Analyse fr´equentielle

Les comparaisons pr´ec´edentes ont montr´e que les diff´erentes fluctuations d’efforts ´etaient plus ou moins importantes suivant les mod`eles. Pour quantifier ces fluctuations et surtout savoir `a quels harmoniques elles correspondent, on ´etudie la r´eponse fr´equentielle des mouvements de la structure et des efforts qu’elle subie. Cette analyse ne porte que sur les mod`eles exp´erimental et num´erique car on ne s´electionne qu’une seule fr´equence instable pour le mod`ele analytique.

La r´eponse en fr´equence des mouvements d’amplitude aux diff´erents points de contr ˆole est pr´esent´ee sur la figure 2.14 pour les mod`eles exp´erimental et num´erique. Tous les points cibles oscillent aux mˆemes fr´equences mais `a des intensit´es diff´erentes. Les harmoniques sollicit´es ne sont pas les mˆemes sur le prototype exp´erimental et avec le mod`ele num´erique. En num´erique, les harmoniques 1 et 3 sont les plus importants alors que l’´etude des r´esultats exp´erimentaux montre que ce sont les harmoniques 1, 2 et 3 qui sont excit´es.

La g´eom´etrie et les conditions aux limites sont aussi sensiblement les mˆemes sur les mod`eles exp´erimental et num´erique. Par contre, il y a plusieurs diff´erences importantes entre les mod`eles de membrane : la loi de comportement du mat´eriaux (le d´efaut de prise en compte de l’amortis-sement interne), le fait que le prototype exp´erimental ne soit pas homog`ene : la raideur transverse rigidifie localement la membrane ou encore la liaison bras/membrane qui est tr`es raide car les deux ´el´ements sont maintenus entre des pi`eces en inox.

L’analyse de la r´eponse en fr´equence des efforts donne un r´esultat similaire `a celui du mouvement pour la fr´equence principale mais il y a plus de fr´equences excit´ees et l`a encore les harmoniques ne sont pas les mˆemes. L’amplitude des fr´equences ´elev´ees est beaucoup plus importante pour le mod`ele num´erique que pour le mod`ele exp´erimental.

(a) Mod`ele exp´erimental (b) Mod`ele num´erique

Figure 2.14 – Spectre de Fourier du mouvement aux diff´erents points de contr ˆole pour U∗≈ 5

(a) Mod`ele exp´erimental (b) Mod`ele num´erique

Figure 2.15 – Spectre de Fourier des efforts de portance pour U∗≈ 5

(a) Mod`ele exp´erimental (b) Mod`ele num´erique

Figure 2.16 – Spectre de Fourier des efforts de train´ee pour U∗≈ 5

Les fr´equences principales du mouvement sont trac´ees en fonction de la vitesse r´eduite sur la figure 2.17. La fr´equence augmente lin´eairement avec la vitesse avec un bon recoupement entre les

trois mod`eles. La fr´equence exp´erimentale passe de 0.17Hz `a 0.8m/s (U∗ = 4.10) `a 0.30Hz `a 1m/s

(U∗ = 5.12). A U∗= 4.5, l’erreur relative par rapport aux r´esultats exp´erimentaux est de 2 % avec le

Figure 2.17 – Fr´equence principale d’oscillation en fonction de la vitesse du courant

Conclusion

Le comportement de la membrane est bien repr´esent´e sans amortissement en terme d’amplitude de mouvement le long de la structure et de fr´equence principale d’oscillation avec les trois mod`eles analytique, exp´erimental et num´erique. La prise en compte des interactions entre la membrane et le fluide est suffisamment pr´ecise pour reproduire un mouvement d’ondulation comparable d’un mod`ele `a l’autre.

Toutefois, le mod`ele analytique a tendance `a sous-estimer l’amplitude de mouvement d`es que l’on

augmente la vitesse du courant9 et donc que l’on s’´eloigne de la zone sur laquelle la calibration a

´et´e effectu´ee. Les efforts de train´ee et de portance sont du mˆeme ordre de grandeur pour les trois mod`eles. Les coefficients de train´ee et de portance analytique sont fortement sous-estim´es, une des causes possibles est la mod´elisation des d´eflecteurs. En effet, on n’en tient pas compte dans le mod`ele car ils sont mod´elis´es par des efforts et non par des plaques, ils n’interagissent pas avec l’´ecoulement. La force de tension est aussi `a revoir. D’autre part, si les coefficients d’effort restent quasi constants avec la vitesse de courant, leur repr´esentation en fonction du nombre de Strouhal met en ´evidence la diff´erence de comportement entre le mod`ele analytique et les mod`eles num´erique et exp´erimental. La r´eponse en fr´equence des amplitudes de mouvement et des efforts ne donne pas les mˆemes r´esultats pour les mod`eles exp´erimental et num´erique. Plusieurs pistes d’am´eliorations du mod`ele num´erique peuvent ˆetre propos´ees :

– ajouter de la dissipation : soit interne au mat´eriau qui compose la membrane (du type amortisse-ment de Rayleigh) pour att´enuer l’effet ressort en amont, soit ext´erieure pour limiter artificielleamortisse-ment l’amplitude locale.

– utiliser une raideur non homog`ene qui correspond, sur le prototype exp´erimental, aux renforts transverses.

9. Comme discuter dans la section 3.3, on manque d’´equation pour pouvoir ´evaluer les amplitudes associ´ees `a plusieurs fr´equences et du fait que l’on n´eglige la partie ”amortissantes” des valeurs propres, les solutions ne sont r´ealistes que lorsqu’on est proche de la vitesse critique.