Étude des pratiques évaluatives des enseignants dans le cadre d'un enseignement centré sur la résolution de problèmes en mathématiques

Thesis

Reference

Étude des pratiques évaluatives des enseignants dans le cadre d'un enseignement centré sur la résolution de problèmes en

mathématiques

CHANUDET, Maud

Abstract

La résolution de problèmes occupe une place centrale dans les curricula de mathématiques comme moyen de développer et d'évaluer l'acquisition de connaissances mais aussi comme un objet d'enseignement et d'apprentissage à part entière. Notre recherche porte sur les pratiques évaluatives des enseignants amenés à enseigner la résolution de problèmes et vise à identifier leurs logiques d'actions évaluatives en tenant compte des fonctions certificative et formative de l'évaluation. Nous nous plaçons dans le cadre d'un cours genevois centré sur le développement des compétences des élèves en résolution de problèmes et nous nous appuyons sur le cadre de la double approche didactique et ergonomique et sur le concept de régulation pour organiser notre étude. L'analyse des pratiques de trois enseignants a montré qu'ils investissent différemment la marge de manœuvre qui leur est laissée quant à l'organisation et la gestion des séances et qu'ils ne visent pas les mêmes objectifs d'apprentissage.

CHANUDET, Maud. Étude des pratiques évaluatives des enseignants dans le cadre d'un enseignement centré sur la résolution de problèmes en mathématiques. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 2019, no. FPSE 747

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:125833 URN : urn:nbn:ch:unige-1258338

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:125833

Disclaimer: layout of this document may differ from the published version.

1 / 1

Sous la co-direction de Sylvie Coppé et Jean-Luc Dorier

ETUDE DES PRATIQUES EVALUATIVES DES ENSEIGNANTS DANS LE CADRE D'UN ENSEIGNEMENT CENTRE SUR LA RESOLUTION DE PROBLEMES EN

MATHEMATIQUES

THESE

Présentée à la

Faculté de psychologie et des sciences de l’éducation de l’Université de Genève

pour obtenir le grade de Docteur en Sciences de l’Éducation

par Maud CHANUDET

de France Thèse No747

GENEVE Octobre 2019 No étudiante : 14-327-878

UNIVERSITE DE GENEVE

FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'ÉDUCATION SECTION DES SCIENCES DE L'ÉDUCATION

Étude des pratiques évaluatives des enseignants dans le cadre d'un enseignement centré sur la résolution de problèmes en mathématiques

Maud Chanudet

COMPOSITION DU JURY DE THESE

Sylvie Coppé (Directrice de thèse), Université de Genève Jean-Luc Dorier (Directeur de thèse), Université de Genève

Catherine Houdement, Université de Rouen Normandie Caroline Lajoie, Université du Québec à Montréal Lucie Mottier Lopez, Université de Genève Eric Roditi, Université Paris Descartes

d’abord à exprimer ma gratitude à Sylvie Coppé et Jean-Luc Dorier qui ont su me soutenir, m’accompagner, me conseiller, m’aiguiller sans jamais me contraindre tout au long de ces cinq années. Bien des belles choses qui me sont arrivées n’auraient pu l’être sans vous. Un infini merci.

Je remercie sincèrement Lucie Mottier Lopez et Eric Roditi d’avoir suivi mon travail depuis ses débuts, au travers de leur participation à la commission de thèse et pour nos différents échanges qui m’ont permis de progresser dans mon travail. Un grand merci à Catherine Houdement et Caroline Lajoie d’avoir accepté de faire partie de ce jury.

Je tiens aussi à remercier Marie-Line Gardes et Jean Philippe Georget pour m’avoir accordé de leur temps afin de me permettre de mieux comprendre leurs travaux.

Je souhaite exprimer toute ma reconnaissance aux trois enseignants qui m’ont ouvert la porte de leur salle de classe. Sans vous, ce travail n’aurait pas pu être.

Un grand merci à tous ceux qui ont pris du temps pour relire mon travail, et tout particulièrement à Laura pour son zèle.

Je remercie chaleureusement mes précieux collègues de bureau. Audrey, Céline, Jana, Marina, Stéphane, Sylvia. Votre soutien et nos échanges didactiques ont grandement contribué à ce que ce projet aboutisse. Votre bonne humeur constante, nos fous rires, les journées thématiques, les triathlons et expériences sportives en tous genres ont participé significativement au plaisir que j’ai toujours eu à venir travailler. Un merci particulier à Stéphane pour nos échanges stimulants autour de la résolution de problèmes et pour notre collaboration fructueuse.

Je remercie mes collègues de l’équipe DiMaGe et les membres du projet FNS qui m’ont permis, grâce aux discussions autour de notre projet de recherche, d’avancer dans mes réflexions.

Merci aussi à mes collègues suisses, en particulier à Stéphane et Valérie, pour leur soutien.

J’ai aussi une pensée pour les jeunes chercheurs avec qui j’ai pu partager des moments enrichissants. Merci en particulier à Anne, Laetitia et Monica avec qui j’ai eu la chance d’organiser le WEJCH 2016.

Je ne peux terminer cette thèse sans penser à tous ceux qui, n’ayant jamais vraiment su ce que je cherchais, ont toujours été là pour me soutenir et m’aider à prendre de la distance. Alors merci …

à mes collègues du pavillon Mail pour nos pauses déjeuner toujours conviviales.

à mes parents, mes grands-mères, ma famille. Votre fierté et votre soutien sans faille m’ont toujours portée.

à Dani, Jean-Louis, Lili et les Mazz’ de m’avoir encouragée dans cette aventure.

à mes anciens collègues et à mes amies et amis enseignants. Vous m’avez permis de garder un lien précieux avec la réalité de la classe.

à tous mes amis qui, grâce à nos vacances, soirées, week-ends et moments si précieux passés ensemble, m’ont permis de m’évader et de me rappeler l’essentiel.

Et enfin, à toi mon Sébastien, pour ta présence et ton soutien dans les bons moments comme dans les plus difficiles. Tu me donnes de la force. Merci.

6

PARTIE A. CADRE DE LA RECHERCHE ...11

CHAPITRE I. INTRODUCTION ET PLAN DE LA THESE ... 13

Introduction ... 13

Plan de la thèse ... 15

CHAPITRE II. REVUE DE LITTERATURE ... 17

La résolution de problèmes et son apprentissage ... 17

L’évaluation des apprentissages des élèves ... 53

Retour sur nos questions initiales ... 88

CHAPITRE III. LE CADRE THEORIQUE DE LA DOUBLE APPROCHE DIDACTIQUE ET ERGONOMIQUE ... 90

Une prise en compte des activités des élèves et des activités de l’enseignant ... 90

Les cinq composantes de la pratique... 92

Des pratiques supposées stables et cohérentes ... 94

Articulation entre différentes approches ... 95

C^HAPITRE IV. CONTEXTE DE LA RECHERCHE ... 97

... 97

Présentation du cours de DM ... 102

Analyse des prescriptions institutionnelles concernant le cours de DM ... 103

Travail de la commission « Évaluer la narration de recherche » en cours de DM ... 130

