Haut PDF Sur la non-existence de solutions non triviales de certaines équations et systèmes aux dérivées partielles

Chapitre 4. Absence de solutions non triviales d’une classe d’équations et des systèmes aux dérivées partielles dans des domaines non bornés. Nous démontrons nos résultats en utilisant des identités de type énergie établies dans la deuxième section, qui permettent d’obtenir les résultats principaux de non-existence dans la section 3. Dans la section 4, nous appliquons les résultats sur quelques exemples.

de coagulation-fragmentation avec diffusion, on en profite donc pour décrire brièvement ces méthodes maintenant. Il existent plusieurs approches légèrement distinctes pour prouver l’existence de solutions pour les équations de coagulation-fragmentation avec diffusion, mais elles sont toutes basées sur l’utilisation d’une version tronquée du système ( 1.2 ), où on considère uniquement les particules de tailles inférieures à un certain n. Ce système tronqué a donc un nombre fini d’équations et d’inconnues, et les termes de réaction donnés par Q i (c) + F i (c) ne contiennent plus que des sommes finies (puisque on suppose c i = 0 pour i > n). On peut alors utiliser des résultats classiques d’existence locale (en temps) pour les systèmes de réaction-diffusion, et les combiner avec des estimations utilisant la structure précise du système pour obtenir des solutions globales (cette procédure est détaillée dans [ 45 ]). L’étape suivante consiste à considérer une suite de solutions des systèmes tronqués avec n tendant vers l’infini. On utilise alors un argument de compacité pour extraire une sous suite convergente (c’est à ce niveau que les différentes méthodes diffèrent, en fonction des estimations a priori dont on dispose), et on conclut en montrant que la limite ainsi obtenue est bien une solution (faible) des équations de coagulation-fragmentation avec diffusion ( 1.2 ).

Nous ´ etudions ensuite l’´ equation de la chaleur avec un bruit blanc espace-temps, et un potentiel singulier faisant apparaˆıtre un temps local en espace. Cette fois le processus de Markov ´ etudi´ e poss` ede une mesure invariante de type mesure de Gibbs mais avec un potentiel non convexe. L’existence d’une solution est prouv´ ee, ainsi que la convergence, vers une solution stationnaire, d’une suite d’approximation, construite par projections sur des espaces de dimension finie. une ´ etude du semi- groupe permet d’obtenir des solutions non-stationnaires

Le chapitre 4 de la partie II était consacré à la démonstration d’un résultat de contrôlabilité/non- contrôlabilité exacte pour un système hyperbolique linéaire, en dimension 2 d’espace, constitué d’une équation de type équation des ondes, couplée avec une équation de type équation différentielle du second ordre en temps. La contrôlabilité n’a été étudiée que dans le cas d’un seul contrôle agissant sur la première équation du système par l’intermédiaire d’une condition de Dirichlet sur une partie de la frontière. On a démontré que l’opérateur associé à ce système possède un spectre essentiel non vide. Cette propriété a permis d’établir l’existence de données initiales non contrôlables : les données initiales dont la décomposition dans la base des fonctions propres contient une infinité de termes associés aux valeurs propres qui engendrent le spectre essentiel. En revanche, on a démontré que si on ne garde qu’un nombre fini de telles fonctions propres, alors la contrôlabilité a lieu uniformément. Ces deux propriétés ont été illustrées numériquement, en utilisant le fait qu’on peut exprimer la constante d’observabilité à l’aide d’un problème aux valeurs propres généralisé.

De tels opérateurs apparaissent dans de nombreux modèles cinétiques de réactions chimiques, de dynamique des populations, de physique des plasmas ainsi que dans certains modèles d'écoulement de uides non newtoniens. Dans la littérature nous trouvons de nombreux travaux dédiés à l'étude théorique de tels équations et systèmes d'équations. En fait, l'étude de ce type de problèmes a eectivement commencé au milieu des années 1980 par M. Ôtani [51] en une dimension puis par F. de Thélin [64] en dimension N. Ce dernier auteur a démontré l'existence et l'unicité des solutions radiales dans R N pour des équations de type −∆

