Étude théorique du gain

Dans cette section, nous posons les équations qui permettraient à un animat ayant accès à toutes les variables de calculer le chemin optimal. Ainsi, même si l’animat n’a en réalité accès qu’à des angles, nous espérons trouver des indications qualitatives permettant d’exploiter au mieux l’informa-tion disponible.

5.4.1.1 Composante tangentielle

Nous considérons le calcul d’un vecteur individuel dans le cas de la composante tangentielle. L’animat omniscient observe un amer à une distance r, un azimut θ. Dans la vue mémorisée, la

dis-tance était r0, l’azimut θ⁰, voir figure5.10.

L’application du modèle PV avec la composante tangentielle stipule que, si l’animat observe une

parallaxe θ − θ0, il ajoute un vecteur orthogonal à la direction menant à l’amer, de norme γ(θ − θ0).

S’il n’y a qu’un amer, l’animat effectue un pas de même longueur.

L’animat omniscient peut appliquer le théorème d’Al-Kashi et calculer la longueur du segment reliant la position actuelle au but :

d =

q

r²₀+ r2+ 2r0r cos(θ − θ0) (5.3)

Mais cette équation n’est pas facile à exploiter. L’animat réel, lui, peut au mieux utiliser la «

mé-thode directe » définie en section2.3.1.3. Dans le cas continu, en ne tenant compte que de cet amer,

sa trajectoire sera un arc de cercle de rayon r centré sur l’amer. La longueur de cet arc est :

l_arc = r(θ − θ⁰)

Dans le cas discret, on peut annuler la parallaxe en faisant un seul pas de longueur :

l = r · tan(θ − θ₀)

Ce n’est pas très satisfaisant : outre que cela fait toujours intervenir la distance à l’amer, si la parallaxe est proche d’un demi-tour, cela aboutit à faire un seul très grand pas, alors que la bonne action à accomplir est probablement de tourner autour de l’amer.

position actuelle   position actuelle l θ0 θ θ₀ animat au but θ θ₀ animat au but θ0 r r₀ r d

FIG. 5.10: Calcul du gain théorique dans la composante tangentielle. Un animat observe un obs-tacle d’azimut actuel θ, qui valait θ0 depuis le but. On cherche une relation entre la longueur d’une trajectoire qui permet de rejoindre le but et la parallaxe θ − θ⁰. Si on la trouve, cette re-lation permet de calculer le gain optimal de la composante tangentielle. À gauche, la trajectoire optimale en un pas (tirets épais). Elle suppose de connaître les deux distances. À droite (tirets épais), l’arc de cercle que suit l’animat en appliquant de façon continue la composante tangen-tielle, et le segment de droite qu’il parcourt en un pas dans le cas discret. Dans les deux cas, les équations (voir texte) montrent que le gain fait intervenir les distances de l’animat à l’amer, qui ne sont pas accessibles à l’animat dans notre modèle. Nous concluons que l’animat ne peut calculer directement le gain à partir de la connaissance de deux panoramas.

5.4. CONSIDÉRATIONS SUR LA LONGUEUR DES PAS À EFFECTUER 139

Dans le cas des petits angles, pour lesquels tan(α) ' α, l’expression peut se simplifier et le gain théorique en présence d’un amer devient simplement γ = r.

La présence d’un amer supplémentaire apporte une nouvelle information d’angle, mais aussi une nouvelle inconnue de distance. Rappelons que la méthode d’agrégation de l’information utilisée par le modèle PV est une somme vectorielle, dont il est difficile de prévoir a priori la longueur et la direction avec peu d’informations. Nous retenons donc qualitativement qu’il est probablement inutile de chercher à compenser en un seul pas de grandes parallaxes.

Il paraît raisonnable de prendre pour gain γ = k · r, où k est la proportion de la distance théorique restant à parcourir pour annuler l’écart. k = 0.1 à k = 0.25 paraît raisonnable. En effet, il vaut mieux ne tenter à chaque pas de corriger qu’une partie des écarts et avoir une trajectoire régulière que d’essayer d’approximer en un segment de droite de même longueur une trajectoire qui, de toute façon, est généralement courbe. Toutefois, r n’étant pas connu de l’animat, l’idée n’est pas applicable telle quelle.

Cette brève analyse nous a donné quelques éléments qualitatifs et montré que le gain de la com-posante tangentielle, si on veut le connaître directement, fait essentiellement intervenir la distance à l’amer. Nous ne chercherons donc pas à calculer directement le gain à partir de la connaissance du panorama du but et du panorama actuel.

5.4.1.2 Composante radiale

Considérons la situation représentée en figure5.11. L’animat a mesuré les diamètres apparents α

et α0.

L’animat, n’ayant accès qu’aux diamètres apparents, peut au mieux se replacer à bonne distance, en faisant coïncider le diamètre apparent actuel avec celui mémorisé. En revanche, il ne peut pas corriger l’azimut (ce qui est du ressort de la composante tangentielle).