C^HAPITRE V. METHODOLOGIE GENERALE DE LA RECHERCHE ... 139

PARTIE B. PREMIERE ETUDE... 143

C^HAPITRE I. RAPPEL DES QUESTIONS DE RECHERCHE SPECIFIQUES A CETTE ETUDE ... 145

CHAPITRE II. CONTEXTE DE L’ETUDE.DISPOSITIF DE FORMATION ... 146

Description du recyclage ... 146

Analyse du problème des châteaux de cartes ... 148

CHAPITRE III. METHODOLOGIE DE RECUEIL ET D’ANALYSE DES DONNEES ... 154

Contenu détaillé des sondages ... 154

Traitement des données recueillies grâce aux sondages ... 156

CHAPITRE IV. RESULTATS ... 159

Divergences d’interprétation des critères entre enseignants ... 159

Structure sous-jacente aux critères de la grille ... 165

Compétences des élèves en résolution de problèmes ... 170

Profils d’élèves ... 174

Critères prédictifs de la réussite à la tâche ... 182

C^HAPITRE V. BILAN DE LA PREMIERE ETUDE ... 186

8

PARTIE C. DEUXIEME ETUDE ... 189

CHAPITRE I. RAPPEL DES QUESTIONS DE RECHERCHE RELATIVES A CETTE ETUDE ... 191

C^HAPITRE II. METHODOLOGIE DE RECUEIL ET DE TRAITEMENT DES DONNÉES ... 193

Recueil des données ... 193

Traitement des données ... 198

CHAPITRE III. ANALYSE DES PRATIQUES DE TROIS ENSEIGNANTS DE DM ... 213

Présentation des profils des trois enseignants... 213

Analyse des itinéraires cognitifs proposés aux élèves à l’échelle d’une année scolaire ... 214

Analyse des pratiques d’évaluation à visée certificative ... 230

Analyse de la composante médiative et des pratiques d’évaluation à visée formative ... 251

CHAPITRE IV. BILAN DE LA DEUXIEME ETUDE ... 346

Profil de Salomé ... 347

Profil de Rémi ... 351

Profil de Paul... 354

En guise de conclusion ... 357

PARTIE D. CONCLUSION GENERALE ... 361

CHAPITRE I. LES RESULTATS ET LES LIMITES DE LA RECHERCHE ... 363

C^HAPITRE II. PERSPECTIVES ... 371

TABLE DES ILLUSTRATIONS ... 375

REFERENCES ... 381

ANNEXES ... 393

S IGLES ET ABRÉVIATIONS

Voici une liste de sigles et d’abréviations utilisés à plusieurs reprises dans notre texte.

10^e : classe de 10^e du CO (élèves de 13-14 ans, équivalent à la classe de 4^e en France)

CIIP : conférence intercantonale de l’instruction publique de la Suisse romande et du Tessin CO : cycle d’orientation (équivalent du collège en France)

DM : cours de « Développements en mathématiques » EI : épisode(s) interactif(s)

LS : filière littéraire-scientifique du CO

MER : moyens d’enseignements romands (nous nous cantonnerons ici à ceux de mathématiques) ONT : (activité) orientée notion/technique

PER : plan d’études romand

RPP : (activité de) recherche et de preuve entre pairs

G LOSSAIRE ET PRÉCISIONS TERMINOLOGIQUES

Nous définissons ci-dessous le sens auquel nous entendons certaines expressions polysémiques fréquemment utilisées dans notre travail.

Activité : ce terme peut désigner, selon le contexte dans lequel il est employé :

- une activité de recherche et de preuve entre pairs (au sens de Georget (2009)). Nous utilisons alors systématiquement l’expression activité RPP ;

- l’activité, de l’enseignant ou de l’élève, au sens de la théorie de l’activité (Leontiev, 1975;

Rogalski, 2003) et a fortiori du cadre théorique de la double approche ergonomique et didactique (Robert & Rogalski, 2002).

Le mot activité est attaché à des actions, en général repérables, spontanées ou provoquées par une tâche, mais il désigne aussi bien ce que fait et dit l'élève (ou le professeur d'ailleurs) que ce qu'il pense, va penser après l'action (éventuellement) ou a pensé pour le faire. Il ne s'agit donc pas seulement de l'action mais aussi de ce qui génère, accompagne et contrôle l'action et qui est en partie invisible. (Robert & Rogalski, 2002, p. 507)

Problème : désigne une tâche qui nécessite la mise en œuvre d’une procédure nouvelle, qui ne se réduit pas à l’application d’une procédure connue, ce qui exclut les tâches de type exercice.

10 Tâche : en référence à la théorie de l’activité, une tâche désigne le but qu’il s’agit d’atteindre sous certaines conditions. Pour les élèves, une tâche est souvent définie par un énoncé mathématique (et peut relever plutôt d’un problème ou d’un exercice). Dans les moyens d’enseignement romands et dans la réserve d’activités (proposée dans le document de liaison), le terme utilisé est celui d’activité. Nous choisissons cependant de parler de tâche pour bien la distinguer de l’activité de l’enseignant et de l’élève.

C ITATIONS ET RÉFÉRENCES

« Après il y a les différents types de problèmes. J’aimerais qu’ils aient vu un peu chaque type » : Nous citons entre guillemets et avec cette police les propos des enseignants recueillis lors des entretiens que nous avons menés avec eux.

61- Salomé : Karl, il faut rédiger maintenant.

62- Karl : Oui j’ai commencé.

63- Salomé : Okay. N’oublie pas que ce que je cherche moi, ce serait ça. De trouver la progression logique. Tu as trouvé ?

64- Karl: Ben là je réfléchis.

Nous transcrivons les tours de parole des élèves et des enseignants lors des séances de classe en utilisant cette même police. Nous donnons plus de détails sur le code retenu pour les transcriptions dans le corps de la thèse.

Nous nous référons aux normes APA 6^e édition pour référencer nos sources (American Psychological Association, 2010).

U SAGE DU FÉMININ - MASCULIN

Nous avons fait le choix, afin d’alléger la lecture de cette thèse, d’utiliser le terme enseignant pour désigner tant les enseignantes que les enseignants.

P ^ARTIE A. C ADRE DE LA RECHERCHE

12

Chapitre I. I NTRODUCTION ET PLAN DE LA THESE

Introduction

La résolution de problèmes est considérée depuis longtemps dans l’enseignement des mathématiques comme un moyen de s’assurer que les élèves ont bien acquis les apprentissages visés et aussi, bien que plus récemment, comme un moyen de motiver l’introduction de nouvelles notions. Ces dernières années, elle est aussi mise en avant comme un objet d’enseignement pour elle-même. Il s’agit alors de développer chez les élèves des compétences de résolution de problèmes, indépendamment en quelque sorte, des notions ou concepts mathématiques en jeu.

Cet objectif se retrouve à la lecture des curriculums de nombreux pays européens (Dorier &

Garcia, 2013, p. 842) et en particulier à la lecture du plan d’études romand (Conférence Intercantonale de l’Instruction Publique de la Suisse romande et du Tessin (CIIP), 2010b) qui en fait une visée prioritaire. Mais, bien que fortement mis en avant institutionnellement, la résolution de problèmes n’en demeure pas moins un objet complexe à enseigner et à évaluer.

