il ou elle devra mettre en œuvre une 'démarche scientifique' c’est-à-dire qui l’amène à : essayer - conjecturer - tester – prouver » (Département de l’Instruction Publique, de la culture et du sport, 2012, p. 20). Une liste de ce qui est désigné comme « stratégies de résolution » est donnée (analogie, chainage avant, chainage arrière, tâtonnement, essais exemple contre-exemple, étude systématique de cas et exhaustivité des solutions, initiation à la démonstration) et il est précisé que ces stratégies contribuent à la mise en place de la démarche scientifique et aux règles du débat. Les enseignants sont donc incités à travailler sur les stratégies de résolution identifiées ci-dessus pour développer les apprentissages des élèves, sans pour autant que ces apprentissages ne soient clairement identifiés. Cela implique qu’ils choisissent des problèmes permettant de travailler ces stratégies.
Pour cela, des problèmes classés en fonction des stratégies que leur résolution amène à mobiliser sont proposés à la fin du document de liaison dans une sous-partie appelée « Réserve d’activités ».
Nous nous intéressons dans la suite aux problèmes qui sont proposés en accompagnement des directives du document de liaison et dans les moyens d’enseignement de la classe de 10e.
35 « La présidence de groupe réunit les représentants de discipline du collège ou des commissions désignées dans ce groupe, ou l'ensemble des maîtres de la discipline pour discuter des questions qui lui sont soumises par la direction générale ou pour étudier spontanément toute question touchant à la discipline concernée » (Règlement du cycle d’orientation (RCO), 2010).
108 A la fin du document de liaison est donc proposée une réserve d’activités pour le cours de DM (DIP, 2012). Il s’agit d’une liste de 54 problèmes, associés aux différents chapitres du PER (Espace, Nombres et Opérations, Fonctions et Algèbre, Grandeurs et Mesures) et pour lesquels sont précisées les stratégies de résolution mises en jeu (initiation à la démonstration, chainage avant/arrière, exemples/contre-exemples et/ou exhaustivité). Pour la grande majorité des problèmes, les enseignants n’ont accès qu’à leur énoncé. Certains de ces problèmes sont cependant déclinés en « fiche professeur » donnant les solutions, parfois des éléments concernant les objectifs pédagogiques ou les compétences visées, et des critères de correction.
Les enseignants peuvent, par ailleurs, s’appuyer sur les 24 problèmes du chapitre Recherche & Stratégies du livre (CIIP, 2012b) et du fichier de 10e (CIIP, 2012a) pour sélectionner ceux à proposer aux élèves dans ce cours.
Les enseignants peuvent aussi bien évidemment proposer des problèmes provenant d’autres sources (ressources en ligne, manuels étrangers, anciens moyens d’enseignement, documents issus de formation, etc.). Nous pensons cependant que les problèmes proposés dans les ressources officielles traduisent d’une certaine manière les intentions institutionnelles et peuvent être considérés comme tels par les enseignants, et qu’en ce sens, ils demeurent une source de référence. Il nous semble donc pertinent de questionner ces ressources avant d’analyser les pratiques réelles des enseignants, notamment pour savoir sur quoi ces derniers peuvent baser le choix des problèmes qu’ils proposent ensuite à leurs élèves, mais aussi pour compléter notre analyse des objectifs de ce cours. C’est ce que nous faisons dans la suite.
Pour chaque problème, nous cherchons à identifier son potentiel didactique au sens de Georget (2009). La catégorisation en stratégies de résolution proposée dans la réserve d’activités du document de liaison est très générale et ne permet pas de savoir finement quels sont les apprentissages mis en jeu dans ces problèmes.
Par exemple, sur les 54 problèmes proposés dans la réserve d’activités, 25 ne sont classés que dans « Initiation à la démonstration ». Tous les problèmes proposés dans cette catégorie peuvent donc être considérés comme visant les mêmes apprentissages. Or en analysant ces problèmes, nous observons qu’ils mettent en jeu des processus de preuve différents. De plus, les activités RRP ont entre autres pour but de permettre des apprentissages en lien avec la notion de
preuve. Cette catégorie peut donc concerner toutes les activités RPP et n’apporte que peu de précision quant aux modes de preuve et de validation mobilisés et pouvant faire l’objet d’un apprentissage. Notons aussi qu’après une brève analyse de certains problèmes nous avons repéré plusieurs incohérences entre les stratégies mobilisables dans les problèmes et celles identifiées dans le document de liaison. Ces différents éléments nous invitent à considérer une autre manière de catégoriser les problèmes que celle proposée via la réserve d’activités.
A la suite ce que nous avons présenté précédemment quant aux apprentissages potentiels des élèves dans les activités RPP, nous choisissons de caractériser les problèmes proposés en fonctions des modes de raisonnement et de preuve qui peuvent être mis en jeu par les élèves lors de leur recherche (cf. Partie A. Chapitre II. 1.6. ). Nous commençons par présenter des exemples de mise en œuvre de cette manière de caractériser les problèmes avant d’exposer nos résultats.
