Au chapitre précédent, les positions des bandes des binaires ont été suggérées par Vur- gaftman. Toutefois, la température, la contrainte et la courbure des bandes modifieront ces positions. Les sous-sections suivantes couvriront les effets de chacune de ces contributions.
2.5.1 Les effets thermiques : variation de volume et couplage électron-phonon
Pour les calculs d’énergie de bande interdite de la section 3.2, l’équation 2.2 a été utilisée, mais lorsqu’il s’agit de connaître l’effet thermique sur les différentes bandes, le décalage devra être réparti sur ces dernières.
Cet aspect est important puisque les matériaux à l’hétéro-jonction n’ont pas les mêmes coefficients de Varshni α et β. Ceci signifie que l’énergie de barrière du confinement chan- gera en fonction de la température et pourrait permettre à certains niveaux «d’apparaître» ou de «disparaître» en fonction de la température. Théoriquement, donc, les transitions type I vers type II se produisent à une composition donnée et à une température donnée. De manière générale, lorsque l’énergie de barrière change, les niveaux confinés changeront aussi. Il suffit de pouvoir quantifier cet effet et de savoir s’il est important.
D’abord, le paramètre de maille d’un matériau change avec la température de manière essentiellement linéaire (voir tableau 1.1). C’est l’équivalent d’une contrainte hydrosta- tique, et l’effet énergétique est aisément calculable à l’aide des potentiels de déformation tel que fait à la section 2.3.1. Celui lié à la bande de conduction étant plus élevé, le déca- lage sera plus important pour cette bande. Un signe négatif à l’équation 2.14 signifie une diminution de l’énergie de bande interdite (augmentation de l’énergie de valence et une réduction de l’énergie de conduction) (87) :
∆EC,V = ac,v(
∆V
V ). (2.14)
Ensuite, l’interaction électron-phonon est à l’origine d’une seconde contribution au décalage énergétique. Les travaux théoriques sur ce sujet sont beaucoup plus récents, et les modifications énergétiques plus complexes à obtenir que celles pour la contrainte hydrostatique. Des simulations sont nécessaires et aucun résultat n’est disponible pour les antimoniures. Toutefois, des arguments qualitatifs seront avancés pour évaluer l’effet sur chaque bande.
Cette interaction est quantifiée par deux termes, soit l’énergie de Debye-Waller et la « self-energy ». Ceux-ci ne seront pas calculés formellement, mais leur effet sur l’énergie de bande interdite peut être introduit comme étant un terme unique lié au couplage électron-phonon montré à l’équation 2.15 :
∆EEP = EDW − ESE. (2.15)
Lorsque la température augmente, l’amplitude de vibration sera de plus en plus impor- tante, ce qui mènera à une déformation cristalline qui s’intensifiera. De manière analogue à la section précédente, ces distorsions modifieront les positions des bandes, mais de façon périodique dans le temps. Une manière de visualiser cet effet est d’élargir les bandes tel que représenté à la figure 2.10. Celle-ci illustre bien que les extrema se rapprochent, en accord avec la diminution de l’énergie de bande interdite. Plus la température sera élevée, plus l’amplitude de vibration le sera, et plus les bandes seront larges.
De plus, les bandes n’ont pas la même relation de dispersion : les masses effectives sont différentes. Plus une bande est plate, plus il y aura d’états phononiques disponibles étant donné la différence d’énergie faible pour différents k près de k = 0. Par une observation simple, plus la masse effective sera grande, plus le couplage sera fort, et donc plus la bande
Figure 2.10 – Schématisation de l’élargissement des bandes par l’interaction électron- phonon.
associée verra son extremum décalé. Puisque l’énergie est proportionnelle à k2 et que la
densité d’états de phonon est aussi proportionnelle à k2, les rapports de masses effectives
et de densités d’états seront proportionnels comme le montre l’équation 2.16 :
m∗e m∗h ∝
De
Dh
. (2.16)
Par cette relation, il est possible d’affirmer que la bande de valence trou lourd sera beau- coup plus affectée que les autres.