C’est en tant qu’enseignante de mathématiques au secondaire que j’ai d’abord formulé ce constat. Dans ma pratique quotidienne, je proposais des problèmes pour introduire, faire réinvestir des notions mathématiques et m’assurer de leur bonne acquisition par les élèves. Les problèmes que je proposais avec le « seul » objectif d’entrainer les élèves à résoudre des problèmes, ne trouvaient quant à eux leur place que très épisodiquement dans mon enseignement. Bien que convaincue de l’importance d’en proposer aux élèves pour leur permettre de développer des compétences générales, il m’était toutefois difficile de les intégrer dans mes progressions et de savoir comment évaluer les apprentissages et les progrès de mes élèves. Je me demandais ainsi fréquemment : Quels problèmes proposer aux élèves ? Que peuvent-ils apprendre en résolvant de tels problèmes ? A quels critères se référer pour évaluer leurs apprentissages ? Comment les aider à progresser ? La lecture de divers travaux, d’une part en didactique des mathématiques, et d’autre part dans le champ de l’évaluation, m’a permis de voir que ces questions demeuraient vives dans ces deux domaines de recherche. C’est donc avec la volonté de répondre à ces questions émanant au départ de mon expérience professionnelle et relatives à la pratique de la résolution de problèmes en classe de mathématiques, que j’ai débuté mon travail de thèse.

Le début de ma recherche doctorale a, de plus, coïncidé avec le début de mon immersion dans le système éducatif genevois. J’ai ainsi appris l’existence récente d’un cours spécifiquement

14 dédié à la résolution de problèmes et donnant lieu à une évaluation certificative indépendante du cours ordinaire de mathématiques. Cette évaluation doit être fréquente et porter sur les compétences des élèves en résolution de problèmes. Pour permettre aux enseignants d’accéder aux démarches de recherche des élèves, un choix original a été fait, celui de faire reposer l’évaluation de ce cours sur le dispositif de la narration de recherche (Bonafé et al., 2002). Depuis la création de ce cours, des outils ont été mis à disposition des enseignants (une réserve de problèmes et une grille d’évaluation entre autres). Pour autant, nombre de ces derniers considèrent que ce cours les contraint à sortir de leur zone de confort et à remettre en question leurs pratiques habituelles. Ils doivent, en effet, non pas enseigner des notions et concepts mathématiques classiques et bien identifiés, mais amener les élèves à développer des compétences générales de résolution de problèmes et évaluer ces dites compétences. Ils doivent pour cela définir les objectifs d’apprentissage qu’ils visent, choisir les problèmes à proposer aux élèves, déterminer l’ordre dans lequel les étudier, sélectionner ceux qui vont faire l’objet d’une évaluation, définir des critères d’évaluation et prendre en main un dispositif particulier : la narration de recherche.

Ce contexte, un cours original et récent dans lequel l’évaluation occupe une place importante, m’a semblé propice à l’étude de mes questions initiales concernant l’enseignement et l’évaluation de la résolution de problèmes. Il m’a alors fallu réfléchir à la manière avec laquelle je souhaitais aborder ces questions. J’ai fait le choix d’adopter une démarche compréhensive des pratiques enseignantes avec la volonté d’étudier, de décrire et de peut-être comprendre comment les enseignants enseignent la résolution de problèmes et comment ils développent et évaluent les apprentissages associés. Il m’a semblé que les deux points de vue, de la didactique des mathématiques et du champ de l’évaluation des apprentissages, sur l’objet « enseignement et apprentissage de la résolution de problèmes » pouvaient s’avérer complémentaires et permettre de mieux appréhender sa complexité. Nous allons ainsi dans le sens de Grugeon-Allys, Roditi et Sayac, qui, dans l’introduction du numéro spécial de Mesure et évaluation en éducation consacré à l’évaluation en mathématiques, soulignent que « […] les deux champs [la didactique des mathématiques et l’évaluation] pourraient enrichir les analyses des pratiques évaluatives des enseignants » (2018, p. 1).

Dans cette thèse, je m’emploie donc principalement à étudier et décrire les pratiques des enseignants, avec une attention particulière portée à leurs pratiques évaluatives, dans le contexte d’un enseignement de la résolution de problèmes en mathématiques. Cela m’amène notamment à identifier les apprentissages qui peuvent être visés par un enseignement de la résolution de problèmes, à caractériser les problèmes qui sont effectivement proposés par les enseignants, à étudier ce qu’ils proposent à leurs élèves en termes d’évaluation et à analyser la manière dont ils

gèrent des séances dédiées spécifiquement à la résolution de problèmes en classe de mathématiques en vue notamment de développer et soutenir les apprentissages de leurs élèves.

Une étude complémentaire m’a conduite à interroger plus spécifiquement la dimension certificative de l’évaluation des apprentissages des élèves en résolution de problèmes, avec une analyse à grande échelle des compétences des élèves, et ce, à l’appui d’une grille d’évaluation des narrations de recherche.

Plan de la thèse

Notre thèse se structure en trois grandes parties.

La partie A présente les éléments théoriques et contextuels ainsi que les questions de recherche alimentant notre thèse.

A la suite de ce premier chapitre présentant une introduction et un plan de la thèse, le chapitre II consiste en une revue de littérature des différents travaux qui ont retenu notre attention pour notre recherche. La résolution de problèmes est l’objet d’enseignement et d’apprentissage au centre de notre étude. Nous nous appuyons sur différents résultats de recherche, en didactique des mathématiques principalement, pour caractériser ce que recouvre l’activité de résolution de problèmes ainsi que les apprentissages potentiels auxquels elle peut donner lieu. Dans un deuxième temps, nous nous penchons sur les recherches issues du champ de l’évaluation des apprentissages. Après avoir présenté ce que nous retenons comme caractéristique de l’acte évaluatif et la distinction, bien que non radicale, entre les fonctions certificative et formative, nous nous intéressons plus en détail à la dimension formative de l’évaluation des apprentissages. Nous revenons sur des notions centrales dans les différents courants de recherche, telles que celle de feedback dans les approches anglophones, ou celle de régulation pour la perspective francophone, avant de nous centrer sur les évaluations formatives informelles. Nous terminons par un rapide tour d’horizon des recherches en didactique des mathématiques qui s’intéressent à la question de l’évaluation des apprentissages des élèves.

Le chapitre III présente le cadre théorique retenu pour l’analyse des pratiques enseignantes, à savoir la double approche didactique et ergonomique (Robert & Rogalski, 2002).

Le chapitre IV présente le contexte institutionnel au sein duquel notre travail prend place.

Après avoir donné quelques précisions concernant le système éducatif genevois, nous nous centrons sur le cours qui va constituer le terrain de notre recherche et analysons les prescriptions curriculaires à destination des enseignants ainsi que les ressources mises à leur disposition. Nous terminons par la présentation du travail d’une commission auquel nous avons pris part.

16 Le cinquième et dernier chapitre de cette première partie présente la méthodologie générale de notre recherche, et en particulier, les questions de recherche auxquelles nous cherchons à répondre. Nous présentons également brièvement les deux études que nous avons menées et comment chacune doit permettre a priori de répondre à nos questions de recherche.

Les parties B et C sont consacrées aux deux études que nous avons menées. La partie B présente la première étude qui interroge la dimension certificative de l’évaluation des apprentissages des élèves en résolution de problèmes à travers une étude à large échelle. Nous commençons par préciser la méthodologie de recueil et d’analyse des données que nous adoptons dans cette partie. Nous présentons ensuite les analyses que nous avons menées ainsi que les résultats relatifs à chacune de nos questions de recherche.