Nous avons analysé tous les problèmes présentés dans la réserve d’activités du document de liaison et dans le chapitre Recherche & Stratégies du livre et fichier de 10e, qui constituent les deux ressources officielles pour ce cours. Pour chacun de ces problèmes nous avons repéré les notions mathématiques mobilisées ainsi que le(s) mode(s) de raisonnement et le(s) mode(s) de preuve mis en jeu, et ce, au vu du niveau scolaire des élèves auquel ils s’adressent. Nous n’avons donc pas raisonné en termes de stratégies expertes et de modes de raisonnement/preuve associés mais bien en fonction des objectifs qui peuvent être visés par un enseignant proposant ce problème dans le contexte du cours de DM. Nous illustrons ci-dessous ce choix méthodologique, en proposant l’analyse de deux des problèmes étudiés.
Le problème RS6 intitulé « Quel métier » est semblable à plusieurs autres problèmes proposés dans le chapitre Recherche & Stratégies du livre de 10e (RS3, RS5, RS7, RS11). L’énoncé de l’activité est le suivant :
Six personnes exerçant six métiers différents se retrouvent lors d’une soirée.
- Alessandro fait partie du même club que le charcutier et le peintre.
- Billy habite la même ville que le peintre et le vendeur.
- Alessandro, le vendeur et l’électricien apprennent à jouer au bridge.
- L’électricien a accompagné Billy et Camille au dernier match de football.
- Le cuisinier, Alessandro, Billy et Camille jouent à la belote tous les vendredis soirs.
- Dominique, l’électricien et le cuisinier projettent de faire un voyage en Jamaïque.
110 - Camille admire les compétences du vendeur.
- Le cuisinier bénéficie régulièrement de la clientèle d’Emma.
Quel est le métier de chacun ?
Le problème peut être résolu par essais-ajustements, mais cette méthode est longue et peu pertinente ici. Il nous semble plus probable que des enseignants le proposent dans le but que les élèves déduisent le métier de chacune des personnes à partir des informations données dans l’énoncé. En nommant L1 la première phrase (Alessandro fait partie du même club que le charcutier et le peintre) et ainsi de suite, on peut s’attendre à une suite de déductions telles que :
Les personnes sont Alessandro, Billy, Camille, Emma, Dominique. L’énoncé nous informe que six personnes sont présentes. Donc on ne connait pas le prénom de la sixième personne. (L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7 et L8)
Les métiers sont charcutier, peintre, vendeur, électricien, cuisinier. L’énoncé nous informe que les personnes exercent toutes des métiers différents. Donc on ne connait pas le sixième métier. (L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7 et L8)
Nous continuons notre raisonnement en nous appuyant sur des implications logiques, tout en veillant à l’absence de contradiction. Nous présentons cela sous la forme d’un tableau à double entrée. Nous indiquons sous la forme d’une croix (X) les configurations qui ne sont pas possibles. Par exemple, grâce à la première phrase (L1), on en déduit que Alessandro ne peut pas être charcutier.
métier prénom
charcutier peintre vendeur électricien cuisinier Métier autre
- que Alessandro exerce le sixième métier et que le cuisinier est celui dont nous ne connaissons pas le prénom.
- Puis, que Billy, qui ne peut pas exercer lui aussi le sixième métier, est charcutier.
- Idem pour le métier d’électricien qui est donc exercé par Emma.
- Idem pour Camille qui ne peut être que peintre.
- Enfin, que Dominique est donc vendeur.
Le raisonnement mobilisé ici est de l’ordre du raisonnement déductif et plus spécifiquement d’une suite d’implications logiques. Il n’est pas nécessaire de faire des hypothèses qu’il faudrait ensuite vérifier, puisque chaque nouvelle information obtenue permet d’en déduire une suivante, et ce, jusqu’à l’obtention de la solution. La validation de la solution se fait par ostension, puisqu’il s’agit bien de trouver une configuration qui satisfasse les conditions données et d’exhiber cette configuration. Nous avons donc retenu pour ce problème, un mode de raisonnement par implication logique et une preuve par ostension.
Le problème NO20 intitulé « Des 0 et des 1 » a été proposé par deux des enseignants dont nous avons observé les pratiques. L’énoncé est le suivant :
Déterminer tous les nombres entiers positifs de 7 chiffres au plus, divisibles par 6 et dont les chiffres sont des 0 ou des 1.
Il s’agit donc de trouver l’ensemble des solutions satisfaisant les contraintes posées. Les élèves peuvent procéder d’abord par tâtonnement. Ces essais sur quelques configurations peuvent leur permettre de mieux saisir les contraintes sous-jacentes. Par exemple, le nombre 1010101 ne convient pas puisque le nombre ne se terminant pas 0, il ne peut pas être multiple de 6. Un raisonnement hypothético-déductif permet de comprendre que, devant être multiples de 6, les
Il s’agit donc de trouver l’ensemble des solutions satisfaisant les contraintes posées. Les élèves peuvent procéder d’abord par tâtonnement. Ces essais sur quelques configurations peuvent leur permettre de mieux saisir les contraintes sous-jacentes. Par exemple, le nombre 1010101 ne convient pas puisque le nombre ne se terminant pas 0, il ne peut pas être multiple de 6. Un raisonnement hypothético-déductif permet de comprendre que, devant être multiples de 6, les