Pour corriger l’écart, il doit avancer de

r − r0 = d/α − d/α₀ = d · (1/α − 1/α₀)

Il est intéressant de remarquer que la longueur qui intervient dans la composante radiale est d, diamètre de l’amer, et non la distance à l’amer comme dans la composante tangentielle. La grandeur

qui est accessible à l’animat est (1/α − 1/α0).

La grandeur qui joue le rôle de gain est donc d le diamètre de l’amer. Le gain à appliquer pour la composante radiale n’est donc pas lié à la distance qui sépare l’animat des amers, mais à la taille des amers eux-mêmes.

L’intervention des termes en 1/α nous amène à une remarque : tous les travaux descendant des

modèles CC considèrent les écarts de diamètre apparent pour calculer les vecteurs individuel : α − α₀.

d

r

α

α0

r0

FIG. 5.11: Calcul du gain théorique dans la composante radiale. Un animat observe un obstacle de largeur frontale d, de diamètre apparent α, alors qu’il avait l’angle apparent α₀depuis le but. On cherche une relation entre la longueur d’une trajectoire qui permet de se retrouver à bonne distance du but et la variation du diamètre apparent α−α0. Si on la trouve, elle permet de calculer le gain optimal de la composante radiale. Comme dans le cas de la composante tangentielle, l’animat ne peut calculer directement le gain à partir de la connaissance de deux panoramas. Il est intéressant de remarquer toutefois que la longueur du trajet n’est pas proportionnelle à la variation du diamètre apparent mais à la variation de l’inverse du diamètre apparent_α¹ − 1

5.4. CONSIDÉRATIONS SUR LA LONGUEUR DES PAS À EFFECTUER 141

ou s’éloigner d’un amer, de considérer la différence des inverses des diamètres apparents des amers, au lieu de la différence entre les diamètres apparents.

Le souci avec l’utilisation de la différence des inverses est que, si un amer est partiellement occulté, ce qui est un cas fréquent, son diamètre apparent va se réduire pour pouvoir même atteindre presque zéro et, donc 1/α peut devenir très grand. Comme si l’amer semblait tout d’un coup extrêmement loin, le vecteur individuel vers cet amer va être très grand. La conséquence pratique est que l’animat se jetterait sur les amers partiellement occultés et donc, en fait, heurterait souvent le bord de l’amer occultant.

Nous nous trouvons donc dans une situation où une méthode potentiellement plus fidèle s’avère beaucoup moins bonne quand elle est perturbée. Finalement, utiliser l’écart des angles est une bonne chose car cela évite la singularité qui apparaît quand le diamètre apparent d’un amer se réduit.

Cette brève analyse nous permet donc de prédire en théorie quel gain choisir pour la composante radiale, à condition d’appliquer une version plus rigoureuse de cette composante qui fasse intervenir la différence des inverses des diamètres apparents. Ce gain est proportionnel, non pas à la distance aux amers comme pour la composante tangentielle, mais à la taille des amers. Toutefois, nous pensons qu’il est raisonnable en pratique de continuer d’utiliser la différence des diamètres apparents.

Dans ce cas, l’analyse que nous avons faite ne nous donne finalement pas d’indication sur la valeur du gain à appliquer, sauf à introduire une « largeur apparente typique », un paramètre supplémentaire qui permettrait de mettre en correspondance des valeurs attendues de α et de 1/α. Comme nous verrons pas la suite, nous avons préféré à la place nous tourner vers des méthodes pragmatiques.

5.4.1.3 Conclusion de l’analyse théorique

Cette analyse des composantes radiale et tangentielle explique pourquoi nous avons constaté lors de nos expériences préliminaires que la composante radiale nécessitait des gains différents de ceux de la composante tangentielle. Ils sont en fait décorrélés l’un de l’autre puisque le gain à appliquer à la composante tangentielle dépend essentiellement de la distance de l’animat aux amers, alors que le gain à appliquer à la composante radiale dépend essentiellement de la taille des amers, ce qui n’était pas évident a priori.

Il est intéressant, quoique un peu anecdotique, de se demander si l’on peut en déduire quelque chose de pratique pour un promeneur humain face à une scène. Considérons un promeneur en forêt qui observe des troncs d’arbres à diverses distances. Un mouvement latéral (translater la tête de gauche à droite à orientation constante) permet de se faire directement plutôt une idée de la distance aux troncs, alors que s’approcher ou s’éloigner d’un tronc particulier, même si on ne peut maintenir son orientation au cours de l’opération, permet de se faire une idée plutôt de sa taille. Bien sûr, dans les deux cas, le diamètre apparent permet de faire un lien entre distance et taille, mais il n’était pas évident a priori que le simple fait de choisir de se déplacer latéralement ou de s’approcher donnait des informations différentes.