Notre deuxième étude, présentée dans la partie C, s’intéresse aux pratiques effectives de trois enseignants dispensant un cours centré sur la résolution de problèmes, avec un intérêt particulier pour leurs pratiques évaluatives. Nous commençons là aussi par présenter la méthodologie adoptée pour recueillir et analyser les données en vue de répondre aux trois grandes questions de recherche, avant de présenter nos résultats.

La conclusion générale de notre travail et les perspectives qu’il ouvre sont présentées dans la partie D.

Chapitre II. R EVUE DE LITTERATURE

La résolution de problèmes et son apprentissage

Les problèmes et leur résolution font partie de l’essence et de l’épistémologie des mathématiques (Halmos, 1980; Houdement, 2011). Historiquement, les mathématiques ont été construites en réponse à des questions, qui se sont traduites sous forme de problèmes (Charnay, 1988).

Aujourd’hui encore « Si l’on veut expliciter rapidement ce que signifie l’expression faire des mathématiques, on dira qu’il s’agit de poser et résoudre des problèmes, qui émergent à partir d’une situation, de nature mathématique ou mathématisable » (Gandit, Triquet, & Guillaud, 2010, p. 1‑2). Pour Perrin, mathématicien contemporain, « Faire des mathématiques, c'est poser et -si possible- résoudre des problèmes » (2007, p. 7).

Les auteurs de l’introduction à l’enquête thématique de ICME¹-13 dédiée au Problem solving in mathematics education (Liljedahl, Santos-Trigo, Malaspina, & Bruder, 2016) rappellent l’importance de la résolution de problèmes tant dans les mathématiques elles-mêmes que pour leur enseignement et leur apprentissage.

Mathematical problem solving has long been seen as an important aspect of mathematics, the teaching of mathematics, and the learning of mathematics. It has infused mathematics curricula around the world with calls for the teaching of problem solving as well as the teaching of mathematics through problem solving. (Liljedahl et al., 2016, p. 1)

Ils mettent par ailleurs en exergue la double fonction de la résolution de problèmes dans l’enseignement des mathématiques ; celle d’outil et d’objet d’enseignement. Pour Charnay (1988), les objectifs de l’activité de résolution de problèmes sont ainsi de deux ordres :

- objectifs d’ordre 'méthodologique' : en un mot 'apprendre à résoudre des problèmes, à chercher'.

L’objectif est en quelque sorte dans l’activité elle-même (cf. pratique du 'problème ouvert' décrite par l’IREM de Lyon) ;

- objectifs d’ordre 'cognitif' : on vise une connaissance (notion, algorithme, …) au travers de l’activité de résolution de problèmes. […] (1988, p. 28)

1 International Congress on Mathematical Education

18 Les programmes de mathématiques de nombreux pays invitent en ce sens à faire cohabiter un enseignement de la résolution de problèmes et un enseignement par la résolution de problèmes.

Pour Schneider (2002), l’adoption dans les programmes de mathématiques d’une approche par compétences met en avant cette idée d’un enseignement pour le problème. Pour autant, les concepts et notions mathématiques continuent de structurer les programmes. « There are tensions between the development of inquiry habits of mind and the progression of mathematical knowledge paying necessary attention to curricular progression […] » (Artigue & Blomhøj, 2013, p. 809).

Dans notre travail, nous nous intéressons plus spécifiquement à la résolution de problèmes en tant qu’objet d’enseignement en soi. Nous étudions, dans cette première partie, les travaux, principalement issus de la didactique des mathématiques, qui s’y rapportent. Nous commençons par essayer de délimiter ce à quoi renvoie le terme « problème » dans le contexte scolaire et par préciser le sens où nous l’entendons.

“Ne me dites pas que ce problème est difficile. S'il n'était pas difficile, ce ne serait pas un problème.”

Cette citation attribuée au général et académicien français Ferdinand Foch (1851–1929), illustre le fait que la notion de difficulté est intrinsèque au concept de problème.

Il existe de nombreuses définitions du terme problème. Selon le Centre national de ressources textuelles et lexicales (CNRTL), il s’agit d’une « question à résoudre par des méthodes rationnelles ou scientifiques. »² Étymologiquement, le mot problème est emprunté au grec³ et signifie, entre autre, « ce qu'on a devant soi, obstacle »². Un problème doit donc poser problème à la personne qui tente de le résoudre, il doit constituer un obstacle à franchir.

Dans les travaux de didactique des mathématiques, de nombreuses définitions mettent ainsi en avant l’idée qu’un problème doit, pour sa résolution, nécessiter la mise en œuvre d’une procédure, d’un raisonnement, non immédiatement accessible à la personne qui s’y confronte (Monaghan, Pool, Roper, & Threlfall, 2009; Newell & Simon, 1972; Schoenfeld, 1985). Schoenfeld

2 Problème. (s. d.). In Portail lexical du Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales. Consulté à l’adresse http://www.cnrtl.fr/definition/problème le 10 février 2018.

3 Le mot grec ayant donné problème est : προ ́βλημα.

précise ainsi que quelqu’un qui tente de résoudre un problème ne doit pas pouvoir accéder facilement à une procédure menant à sa résolution et que dans le cas contraire, il s’agit d’un exercice et non d’un problème (1985, p. 11).

Dans une perspective psychologique, Brun (1990) considère qu’un problème se définit dans un rapport entre le sujet et la situation qui lui est proposée et le caractérise ainsi comme

[…] une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d'élaborer⁴ une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but. Il n'y a problème que dans un rapport sujet / situation, où la solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire. C'est dire aussi qu'un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple. (1990, p. 2)

Fagnant et Demonty (2016) soulignent, elles aussi, l’aspect relatif d’un problème et la nécessaire prise en compte de divers facteurs pour s’assurer qu’une personne se trouve effectivement face à un problème.

La situation doit véritablement poser 'problème' à la personne qui la découvre : si la personne connaît d’emblée la démarche qui lui fournira la réponse, il n’y a pas de problème à résoudre. Cela signifie donc que la situation seule ne suffit pas pour définir le problème. D’autres facteurs doivent également être pris en compte : les acquis de la personne qui découvre la situation, le contexte dans lequel elle se trouve, les apprentissages qui ont été réalisés au préalable… (2016, p. 15)

Un problème ne l’est donc pas en lui-même mais le devient en fonction des conditions dans lesquelles il est proposé. Proposer un problème à un sujet implique donc la prise en compte du sujet lui-même et de facteurs liés au sujet et à la situation. Dans le contexte scolaire qui est celui qui nous intéresse, un même problème, suivant les connaissances de l’élève à qui on le destine, suivant le moment où on le propose pendant la scolarité, suivant la gestion qui en est faite par l’enseignant en classe, suivant sa formulation, etc., peut faire l’objet d’une résolution où l’élève va mettre en jeu des procédures personnelles et nouvelles ou bien faire l’objet d’une procédure automatisée. A la suite de Schoenfeld (1985) et de Julo (1995), nous parlons dans ce dernier cas d’exercice et non pas de problème.

C’est bien là que se trouve la frontière entre exercice et problème : l’existence, dans le premier cas, d’une stratégie qui s’impose d’elle-même, d’une procédure que l’on n’a pas vraiment à élaborer (mais plutôt à appliquer) et donc d’une représentation que l’on a plus vraiment à construire. (Julo, 1995, p.