Un point fort de ces méthodes est la possibilité de traiter des domaines extérieures, sans avoir tranquer artifficiellement le domaine d’étude, en utilisant les techniques d’équation intégrale et la méthode des éléments de frontière. L’idée derrière ces techniques est d’utiliser les théorèmes de Green pour transformer le problème et l’exprimer sur la frontière du domaine, qui est bornée. D’autre part ces méthodes utilisent des solutions élémentaires, elles sont donc seulement applicables à des problèmes décrits pour les opérateurs aux dérivées partielles linéaires à coef- ficients constants. Ceci peut apparaître un inconvénient, mais heureusement que les systèmes physiques, décrits par des opérateurs de ce type, sont très fréquemment rencontrés dans la pra- tique. Il est aussi possible d’étendre le domaine d’application en couplant les éléments frontières avec des éléments classiques.

Introduction Ce texte représente une synthèse de mes activités de recherche qui s’articulent principalement autour de deux thèmes : les équations aux dérivées partielles stochastiques et les équations diffé- rentielles stochastiques dirigées par un mouvement brownien fractionnaire. Le fil conducteur des différents travaux que j’ai menés est certainement l’étude de comportement qualitatif de solutions d’équations stochastiques, qu’elles soient aux dérivées partielles ou différentielles fractionnaires. En effet, même si une partie des résultats concerne des problèmes d’existence et d’unicité, ou de calcul de Malliavin, l’étude des trajectoires, la comparaison entre les comportements provenant d’un mouvement brownien fractionnaire et ceux provenant d’un mouvement brownien classique sont toujours des motivations que j’ai en tête et qui motivent le développement et l’étude d’outils et de propriétés plus abstraites.

hyperboliques à coefficients constants L A contrôlabilité à zéro de l’équation de la chaleur est déjà connue, et les proprié- tés de contrôlabilité de l’équation de transport sont également bien comprises. En particulier, comme les solutions de l’équation de transport se propage à vitesse finie, la contrôlabilité ne peut être vraie en temps petit. Mais si on couple des équa- tions de transport et des équations de la chaleur, il n’y a plus de raisons pour que le support se propage à vitesse finie. Nous examinons ici le cas d’un système d’équation de transport et de la chaleur à coefficients constants et sur le tore de dimension un. On démontre que ces systèmes sont contrôlables à zéro en temps grand, le temps critique étant celui donné par les équations de transport. 1

Le cas p = 2 ∗ − 1 est particuli`erement d´elicat puisque contrairement au cas sous-critique l’´energie pourrait a priori se concentrer en un point de l’espace-temps, et rendre impossible la prolongation d’une solution. L’hypoth`ese d’´energie petite de Rauch exploite le fait que la concentration d’une quantit´e assez petite d’´energie ne pose en fait pas de probl`eme. Cependant, si l’´energie des donn´ees initiales est grande, un nouvel argument est n´ecessaire pour assurer qu’il n’y a pas concentration d’´energie. Cet argument est fourni par des estimations de Morawetz ; c’est Struwe [31] qui les emploie pour la premi`ere fois dans ce contexte, afin de prouver l’existence globale de solutions de (N LW ) 2 ∗

Beaucoup de travaux se sont alors efforcés d’affaiblir les hypothèses nécessaires à assurer l’existence et l’unicité des solutions d’EDSPR ou d’en décrire plus finement les propriétés, tout en gardant comme principal argument de démonstration une méthode de point fixe. Les plus gé- néraux étant sans aucun doute obtenus par Pardoux et Tang en 1999 [35] ou par Peng et Wu [37] la même année, sous des hypothèses sur les coefficients assez dissemblables. Notons toutefois que Pardoux et Tang en profitaient pour étendre le lien existant entre EDSPR et EDP sur toute une nouvelle classe d’EDP. En effet, depuis 1994 et l’article de Ma Protter et Yong [28] pour des coefficients déterministes, fortement réguliers et sous une hypothèse de non dégénérescence du coefficient de diffusion de l’équation progressive, nous disposons d’un théorème d’existence et d’unicité, d’une expression explicite des solutions et d’un algorithme de résolution en 4 étapes fort simple. Celui-ci ramène d’ailleurs le problème d’existence et d’unicité de l’équation différen- tielle stochastique progressive rétrograde à la résolution d’une équation aux dérivées partielles. Les résultats de Pardoux et Tang s’affranchissent de l’hypothèse de non dégénérescence et de la forte régularité requise pour les coefficients. En contrepartie, les résultats d’existence et d’unicité pour les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades ne sont plus forcément globaux et les solutions des équations aux dérivées partielles associées sont des solutions en un sens plus “faible”.

