Analyse des estimations de κ issues de notre étude numérique

θ2 (2.12)

Remarque : Les équations (2.7), (2.10) et (2.11) permettent également de relier les vitessesV_pore

etV_D selon

V_D = ^ηf

θ2V_pore (2.13)

La relation (2.12) est cohérente avec les résultats typiques des études théoriques de la

per-méabilité fondées sur le rayon hydraulique. κ est en effet ici proportionnel au carré de la taille

caractéristique des pores, ce qui est conforme aux travaux de Frenkel [80].

De plus, cette loi pourrait aisément être adaptée pour prendre en compte l’anisotropie

mor-phologique du réseau lacuno-canaliculaire, connue pour modifier l’écoulement macroscopique du

fluide [121]. Il suffirait pour cela d’introduire une dépendance directionnelle de la tortuosité ou un

facteur macroscopique d’orientation, comme proposé par Sullivan [247], lors du passage de κ_HP

àκ.

2.3 Discussion

2.3.1 Analyse des estimations deκ issues de notre étude numérique

Dans le cadre de cette étude, nous avons défini une loi semi-analytique (équation (2.12)) reliant

la perméabilité intrinsèque du réseau lacuno-canaliculaire à une taille de pores caractéristique

pre-nant en compte les variations éventuelles de la structure microscopique des pores canaliculaires.

Il est ainsi possible d’évaluer l’impact d’une modification de cette structure sur l’écoulement du

fluide observé macroscopiquement.

En considérant une porosité η_f ≡ 2−5% [49], une tortuosité θ ≡ 3 [153] et une taille de

pores physiologiqueδissue des données de You et al. [280], la perméabilité lacuno-canaliculaire

estimée selon la méthode présentée dans ce chapitre est de l’ordre de(1−10)×10⁻19 m2. Elle

se situe donc dans la fourchette haute des estimations théoriques issues de la littérature, et est bien

au-dessus des mesures expérimentales récentes (voir tableau 2.1).

De plus, la forte dépendance deκ_HP, et donc deκ, vis-à-vis de la taille caractéristique de pore

δ, visible sur la figure 2.3, montre que les phénomènes d’écoulement fluide ayant lieu au sein du

tissu osseux cortical sont en réalité bien régis par la structure microscopique des pores. Tous les

paramètres géométriques étudiés ici ont d’ailleurs une influence statistiquement significative sur

la perméabilité κ (voir annexe A). Sur ce graphe, on peut tout d’abord remarquer que bien que

les points correspondant à l’évolution du rayon des fibresR_F soient les plus proches de la courbe

interpolante, les paramètres géométriques les plus influents semblent être le rayon du canalicule

RC et le nombre de fibres par section transverse NF. En effet, leurs variations sont à l’origine

des variations les plus importantes de la conductivité hydrauliqueκ_HP. Néanmoins, pour analyser

plus précisément la nature de ces dépendances, il est important de distinguer les deux aspects de

la structure microscopique des pores inclus dansδ: la taille du canal d’une part, contrôlée par les

rayonsR_OetR_C, et la présence des fibres d’autre part.

Ainsi, pour un milieu poreux comportant un nombre négligeable de fibres (N_f −→0),

l’équa-tion (2.8) devientδ∼R_C−R_O. C’est donc la distanceR_C−R_O, et non le rayonR_Cseul, qui joue

un rôle important sur l’évolution deκHP. L’apparente domination deRC surROdans nos résultats

est en fait principalement due aux plages de valeurs physiologiques considérées pour ces deux

pa-ramètres. Cette asymétrie des rôles entreR_C etR_Ose retrouve par contre dans le cas où le rayon

du canalicule est très grand devant celui de l’ostéocyte, puisque dans ce cas,(R_C −R_O)∼R_C.

Par ailleurs, pour une valeur fixe deR_C etR_O, et donc une taille de canal donnée, l’impact de

la présence des fibres péricellulaires surκ_HP semble être principalement contrôlé par le nombre

de fibres par section transverse N_F. Ce résultat est cohérent avec les travaux de Weinbaum et al.

[265], qui sont une référence dans la représentation théorique des écoulements fluides

lacuno-canaliculaires. Ces derniers consistent en la proposition de deux approximations numériques de

la conductivité hydraulique κ_HP. La première, appelée la "constante de perméabilité à la petite

échelle" (modèle T-W), a été développée par Tsay and Weinbaum [253] pour étudier un

écoule-ment visqueux au sein d’un pore plan périodiqueécoule-ment traversé par des fibres transverses. Dans

ce modèle, les paramètres structuraux considérés sont le rayon des fibres R_F et la distance fibre

à fibre ∆. Il faut néanmoins noter que ce modèle fait l’hypothèse d’un réseau de fibres isotrope,

alors que les données de You et al. [280] laissent à penser que les distributions longitudinale et

transversale des fibres au sein du canalicule sont différentes. La seconde approximation, présentée

dans Weinbaum et al. [265], modifie cette première estimation deκ_HP pour prendre en compte la

forme annulaire du pore, et ainsi obtenir un paramètre d’écoulement appelé "constante de

perméa-bilité à la petite échelle effective" (modèle W). En raison du manque de données descriptives sur

la nanostructure osseuse disponibles à l’époque, les auteurs de ces travaux ont proposé une liste

d’échelles de longueur plausibles pour les différents éléments structuraux du canalicule, qui sont

ici rappelés dans le tableau 2.2 (données W).

La figure 2.4 propose une comparaison entre les résultats de notre étude et ceux obtenus avec

les modèles W et T-W à partir des données anatomiques de You et al. [280] (données Y). La

distance fibre à fibre ∆apparaissant dans les deux derniers modèles a été considérée ici comme

étant la distance entre deux fibres de la même section transverse au milieu de l’espace annulaire

formant le canal (i.e.pourR= (R_C +R_O)/2, voir tableau 2.2). La loi parabolique obtenue sur la

figure 2.3 a également été rappelée pour plus de lisibilité. Il apparaît alors que nos résultats sont en

moyenne un ordre de grandeur en dessous de ceux issus des deux autres modèles, et ce bien que le

modèle W prenne en compte la présence des parois du pore.

FIGURE2.4 – Comparaison des résultats fournis par notre approche avec ceux issus des modèles de Tsay and

Wein-baum [253] (modèle T-W) et de WeinWein-baum et al. [265] (modèle W) à partir des données de You et al. [280] (données

Y). Les résultats des modèles W et T-W obtenus à partir des données de l’époque (données W, Weinbaum et al. [265])

sont également représentés.

Nous avons ensuite ajouté deux points correspondant aux estimations obtenues par les modèles

W et T-W avec les données de l’époque (données W). Nous avons pour cela estimé la taille de

poreδcorrespondante en déduisant le nombre de fibres transversesN_F de la distance fibre à fibre

∆ utilisée dans les modèles initiaux (voir tableau 2.2). Les deux estimations de la conductivité

hydraulique ainsi obtenues sont très proches des valeurs les plus basses de κ_HP issues de notre

étude. En revanche, elles sont un à deux ordres de grandeur en-dessous des estimations données

par ces mêmes modèles à partir des données de You et al. [280]. Cet écart peut s’expliquer par

la grande différence existant entre les données Y et les données W de l’époque, ces dernières

correspondant à un réseau de fibres beaucoup plus dense, mais composé de fibres plus minces.