19)

Dans le contexte de la classe de mathématiques, même s’il parait complexe de considérer individuellement chaque élève pour distinguer ceux pour qui le problème étudié est réellement

4 En gras dans le texte initial. Dans tout notre texte, chaque citation est reprise telle qu’elle a été rédigée et présentée dans le document source. Tout ajout, modification d’un terme pour préciser le propos ou coupe dans la citation est indiqué entre crochet […].

20 un problème, de ceux pour qui il relève davantage d’un exercice, il semble tout de même possible de prendre en compte plus globalement cette dialectique sujet/situation. Nous considérerons ainsi dans la suite, qu’un enseignant confronte les élèves à un problème lorsque, au vu du niveau scolaire des élèves, de leurs compétences, de ce qui a été travaillé auparavant et de la tâche elle- même, celle-ci est vouée à constituer un problème pour la grande majorité d’entre eux. Nous gardons cependant bien en tête que les tâches proposées par les enseignants en tant que problème, peuvent en fait, pour certains élèves, relever davantage d’un exercice.

Tout comme les définitions, il existe de nombreuses classifications des problèmes mathématiques.

Charnay propose par exemple de caractériser les problèmes en fonction des objectifs d’apprentissage qu’ils permettent de viser. Il distingue ainsi :

- les problèmes destinés à engager les élèves dans la construction de nouvelles connaissances (souvent appelés 'situations-problèmes'),

- les problèmes destinés à permettre aux élèves l’utilisation des connaissances déjà étudiées (souvent appelés 'problèmes de réinvestissement'),

- les problèmes destinés à permettre aux élèves l’extension du champ d’utilisation d’une notion déjà étudiée (parfois appelés 'problèmes de transfert', avec toute l’ambiguïté liée à ce dernier terme),

- les problèmes plus complexes dans lesquels les élèves doivent utiliser conjointement plusieurs catégories de connaissances (parfois appelé 'problèmes d’intégration ou de synthèse'),

- les problèmes dont l’objectif est de permettre au maître et aux élèves de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maitrisées ('problèmes d’évaluation'),

- les problèmes destinés à mettre l’élève en situation de recherche et donc de développer des compétences plus méthodologiques ('problème ouvert'). (1992, p. 78‑79)

Chaque catégorie est ici définie par la manière dont les connaissances des élèves sont mises en jeu dans le problème. Seule la catégorie « problème ouvert » fait référence à des compétences visées.

Charnay précise cependant bien qu’un même énoncé peut relever de l’une ou l’autre des catégories, en fonction notamment du moment et des connaissances des élèves à qui le problème est proposé. On retrouve là encore le caractère relatif d’un problème et la nécessaire prise en compte du sujet à qui on le propose.

Une autre approche est, par exemple, mise en avant dans les moyens d’enseignements romands. Le moyen de 3PH⁵ est ainsi organisé en six modules, dont les intitulés donnent l’intention générale. Chacun de ces six modules est défini par le type de problèmes qu’il permet de résoudre. Ils s’intitulent, dans l’ordre : des problèmes pour apprendre à conduire un raisonnement, des problèmes pour approcher le nombre et lui donner du sens, des problèmes pour connaître l’addition, des problèmes pour explorer et organiser l’espace, des problèmes pour approcher les figures géométriques et les transformations du plan, des problèmes pour mesurer.

Dans ce cas-là, les problèmes sont distingués en fonction des concepts et notions mathématiques qu’ils permettent de travailler.

Houdement (2017) relève différentes fonctions attribuées habituellement aux problèmes et que les enseignants doivent, selon les indications institutionnelles, faire cohabiter dans leur enseignement, que ce soit avant, pendant ou après l’apprentissage d’un nouveau savoir. Les problèmes peuvent ainsi permettre de motiver, introduire, entraîner, réinvestir, légitimer, évaluer ou encore faire chercher les élèves (2017, p. 60). Elle propose, à la suite d’une recherche menée sur les problèmes arithmétiques verbaux à l’école primaire et en s’appuyant notamment sur les travaux de Julo (1995, 2002)⁶, une autre catégorisation des problèmes, toujours relative à leur fonction :

[les] problèmes basiques dont il est attendu une résolution « automatisée » ; [les] problèmes complexes, agrégats de problèmes basiques où la construction et la connexion des informations, nécessaires pour la résolution, est à la charge de l’élève ; [les] problèmes atypiques (qui ne sont pas des agrégats de problèmes basiques), dont la résolution demande la construction d’une stratégie, à défaut d’une ressemblance que percevrait le sujet avec un problème résolu. (Houdement, 2017, p.

73)

Elle soutient l’idée que les problèmes basiques doivent faire l’objet d’un travail spécifique avec les élèves en vue de leur permettre ensuite de résoudre des problèmes complexes ou atypiques.

Nous retenons de ces différents travaux l’idée qu’un problème doit faire obstacle à celui qui tente de le résoudre et qu’il n’a de sens que considéré dans un rapport sujet/situation. La coexistence de nombreuses catégorisations de problèmes montre bien la difficulté de circonscrire cet objet d’enseignement. Ainsi un même problème peut relever de différents types de problèmes selon les classifications considérées et occuper diverses fonctions, en particulier viser l’apprentissage ou le réinvestissement de savoirs et notions mathématiques et/ou le développement de compétences plus générales en résolution de problèmes. Ce dernier objectif a

5 Classe regroupant des élèves de 6-7 ans. Equivalent à la classe de CP en France.

6 Ces travaux sont détaillés dans la partie Chapitre I.1.2.

22 donné lieu à de nombreux travaux en didactique des mathématiques qui ont cherché à développer et analyser certains types de problèmes (comme le problème ouvert (Arsac, Germain, & Mante, 1991) par exemple). Nous présentons dans la section 1.3. le modèle des activités de recherche et de preuve entre pairs (Georget, 2009) permettant d’adopter un point de vue fédérateur concernant ces différents types de problèmes.

Les problèmes occupent une place centrale dans l’enseignement des mathématiques au sens où ils sont censés provoquer de la part des élèves une réelle activité mathématique. Nous cherchons ci-après à caractériser ce que recouvre l’activité mathématique de résolution de problèmes.

La résolution de problèmes, comme moteur de l’activité des élèves, est depuis longtemps au cœur de recherches en didactique des mathématiques. « The role of problems in developing students' mathematical activity was chosen by the International Commission on Mathematical Instruction as one of three topics for discussion at the 1966 International Congress of Mathematicians in Moscow » (Kilpatrick, 1969, p. 523).

Les travaux du mathématicien George Pólya (1945) et du chercheur en éducation Alan Schoenfeld (1979, 1985) servent, aujourd’hui encore, de références dans les recherches s’intéressant à cette thématique, comme nous le rappellent les auteurs de l’introduction à l’enquête thématique de ICME-13 dédiée au problem solving in mathematics education :

To this end, we have assembled four summaries looking at four distinct, yet inter-related, dimensions of mathematical problem solving. […] Each of these summaries references in some critical and central fashion the works of George Pólya or Alan Schoenfeld. To the initiated researchers, this is no surprise.

The seminal work of these researchers lie at the roots of mathematical problem solving. (Liljedahl et al., 2016, p. 1)

Dans son ouvrage How to solve it? (1945), Pólya propose un certain nombre d’heuristiques, visant à aider quiconque doit résoudre un problème mathématique. Il présente pour cela un plan qui s’organise en quatre phases de travail :

Pour résoudre un problème vous devez successivement : I. Comprendre le problème

II. Concevoir un plan

Trouver le rapport entre les données et l’inconnue.