2.5.2 Les effets de contrainte : le croisement des trous lourd et léger
En se référant à la figure 2.4, il y a un croisement entre les bandes trou lourd et trou léger pour un matériau en tension (trou léger plus énergétique) ou en compression (trou lourd plus énergétique). En appliquant les contraintes énergétiques sur les bandes plutôt que sur l’énergie de bande interdite, les positions énergétiques de chacune des bandes au point Γ sont données par les équations 2.17 à 2.19 (50) :
EC = CB + δEHC, (2.17) EHH = V B − δEHV + δES, (2.18) ELH = V B − δEHV − 1 2(δES+ ∆so) + 1 2 q (∆2 so− 2δES∆so+ 9δES2). (2.19)
Dans ces équations, CB et VB font référence au minimum de la bande de conduction et au maximum de la bande de valence non contraintes au point Γ. Lorsque le matériau est en accord de maille, tous les termes liés à la contrainte disparaissent et ramènent une dégénérescence des bandes de valence.
2.5.3 Le coefficient de courbure : l’impact sur les bandes
Il a été mentionné au chapitre 1 que plusieurs groupes choisissent de trouver la position énergétique de la bande de conduction d’un alliage en additionnant l’énergie de bande interdite à l’énergie de la bande de valence. Pour un binaire, cette méthode est tout à fait appropriée, mais lorsqu’il s’agit d’un ternaire ou un quaternaire, procéder ainsi associe la courbure de bande à celle de conduction uniquement. Or, aucune justification théorique n’explique ce choix. Malgré le fait de trouver que, théoriquement, cette justification serait un grand avancement pour le domaine, cette thèse se contentera d’appliquer une partie de la courbure sur chaque bande en introduisant le paramètre u. Par exemple, en suivant le formalisme de l’équation 2.1 pour un ternaire AxB1-xC :
ECB = EV B+ EG, (2.20)
EV BABC = xEV BAC + (1 − x)EV BBC + (1 − u)x(1 − x)CABC, (2.21) ECBABC = xECBAC + (1 − x)ECBBC − ux(1 − x)CABC. (2.22)
courbure sur les deux bandes. Il est évident que procéder ainsi ne change pas l’énergie de bande interdite. Pour s’en convaincre, il suffit de soustraire l’équation 2.21 de l’équation 2.22. Toutefois, le choix du paramètre u est corrélé à celui de la valeur de VB d’un binaire. En utilisant la valeur suggérée par Vurgaftman du VBO entre l’InSb et le GaSb (la bande de valence du GaSb est 30 meV sous celle de l’InSb) et en variant la valeur de u, la figure 2.11 est obtenue. Il est évident, en observant cette figure, que la différence d’énergie entre la bande de valence (ou de conduction) d’un alliage et de celle du GaSb est très différente pour une composition donnée pour différents u. Toutefois, en modifiant le VBO GaSb/InSb, soit en augmentant l’énergie de la bande de valence de l’InSb pour u = 1 et 0.5, les courbes pourraient se confondre jusqu’à x = 0.3 avec les courbes de u = 1. En procédant ainsi, le décalage de bande entre deux binaires serait dépendant du choix de u. Il suffirait donc de trouver des compositions d’alliages où un seul couple (u, VBO) reproduise les niveaux énergétiques observés expérimentalement.
Figure 2.11 – Position énergétique des bandes de conduction (CB) et de valence (VB) non contraintes en fonction de la composition x d’un alliage d’InxGa1-xSb à 0 K pour
différentes valeurs de u et un VBO GaSb/InSb de -30 meV.
tiques des travaux de Motyka (47) pour une composition d’indium de 24 %. Cet accord permettra de trouver les valeurs optimales de VBO associées à celles d’un u. Toutefois, puisqu’il sera difficile de discriminer entre différents couples (u, VBO) pour des compo- sitions d’indium où x ≤ 0.3, ces valeurs seront utilisées avec les résultats de Kudrawiec (45) pour des puits l’In0.24Ga0.76As0.08Sb0.92 sur GaSb, ce qui changera dramatiquement
les décalages de bandes et devraient identifier le couple V(u, VBO) qui représente mieux l’alignement de bande. Les travaux de Motyka et de Kudrawiec sont intéressants pour développer ce modèle puisque qu’il s’agit de puits quantiques observés par modulation de la spectroscopie. Cette technique permet d’observer plusieurs niveaux énergétiques et tous devront être reproduit pour un décalage de bande donné.