(ii) Lorsque = 0 et p = q (p 1 ), il existe alors 0 > 0 telle que pour tout 0 < < 0 le problème (2) admet une solution faible non-triviale non négative. Dans cette thèse on étudier la question de l’existence et de la non-existence de solutions faibles positives de certaines classes de systèmes d’équations aux dérivées partielles non-linéaires de type elliptique dans des domaines bornés de R m :Plus précisement il s’agit des systémes de la

Leur utilisation a été plus tard étendue à d’autre domaines de l’analyse numérique, no- tamment l’approximation numérique d’équations aux dérivées partielles. Leurs propriétés remarquables, orthogonales, régularités arbitraire, bonne localisation(elles sont de support compact ou tendent exponentiellement vers 0 en dehors d’un compact) etc...enfont une base bien adaptée pour des situations raides où les méthodes classiques Fourier, Di¤érences Finies ne réussissent pas. Lapproximation numérique des équations aux dérivées partielles par les les ondelettes ropose couramment sur la projection Galerkin ([2]; [3]). Le but de cette note est de présenter une approche du type collocation pour la solution numérique des EDP. La méthode repose sur l’expression des opérateurs di¤érentiels en fonction des valeurs des dérivées de la fonction d’échelle aux points entiers. De ce fait une régularité su¢ sante des ondelettes est demandée.

Chapitre 6 : SIMD Le premier type d’architecture spécialisée proposée pour la mise en œuvre des EDPs est une architecture de type SIMD. Dans le passé, ce type d’architecture a été utilisé avec succès pour le filtrage par diffusion non linéaire des séquences vidéo en temps réel. En bénéficiant des avantages du Massive Marching, nous montrons la faisabilité d’implantation des algorithmes à évolution de courbe sur ce type d’architecture. Par l’implantation de Massive Marching, nous avons doté cette architecture de nouvelles fonctionnalités et par conséquent des possibilités de porter des opérateurs de segmentation. Une importante contribution est le calcul de la fonction distance avec le schéma de Godunov à l’aide des approximations : linéarisation par morceaux et LUT sans avoir à effectuer des calculs complexes comme les racines ou les puissances carrées. Dans la section des résultats expérimentaux, l’attention est portée sur l’étude de l’erreur numérique des approximations.

Goursat permet d obtenir toutes les équations de Laplace correspondant à des suites comprenant un nombre pair d'équations et leurs intégrales en partant de l'équation simple (47). du[r]

4.3 Existence des Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5 Problème des équations fractionnaires intégro-différentielles avec conditions aux limites intègrales 63 5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/.[r]

Dans le pr´ esent travail on ´ etudie certaines classes de probl` emes d’´ evolution. La premi` ere classe est consacr´ ee ` a l’´ etude de deux probl` emes aux limites avec des conditions non locales. On ´ etablit des r´ esultats d’existence et d’unicit´ e de la solution forte et sa d´ ependance continue par rapport aux donn´ ees, grˆ ace ` a la m´ ethode des in´ egalit´ es ´ energ´ etiques. La deuxi` eme partie est consacr´ ee ` a l’´ etude d’un probl` eme mal pos´ e en utilisant la m´ ethode de quasi r´ eversibilit´ e modifi´ ee.

L’objet de cette thèse est de comparer simultanément et de façon semi historique deux résultats. Un ancien résultat datant de 1974 sur le problème de Cauchy linéaire et un nouveau résultat de 2005 sur le problème de Goursat linéaire tous deux dans les espaces de Sobolev avec des systèmes d’équations aux dérivées partielles et des conditions de Levi.

On résout de pareils systèmes et des systèmes un peu différents qu'on rencontre en physique mathématique (les équations de l'hydro- dynamique, de l'équilibre élastique, etc.) de la maniè[r]

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignemen[r]