Vous pouvez être obligé de considérer des problèmes auxiliaires si vous ne pouvez trouver un rapport immédiat.

Vous devez obtenir finalement un plan de la solution.

III. Mettre le plan à exécution

IV. Examiner la solution obtenue (1965, p. XX).

Pour chacune des étapes de ce modèle, Pólya propose une série de questions à se poser et de suggestions à expérimenter pour avancer dans la résolution du problème cherché. Par exemple, dans l’étape I de compréhension du problème, il propose de se demander et d’expérimenter :

· Quelle est l’inconnue ? Quelles sont les données ? Quelle est la condition ?

· Est-il possible de satisfaire à la condition ? La condition est-elle suffisante pour déterminer l’inconnue ? Est-elle insuffisante ? Redondante ? Contradictoire ?

· Dessinez une figure. Introduisez la notation appropriée.

· Distinguez les diverses parties de la condition. Pouvez-vous les formuler ? (1965, p. XXI)

Ces questions et suggestions d’actions sont à destination de l’enseignant qui souhaite aider un élève dans la recherche de la solution d’un problème, mais aussi de l’élève lui-même, et visent, dans les deux cas, à lui permettre d’être capable, in fine, seul, de résoudre des problèmes. Pólya considère donc que l’appropriation d’heuristiques peut favoriser le développement de compétences en résolution de problèmes.

Julo (2002) précise cependant que la méthode proposée par Pólya n’a jamais fait ses preuves. Kilpatrick attribue, à l’époque, l’échec de ces programmes d'entraînement aux méthodes heuristiques à un manque de connaissance sur la façon dont les sujets utilisent l'heuristique et à une absence de connaissance sur la façon dont ils adaptent l'heuristique à différents types de problèmes (1969, p. 529). Il préconise, par ailleurs, de mener des études qualitatives plutôt que des études à larges échelles d’ordre quantitatives, pour analyser et mieux comprendre les mécanismes impliqués dans la résolution de problèmes en mathématiques.

Schoenfeld (1985) s’intéresse, quant à lui, à ce qui permet à un individu d’être performant en résolution de problèmes. Il souligne, à la suite de Pólya, l’importance des heuristiques (qu’il appelle plus généralement stratégies heuristiques) qu’il définit comme les stratégies et techniques qui permettent de progresser sur des problèmes non familiers ou non usuels, ainsi que les règles de base permettant de résoudre un problème, telles que faire des dessins et introduire les notations correspondantes, exploiter les analogies avec d’autres problèmes, travailler sur un problème auxiliaire, reformuler le problème et mettre en œuvre le chainage arrière, tester et vérifier les procédures ou faire comme si on avait résolu le problème. L’association du terme de stratégie à celui d’heuristique illustre bien le fait que, pour Schoenfeld, les stratégies heuristiques sont assimilables à des étiquettes regroupant des catégories de stratégies proches, chacune d’entre elles nécessitant la mise en œuvre de plusieurs étapes propres. Il précise ainsi que la

24 stratégie heuristique « examiner des cas particuliers » regroupe une demi-douzaine de stratégies et que la mise en œuvre d’une stratégie telle que « explorer un problème connexe plus facile à résoudre » implique six ou sept phases, chacune pouvant être source de difficultés. Il identifie ainsi des difficultés liées au niveau de spécificité des stratégies heuristiques. Plus elles sont définies de manière générale, plus il devient difficile d’effectuer un contrôle à la suite de leur mise en œuvre. A l’inverse, plus elles sont spécifiques, plus leur nombre augmente et plus il est complexe de savoir laquelle appliquer sur un problème donné (1985, p. 73). La distinction entre heuristiques et stratégies et la détermination de leur niveau de spécificité ne vont donc pas de soi.

Nous retenons cependant l’idée que les heuristiques peuvent offrir des pistes lors de la résolution de problèmes non routiniers (Schoenfeld, 1985) et qu’elles visent un degré de généralité plus élevé que les stratégies.

Outre l’appropriation et la mise en œuvre d’heuristiques, Schoenfeld met aussi en exergue trois autres éléments en lien avec les connaissances et le comportement d’un individu, qui influencent sa capacité à résoudre des problèmes :

- Tout d’abord les ressources que Schoenfeld définit comme les connaissances mathématiques que possède un individu et qui peuvent être mobilisées pour résoudre le problème. Il peut s’agir d’intuitions et de connaissances informelles sur le domaine mathématique considéré, de faits, de procédures algorithmiques, de procédures routinières bien que non algorithmiques, ou de connaissances quant aux règles de fonctionnement du domaine mathématique convoqué.

- Le contrôle qui concerne les décisions de sélection et de mise en œuvre de ressources et de stratégies, comme le fait de planifier, d’évaluer, de prendre des décisions, de mettre en œuvre des actions relevant de la métacognition.

- Le système de croyances enfin, caractérisant chez un individu sa vision mathématique du monde et les déterminants de son comportement, relatifs à : lui-même, l’environnement, le sujet et les mathématiques.

Dans le contexte scolaire, si l’enseignant peut sans doute plus difficilement influencer directement certains de ces éléments, comme le système de croyances des élèves par exemple, il peut cependant s’appliquer à développer leurs connaissances et donc les ressources à leur disposition (au sens de Schoenfeld), les inciter à recourir à différentes heuristiques, susciter des réflexions de l’ordre du contrôle, le tout dans le but de rendre les élèves plus compétents en résolution de problèmes.

Julo (1995, 2002) se propose, lui aussi, de contribuer à la réflexion didactique concernant l’aide à la résolution de problèmes, en partant d’une approche de psychologie cognitive. Il

s’oppose ainsi à l’idée que la résolution d’un problème procède d’une démarche linéaire et universelle, dont la compréhension du problème constituerait une étape, ce que le modèle développé par Pólya peut laisser penser.

On a souvent voulu découper cette démarche [de résolution] en opérations successives : lire l’énoncé, comprendre le problème, définir un plan, … Pourtant, ni la construction de la représentation, ni la résolution d’un problème en général, ne sont des processus linéaires. (Julo, 1995, p. 29)

Il souligne la complexité des processus cognitifs mis en jeu lors de l’activité de résolution de problèmes et fait l’hypothèse qu’il existe des processus spécifiques à la base de l’activité de résolution de problèmes, liés à la représentation que l’on se fait du problème et à notre mémoire des problèmes déjà rencontrés.

On peut raisonnablement supposer, en outre, que si ces processus spécifiques de l’activité de résolution de problème ont un versant opératoire (que l’on évoque souvent sous le terme général de stratégie), ils ont également un versant représentationnel dont le rôle est déterminant. Et l’hypothèse que ce second versant serait très lié aux objets cognitifs particuliers que l’on désigne actuellement sous le terme générique de schémas de problèmes est à envisager sérieusement lorsqu’on s’interroge sur la possibilité d’un apprentissage à la résolution de problèmes. (Julo, 2002, p. 35)

Il distingue un pan action et un pan représentation dans les processus impliqués dans l’activité de résolution de problèmes et plus généralement dans une activité complexe. Pour le pan représentation, « lorsque nous cherchons à résoudre un problème, nous nous construisons progressivement une certaine représentation de ce problème » (1994, p. 24). Cette représentation ne se limite cependant pas à la compréhension de son énoncé, mais intervient tout au long du processus de résolution. Julo identifie ainsi trois processus dans la construction des représentations particularisées en situations de résolution de problèmes : le processus d’interprétation et de sélection, le processus de structuration et le processus d’opérationnalisation. Il met en avant un double mouvement entre les représentations et les connaissances du sujet : si les connaissances du sujet viennent influencer les représentations qu’il se fait du problème, les caractéristiques de la situation viennent en retour influencer l’activité de représentation (1995, p. 58). L’hypothèse selon laquelle il existe des connaissances jouant un rôle spécifique dans les processus de représentation amène Julo à définir la notion de schémas de problèmes.

