Ajustement des données sur la courbe de lumière mesurée

mière mesurée

VI.2.1

Définitions

Soit y ∈ RN un vecteur représentant des observations. Une échelle de temps t ∈ RN de valeurs strictement croissantes va correspondre à ces observations. Les valeurs de (y, t) peuvent par exemple correspondre à une série temporelle de comptages de photons ou d’électrons. À coté de ces observations, on suppose que l’on peut construire un modèle d’observation Mn(tn, θ) pour

chaque point d’observation (yn, tn). Où le vecteur θ ∈ RM représente les paramètres du modèle

et comprend d, la distance radiale entre le satellite et le centre du faisceau d’électrons, et que l’on cherche à estimer avec un intervalle de confiance. Cette estimation est notée d∗.

VI.2.2

Modèle

Premièrement, il faut établir un modèle à partir des résultats de la simulation MC-PEPTITA. Pour ce faire, nous avons calculé un total de 5.76 × 108photons initiaux sur le super-calculateur CALMIP EOS. Au final, cette simulation va induire la production ∼ 100000 leptons capables d’atteindre l’altitude du satellite, et dont on connaît deux quantités en particulier : la distance radiale di et le temps auquel ils ont franchi la limite d’altitude ti. Pour pouvoir construire des

courbes de lumières, il est nécessaire de se fixer des intervalles de distance radiale suffisamment grands pour avoir suffisamment de statistique sur chaque intervalle pour pouvoir construire des courbes de lumières peu bruitées. Il faut donc choisir une statistique donné S par intervalle de distance radiale. On aura en tout N_d intervalles de distance radiale, chacun avec des bornes inférieures/supérieures dmin_i et dmax_i , et une moyenne ¯di.

Ensuite, pour chacune des courbes de lumière, on procède à l’ajustement par le modèle LN/N/NL décrit en section VI.1.2 par les équations (VI.1,VI.2,VI.3). Un exemple est donné en figure VI.4 pour trois intervalles de distance radiale. Appelons M (t, d) la courbe associée à ce modèle et admettons que son bruit soit négligeable (ce qui se justifie par la qualité des ajus- tements, avec, des coefficients de détermination r2 > 0.98). Pour chaque intervalle de distance

radiale, on a donc un jeu de paramètres {Ai₁, Ai₂, Ai₃, µi₁, τ₁i, µi₂, τ₂i, σi, ti_s, ti_m, ti_f}, correspondants à une distance radiale moyenne ¯di. Pour avoir une valeur de M (t, d) pour n’importe quel d, on

peut effectuer des interpolations sur ces paramètres. On se propose ensuite d’associer à chaque observation (y_n, tn) une valeur de modèle Mn(tn, θ) telle que :

Mn(tn, θ) = A × M (tn− δt, d) + b (VI.5)

On a donc les paramètres θ = {d, A, b, δt}. Le paramètre A est une échelle arbitraire entre les données et le modèle. Le paramètre b correspond au bruit de fond ("background"). Le paramètre

δt décrit le décalage temporel entre le temps zéro de la simulation et le temps zéro de la courbe

de lumière de Fermi.

VI.2.3

Estimation des paramètres optimaux

Pour déterminer une valeur de paramètres ˜θ la plus fidèle aux données, on peut supposer que

être modélisé, par exemple, avec une loi de Poisson1. La loi de Poisson de paramètre k pour une variable aléatoire X de moyenne mX est définie comme :

P (X = k) = (mX)

k

k! e

−mX _(VI.6)

On peut ainsi supposer que chaque observation y_n va être une variable aléatoire de Poisson de moyenne Mn(tn, θ). On peut en déduire la vraisemblance de Poisson :

L(θ; y) = N Y n=1 (M_n(θ))yn yn!

exp (−M_n(θ)) = f (y|θ) (VI.7)

Qui sera la loi des observations. f (...) désigne la loi de la variable de laquelle elle est fonction. En pratique, il est plus facile de minimiser la log-vraisemblance négative, définie comme :

N LL(θ; y) =

N X

n=1

M_n(θ) − y_nln (M_n(θ))) (VI.8)

Pour l’événement qui nous intéresse ici, on obtient l’estimation suivante :

˜ θ =              ˜ A = 3.62 ˜ d = 8.82 km ˜ δt = 19.0409 ms ˜_{b = 12.4} (VI.9)

VI.2.4

Détermination d’un intervalle de confiance sur d

On peut ensuite réduire les variables de la loi f (y|θ) pour ne garder que f (y|d). Pour pouvoir donner une estimation de d avec un intervalle de confiance, il est nécessaire de connaître f (d|y). La manière la plus simple de la déterminer est de se placer dans un cadre bayésien. Le théorème de Bayes nous indique que :

f (d|y) = f (y|d)f (d)

f (y) (VI.10)

f (d) est la loi de probabilité a priori (i.e. avant l’observation) et f (d|y) la loi de probabilité a posteriori (i.e. en prenant en compte l’observation). La loi f (d) donne la probabilité que le

satellite se soit trouvé dans un intervalle de distance radiale donné, indépendamment de toute autre considération, facilement déterminée à partir de simulations. Comme f (d|y) doit être normalisée, f (y) fait office de constante de normalisation.

Une fois que l’on connaît la distribution de probabilité f (d|y), on peut déterminer son maximum, auquel correspond la valeur centrale de d∗. De plus, la connaissance de f (d|y) nous permet de déterminer l’intervalle de confiance autour de d∗. Soit γ ∈]0, 1[ (en général 0.95) le pourcentage de confiance que l’on se fixe. Soit binf(y) et bsup(y) les bornes supérieures et

inférieures autour de d∗. Il y a plusieurs manières de les définir, par exemple avec l’intervalle bilatéral symétrique, donné par :

Z binf(y) −∞ f (d|y) dd = Z +∞ bsup(y) f (d|y) dd = 1 − γ 2 (VI.11)

On obtient finalement l’estimation suivante pour la distance radiale, avec un intervalle de confiance à 95% :

d∗ = 8.81+1.64_−0.995km (VI.12) On compare le modèle utilisant cette estimation avec la courbe de lumière mesurée par Fermi en figure VI.1. On obtient un excellent accord, avec un coefficient de détermination r2 = 0.94. Après quelques discutions avec M.S Briggs, le responsable des données TGF de Fermi, nous nous sommes rendu compte que cette estimation est incomplète. En effet, lors de cet événement, un de ces deux détecteurs BGO de Fermi pointait vers le zénith et a pu détecter les deux bosses sur la courbe de lumière, alors qu’on s’attendrait à ce qu’il détecte seulement la première. L’autre détecteur BGO pointait vers le nadir et a détecté essentiellement la première bosse, alors qu’on s’attendrait à ce qu’il ne détecte que la seconde. Cela est peut-être dû au fait que les électrons suivent des mouvements cycloïdaux autour des lignes de champ avec des rayons de Larmor pouvant être de l’ordre du mètre. De plus, ils peuvent également se diffuser de multiples fois sur les détecteurs et d’autres composants du satellite. Il serait donc intéressant d’intégrer les résultats de la simulation MC-PEPTITA dans le modèle modèle Monte-Carlo complet de Fermi2, et ainsi de corriger la courbe de lumière mesurée (i.e. identifier les coups provenant des leptons arrivant depuis un hémisphère ou l’autre), pour finalement revoir l’estimation qui a été faite de d∗.