Il définit ces schémas de problèmes comme des « traces laissées en mémoire par les situations rencontrées précédemment et organisées en objets structurés ayant un certain nombre de propriétés caractéristiques » (1994, p. 90). C’est, selon lui, en multipliant la confrontation des élèves à des problèmes divers et en leur laissant le temps de les résoudre, complètement, que l’on va enrichir leur mémoire des problèmes et développer des schémas de problèmes. Il s’agit alors pour l’enseignant d’aider les élèves à développer des schémas de différents types pour leur permettre de pouvoir plus facilement résoudre de nouveaux problèmes.

26 La compréhension de ce en quoi consiste l’activité de résolution de problèmes en mathématiques semble aussi pouvoir être enrichie par l’observation des pratiques des experts, à savoir les chercheurs en mathématiques. Gardes (2013, 2017) s’est ainsi intéressée aux processus effectifs de recherche, de chercheurs, élèves et étudiants engagés dans la résolution d’un problème non résolu en mathématiques. Elle utilise la notion de geste de la recherche « comme outil pour décrire et analyser le travail mathématique effectif d’un sujet (chercheur, élève, étudiant) dans la recherche d’un problème de recherche » (Gardes, 2017, p. 182). Cette notion de geste permet de mettre en évidence certains aspects du travail du chercheur identifiés dans ses analyses épistémologiques : le rôle de l’intuition, le rôle de la dimension expérimentale des mathématiques et l’importance d’un travail dialectique entre la mobilisation, l’acquisition de connaissances mathématiques et le développement d’heuristiques (2017, p. 183).

Ce rapide tour d’horizon des travaux en lien avec l’activité de résolution de problèmes mathématiques nous invite à garder en mémoire tout au long de notre recherche la complexité des processus mobilisés chez un individu lors de résolution d’un problème mathématique.

Le choix des problèmes, tout comme les modalités de travail et les interventions des enseignants sont donc cruciaux pour permettre aux élèves de développer de telles aptitudes.

Différents dispositifs de formation à la résolution de problèmes en classe ont vu le jour dans le but de fournir aux enseignants des ressources pour aider les élèves à devenir de bons résolveurs de problèmes. Mais là encore, il n’y a pas de consensus sur des dispositifs de formation à la résolution de problèmes, en particulier quant aux caractéristiques des problèmes à proposer.

Nous présentons ci-après la notion d’activité de recherche et de preuve entre pairs, développée par Georget (2009) dans le but de fédérer ces différents dispositifs.

Ces dernières décennies, de nombreux dispositifs visant à former à la résolution de problèmes en mathématiques se sont développés. Houdement (2009) rappelle que ces dispositifs ont été initialisés par Glaeser (1976) puis plus largement diffusés par Arsac, Germain et Mante avec le dispositif du problème ouvert (Arsac, Germain, & Mante, 1991; Arsac & Mante, 2007) qui reste aujourd’hui encore un dispositif très connu des enseignants. De nombreux intitulés et dispositifs ont depuis vu le jour, s’adressant à des élèves de différents niveaux scolaires et selon différentes modalités : le modèle des SiRC (situations de recherche pour la classe) (Grenier & Payan, 2002) et les ateliers MATh.en.JEANS (Méthode d’Apprentissage des Théories mathématiques en Jumelant des Établissements pour une Approche Nouvelle du Savoir), le dispositif des narrations de recherche (Bonafé, 1993), le modèle des ARM (Atelier de Recherche en Mathématiques)

(Eysseric, 2002), le modèle des ESFI (Enseignements Scientifiques Fondés sur l’Investigation) (Grangeat, 2013), etc. Malgré les spécificités de chaque dispositif, tous partagent un objectif commun qui est de vouloir initier les élèves à la démarche scientifique et de transposer la pratique d’un chercheur en mathématiques à la classe.

Dans son travail de doctorat, Georget (2009) présente une synthèse de différents dispositifs visant à transférer en classe l’activité de recherche du mathématicien et introduit en ce sens deux termes permettant de fédérer les dispositifs existants et dont il considère les intitulés parfois peu explicites concernant les objectifs d’apprentissage visés : les activités de recherche et de preuve entre pairs (activité RPP) et les activités orientées notion/technique (activité RPP ONT). Le choix de ces deux termes illustre la nécessaire distinction à opérer selon lui entre les problèmes proposés en vue d’un apprentissage pour la résolution de problèmes et ceux proposés pour un apprentissage par la résolution de problèmes, c’est-à-dire entre ceux proposés aux élèves avec l’objectif de les entraîner à la recherche de problèmes mathématiques et ceux proposés pour introduire une nouvelle notion ou une nouvelle technique. Il définit les activités RPP ainsi :

L’expression activité de recherche et de preuve entre pairs désigne les activités dont l’objectif principal est d’entraîner les élèves à la démarche de recherche en mathématiques et aux échanges entre pairs à la manière des mathématiciens professionnels. Elles permettent de travailler des notions principalement paramathématiques (Chevallard 1985, p. 50) qui sont liées à l’activité de recherche d’un mathématicien. (Georget, 2009, p. 77)

Le terme d’activité RPP ONT désigne, quant à lui :

[…] les activités RPP dont l’objectif est de faire travailler in fine les élèves sur une nouvelle notion ou une nouvelle technique mathématique qui est au programme des élèves d’un niveau donné. Les situations-problème de (Arsac et al., 1991), les situations adidactiques (Brousseau, 1998) sont des activités RPP ONT. (Georget, 2009, p. 77)

Nous nous intéressons tout particulièrement aux activités RPP, faisant de la résolution de problèmes un objectif en soi. Georget caractérise les activités RPP et RPP ONT en fonction de cinq potentiels et précise, par ailleurs, que ces potentiels sont à la fois liés et relativement indépendants :

- Le potentiel de recherche constitué des éléments permettant aux élèves de chercher un problème nouveau (le problème ne doit pas se résoudre par la seule application de techniques connues des élèves). Le potentiel de recherche d’un problème est d’autant plus important qu’il suscite l’intérêt et la curiosité chez les élèves et que ces derniers ont plusieurs moyens de chercher à le résoudre. Cela permet de faciliter leur implication dans la recherche ainsi qu’une bonne dévolution du problème.

- Le potentiel de résistance et le potentiel de résistance dynamique regroupent les éléments qui assurent que le problème résiste aux tentatives des élèves pour le résoudre et que

28 cette résistance évolue au cours de la recherche. En effet, il ne s’agit pas que les élèves soient bloqués tout au long de la recherche mais plutôt qu’ils trouvent au fur et à mesure des éléments leur permettant d’avancer dans leur recherche et de mesurer leur proximité avec la solution du problème. Cela peut en particulier être souligné par l’enseignant pour permettre aux élèves d’identifier leur avancée dans leur recherche, ce qu’il reste à trouver, à quels sous-problèmes ils ont déjà répondu.

- Le potentiel de débat qui rassemble l’ensemble des éléments permettant de favoriser un débat de nature mathématique entre élèves. Notons cependant que ce potentiel n’est pas toujours appréhendable lors de l’analyse a priori de la tâche.

- Le potentiel didactique délimitant les savoirs pouvant émerger de la recherche du problème. Il s’agit, pour les activités RPP, selon Georget, principalement de savoirs paramathématiques et d’éléments d’ordre méthodologique. Pour les activités RPP ONT, ce potentiel peut permettre d’aborder des notions et des techniques mathématiques.

L’approche proposée par Georget à travers les activités RPP nous semble permettre de dépasser une vision dichotomique et quelque peu stérile, en termes d’appartenance ou non à des types de problèmes, pour raisonner davantage en terme de continuum. Ainsi plutôt que de se demander pour un problème donné, si celui-ci relève du problème ouvert ou non, d’une situation de recherche pour la classe ou non, etc., on est incité à s’interroger sur ses différents potentiels et en particulier sur les apprentissages qu’il permet de viser. Nous pensons que cette manière d’envisager les problèmes, en fonction de leurs potentiels, peut permettre tant de raisonner sur ce qui les rassemble que sur ce qui les distingue.

Nous cherchons donc dans la suite à caractériser plus finement le potentiel didactique d’une activité RPP, c’est-à-dire que nous nous intéressons aux éléments pouvant constituer des objectifs d’apprentissage en résolution de problèmes. Nous commençons pour cela par nous intéresser aux savoirs ou pratiques de référence en résolution de problèmes.

Les activités RPP et les dispositifs associés (problèmes ouverts, narrations de recherche, SiRC, etc.) affichent l’ambition de transposer à la classe les pratiques des mathématiciens. Cet objectif est aussi explicitement énoncé dans le cadre du cours de « Développements en mathématiques » (DM), centré sur l’apprentissage de la résolution de problèmes, que nous analysons en détail plus loin et qui nous servira de terrain expérimental.

Il s’agit d’une situation d’enseignement qui place l’élève dans la situation la plus typique de l’activité mathématique, celle d’affronter un problème dont l’énoncé le ou la place, toutes proportions gardées, dans la position d’un-e mathématicien-ne confronté-e à un problème dont il ou elle ne connaît pas la solution. (DIP, 2012, p. 20)

Le phénomène de transposition didactique (Chevallard, 1994) ne concerne donc a priori pas un savoir savant, un savoir de référence mais d’avantage une pratique sociale de référence, celle du chercheur en mathématiques. Mais comme le note Georget « les références à des études sur la pratique d’un chercheur mathématicien sont finalement relativement limitées » (2009, p. 106). Or Chevallard avance qu’« il convient […] que le savoir enseigné et le savoir qui lui sert, en quelque sorte, de caution épistémologique au regard de la Société, se ressemblent suffisamment » (1994, p. 7). Si l’on veut s’assurer de cette caution épistémologique, il convient de s’assurer que ce que l’on attend des élèves dans les activités RPP n’est pas trop éloigné des pratiques effectives des mathématiciens.

Le chercheur en mathématiques cherche à résoudre des problèmes que personne n’a jusque-là su résoudre, dans le but de produire de nouveaux savoirs, de nouvelles méthodes.

L’élève, lui, doit en général (par exemple en ce qui concerne les problèmes ouverts) résoudre des problèmes qui ont déjà été résolus et dont il sait, en particulier, que l’enseignant sait les résoudre.

Le contrat de recherche n’est donc pas le même entre élèves et mathématiciens. De plus, le mathématicien doit, lui, communiquer sa solution, sa découverte, pour la faire partager et en faire bénéficier la communauté. Or dans les publications, le long processus qui l’a mené jusqu’à la solution est passé sous silence. L’histoire de la recherche est ainsi réécrite pour donner à voir un processus cohérent et linéaire. Les pistes n’ayant pas abouti et les détours sont occultés. Une question se pose alors pour la classe : comment permettre aux élèves de rendre compte de leur travail de recherche sans qu’ils ne se restreignent à la présentation de leurs résultats ? Un dispositif, que nous présentons dans la suite (et qui est utilisé dans le cours de DM), a été développé en ce sens ; celui de la narration de recherche (Bonafé, 1993). Les élèves doivent retracer entièrement et chronologiquement leur démarche, en y faisant apparaître leurs erreurs, leurs fausses pistes. Nous voyons donc qu’il existe des décalages entre les pratiques de référence des chercheurs en mathématiques et les pratiques attendues chez les élèves.

Le travail de Gardes (2013, 2017), relatif aux processus effectifs de recherche de sujets engagés dans la résolution d’un problème mathématique non résolu, a permis de mettre en évidence certains aspects du travail du chercheur comme relevant de gestes de la recherche. Le rôle de la dimension expérimentale des mathématiques est en particulier un aspect important qui intervient dans le travail du chercheur.

Dans la suite, nous cherchons à déterminer ce qui, en résolution de problèmes, peut faire l’objet d’un apprentissage chez les élèves et donc à identifier le potentiel didactique des activités

30 RPP. Dans ce contexte, certains gestes de la recherche, en particulier ceux en lien avec la dimension expérimentale des mathématiques, peuvent constituer des apprentissages visés dans les activités RPP, ce qui tend à créer une cohérence et un alignement entre les pratiques de référence des chercheurs en mathématiques et celles attendues chez les élèves et donc à assurer la caution épistémologique mise en avant par Chevallard.

De plus, nous verrons, dans la section 1.5.4. de ce chapitre, qu’il semble tout de même possible d’identifier des savoirs associés à la résolution de problèmes.

Intéressons-nous maintenant aux apprentissages visés dans différents dispositifs visant à initier les élèves à la démarche scientifique. Hersant (2010) a mené une réflexion sur la transposition didactique de la recherche / résolution de problèmes en mathématiques et sur les savoirs mathématiques en jeu dans les situations associées aux problèmes ouverts au cycle 3 en France.

Elle souligne le flou qui accompagne les objectifs d’apprentissage visés par ces dispositifs. De même, Houdement prend l’exemple des « problèmes pour chercher » mis en avant dans les programmes scolaires français et souligne que : « les ‘problèmes pour chercher’ des programmes ne visent pas de contenu mathématique, mais une certaine transversalité ; tels que décrits dans les Documents d’Accompagnement 2005, ils restent un ‘objet d’enseignement’ aux contours flous » (2009, p. 36).

Il existe divers dispositifs visant à travailler la résolution de problèmes mathématiques.

Nous en avons sélectionné deux qui nous semblent donner une bonne représentativité de l’ensemble :

- Le problème ouvert (Arsac et al., 1991) car, comme le rappelle Hersant (2010), « le problème ouvert et la 'démarche scientifique' associée marquent fortement la transposition didactique concernant la résolution de problèmes en mathématiques » (p.

21). Qui plus est, les enseignants du cours de DM sont explicitement incités à recourir aux problèmes ouverts.

- Les situations de recherche pour la classe (SiRC) (Grenier & Payan, 2002) car les problèmes visés par le dispositif ne se limitent pas à des problèmes déjà résolus et